专题07 相似模型之十字架模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题07 相似模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：∵四边形是矩形，∴∴ ∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴， （2）分别过作，如图所示：∵四边形是矩形，∴ ∵∴∴四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴∵，∴ ∴四边形是矩形，∴，，∴，， ∴，∴，∵，∴ ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴； （3）如图所示：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴，∴， ∵，∴，在中，， ∴，故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 过点N作，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，在中，， ∴．故答案为： 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在矩形中，，，， ∵是边的中点，，，∴，故①正确； ∴，故④正确； ∵四边形是矩形，， ，，故②正确； ，，且， ，且，，， ，，∴，∴，故③错误． 综上所述，正确的结论有3个．故选：C． 例2（2025广东校考三模）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离．    【答案】(1)(2)证明见解析(3)(4) 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵，∴，∴， ∵在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于，       ∵四边形是矩形，∴，，∴四边形、均为平行四边形， ∴，，同（1）可得， 又∵，∴，∴，∴． （3）解：由矩形的性质可得，由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得，∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则，∴在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴，， ∵，∴， 又∵，∴，∴，即，解得， ∴点到直线的距离为． 例3（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ，， ，，，，， （2）解：仍然成立，理由如下：，， ，，， ，， ，，， 四边形为平行四边形，，， ，，，，， ，，， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形，， ，，，， ，，， ，，，， 为中点，，，设，则，， ，，，，，， 过点作，交于点，∴，，， 延长交延长线于带你E，如图所示：，， 为中点，∴，∵， ∴，∴，， ∵，∴，，∴， ∴，， ，，（舍去），，． 例4（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；(3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【答案】(1)见解析(2)是定值，(3)3 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； （2）是定值，如下图，过点作交延长线于点， ∴，∴四边形为矩形，∴，， ∵，，又∵， ∴，∵，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴为定值； （3）如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵将沿翻折得到，∴，， 设，则，∴， ∵，，，∴， ∵，即，∴， ∵，∴，∴∴． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，等边三角形的边长为10，在，边上各取一点，，使，连接，相交于点，若，则的值是（    ）    A．16 B．25 C．36 D．40 【答案】D 【详解】解：为等边三角形，，， 在和中，，，， ，，，即，．故选：D． 例2（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如图：过点E作于F， ∵是等边三角形，∴， ∵， ∴，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴△ABP的周长．故答案为：． 例3（24-25吉安·模拟预测）课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）证明：①由（1）知，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴． ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）解：如图3，当点D，点E分别在上时，       ∵，∴，∵， ，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴，由②知 AD=2BD，∴； 如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，∵,∴. ∵,∴, ∵,∴∴是等边三角形， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案为：2或3． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 【答案】 【详解】解：以为邻边作正方形，延长交为，如下图： ，，， 在和中，，， ，，，即为的中点， ，，，， ，，故答案为：． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 例3（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵，∴，∴，∴，∴， 由（1）可知，，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （3）解：在中，，，，则，， 设，则，在中，，则， ∵，，∴， ∴，即，解得： (舍去)， ∵，，∴，∴． 例4（24-25下·鹰潭·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图，设与的交点为，    四边形是正方形，，， ，，，， ，在和中，，； （2）解：如图，设与交于点，四边形是矩形，， ，，，，， ，，； （3）解：如图3，过点作，延长交于点， 在中，，，，， ，，，，， ，，，， 又，，，，． 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形是正方形，，是中点，连接，的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于．下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④的周长是10    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【详解】四边形是正方形，，， ，，， ，，故①正确； 如图，连接，四边形是正方形，，，，    E是的中点，，由勾股定理得， 垂直平分，，，设，则， 在中，由勾股定理得，，即，解得， ，，由得，， ，解得，故②正确； ，，，，显然，故③正确； 在中，，，，由勾股定理得， 的周长是，故④不正确；正确的是①②③．故选：A． 2．（2025·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ． 【答案】 【详解】过点C作FC⊥BC于C，延长BD交CF于F， ∵∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴AB∥CF， ∵AE⊥BD，∴∠AHB＝∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠ABH+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠BAH， 在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF， ∵AE是BC边上的中线，∴BE＝BC＝1，∴CF＝1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2， ∵AB∥CF，∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，∴△ABD∽△CFD， ∴，即，解得：AD＝．故答案为： 3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在边长为6的等边 中，分别在边 上，，连接 交于点 ，则 的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，取中点F，连接，如图所示： ∵为等边三角形，∴，， ∵，，∴，∵，∴， ∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，，∴，，∴， ∵在和中，，∴，∴， ∴，∴． 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴，即，解得：．故答案为：． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①如图：过D作交于N， ∵四边形是矩形，∴，，，∴， ∵于点F，∴，∴，故①正确； ②∵，∴，∴， ∵E是边的中点，∴，∴，∴，故②正确； ③∵，∴四边形是平行四边形，， ∴，∴，∴， ∵于点F，，∴，∴垂直平分，∴，故③正确； 设，，则，∵，， ∴，∴，即，∴正确结论①②③． 故答案，故④错误．综上所述，为：①②③． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在边长为3的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P， ．若，则 ． 【答案】 /度 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵是等边三角形，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴ ∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故答案为：；． 5．（24-25·广西·九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 【答案】 【详解】解：如图，连接与交于点，并补全矩形为． ∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵且，∴， 又∵，∴， ∴，∴， ∴，∵，，， ∴，∴，∴． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边中，点D、E分别是边、上的点，与交于点F，，．(1)求证：；(2)求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：为等边三角形，，， ，， 在和中，，，； （2）为等边三角形，，由（1）知，，， ，，， 又，，，，． 8．（24-25七年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O．    (1)如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：； (2)如图2，点D是中点，连接，若，求证：； (3)如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，，∴． （2）证明：如图，过点作交的延长线于点，      ∵是的中点，∴，在和中，， ∴，∴，，∵，∴， ∵，，∴，，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． （3）解：如图，过点作于点，    ∵，，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，，， 在和中，，∴，∴，∴， ∴． 9．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接 (1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为12 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，∴，∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵∴，∴． （3）∵，∴， ∵，∴，∴， 若，∴，即 ∵∴，∴∴；∴． 10．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H  分别在边上，且，若，则的长为___________ ②如图（2），在矩形中 ，，点E，F，G，H   分别在边上，且， 若，则的长为______ (2)迁移探究：如图（3），在中，，点D，E 分别在边上，且，试证明 (3)拓展应用:如图（4），在矩形 中，平分给交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G．当F 为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)的长为或 ． 【详解】（1）解：如图1，设交于点O，过点G作于点J， 过点E作于点K， ∵四边形是正方形，∴，∴四边形、四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴，故答案为：5； 如图2，设交于点O，过点E作为M，过点H作于点N， ∴，∵四边形是矩形，∴， ∴四边形、四边形都是矩形，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∵，∴， ，，故答案为：4； （2）证明：如图3， 过点C作交的延长线于点F，则，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，，； （3）解：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 分两种情况：①如图4，当时，点G在上， ，∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，， 过点E作交于点I，则，， ∵，∴，，， ∵，∴，，∴， ， ②如图5，当时，点G在上， ，同①得：， ，， 过点E作交于点I，同①得：，， ∴，，，， ， 综上所述，的长为或 ． 11．（2025·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且，求的值； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，，，点E，F分别在线段，上，且，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，四边形中，，点E为上一点，过点E作垂直交于点F，交的延长线于点G．若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点A作交于点M，作交的延长线于点N， 在矩形   中，，． 在矩形中，，．，， ．．．，，． （2）如图，过点C作于点M．设交于点O，交于点G． ，，． ，，．，． ，，． ，，，即， ，． （3）如图，过点D作，∵，，∴四边形为矩形， ∴，则，∵，∴，∴ ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，． 设，，则解得，． 12．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 ； (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使， 如图，在的延长线上取一点N使 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】如图（d），在平行四边形中，，F是边的中点，当点E在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 【答案】(1)(2)；见解析(3)(4)或8 【详解】（1）解：∵当四边形是正方形，． ∴．∴． 又∵．∴．∴．故答案为：． （2）解：猜想，证明如下：思路一：如图在边上取一点M使，则． ∵四边形是菱形．∴． ∵，∴． ∵，∴． 在和中，，∴．∴． 思路二：如图，在的延长线上取一点N使，则． 根据菱形的性质，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴．∴，∴． （3）解：如图，延长，使．∵，∴， ∴是等边三角形．∴． ∵，∴． 在和中，，∴． ∴． （4）解：如图，分别与直线相交于G、I，．∴为等边三角形． 过点F作，垂足为J，则， ． 又∵，∴， ，， ． ∵，∴，又∵，∴． ∴ ．即，∴， ， ∴ ， ． 在和中，，∴． ∴ ，∴， 在和中，，∴． ∴，则，∴．∴的长度为或8． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）问题提出：如图1，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　． （2）问题探究：如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：． （3）应用拓展：某农庄有如图2的一块矩形菜园，BC边长40米，AB边长24米．两条互相垂直的过道DE、CF将菜园分成四块种植区，其中过道一端F距菜园顶点D3.6米．已知AD边紧挨着一条河流，现需从AD边上某处M挖两条直直的引水渠，将河水分别引至E、C两处浇灌蔬菜，问两条水渠长度之和ME＋MC的最小值是多少？ 【答案】（1）相等，垂直；（2）答案见解析（3）50米． 【详解】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∴∠A=∠CDF=90°， ∵E、F分别是AB、AD的中点，∴AE=DF， 在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴DE=CF，∠ADE=∠DCF， ∴∠ADE+∠CDG=∠ADC=90 ，∴∠DCF+∠CDG=90°，∴∠CGD=90 ，∴DE⊥CF， (2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠CDF=90°， ∴∠ADE+∠AED=90° ，∴DE⊥CF，∴∠DGF=90°， ∴∠ADE+∠DFG=90°，∴∠AED=∠DFC，∴△ADE∽△DCF，∴ (3)矩形ABCD中，AD=BC=40米，DC=AB=24米，DF=3.6米，由(2)知：△ADE∽△DCF， ∴，∴(米)， 延长BA到点E´，使AE´=AE=6米，则AD垂直平分EE´， ∴EM=E´M，由“两点之间，线段最短”可知：当点M在CE´与AD的交点处时，E´M+CM的值最小，从而EM+CM的值最小，最小值为CE´的长，在Rt△BCE´中，BE´=AB+AE´=24+6=30（米），由勾股定理，得 （米），即两条水渠长度之和EM+CM的最小值是50米． 14．（25-26九年级上·山东日照·开学考试）如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G．(1)求证：；(2)点H在上，，求证：；(3)若正方形的边长为9，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，， ∵为正方形∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，由折叠知：，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）证明：由折叠知：， ，， 在和中，，，，； （3）解：如图，连接，由折叠知：，， ，在中，，即， ，，，，， ，，， ，，，， ，，同理可证：，，． 15．（22-23九年级上·江苏·期中）如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F． (1)求证：；(2)若，求DF的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴． （2）解：∵E是的中点，，∴， ∵，∴． ∵四边形是矩形，∴，∵， ∴，∴． 16.（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】（1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】（2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】（3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：四边形是矩形，，． 又，，． （2）解：四边形是矩形，，，，． 又，，．，． ，，，．，． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，，四边形是正方形． 设，．，． 由（2）知，，，． 在中，．，由（2）知，． 又，，，． 17．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：；(2)设的角平分线交于点．①当时，求点到的距离；②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)①2；②． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴，∴； （2）解：①在中，∵，∴，∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴，即，∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设，，， 在中，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，即， ∴，，∴，∴． 18．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，于点，，．①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）；②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)1，(2)．证明见解析(3)①画图见解析；②的长为或 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵为的中点，∴， ，，， ，，，， ；故答案为：1；； （2）解：，理由如下：根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点， ，；又，， ；设，则，，， ，，， ，，； （3）解：①第一种情况：作的平行线，使，连接，则四边形为平行四边形； 延长交于点，，，， ，，，即，为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况：作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故为的中点； 同理可证明：，则，则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况：作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点，同理可证明，从而，故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形，，， 是等腰三角形；过P作于H，则， ，，，， ，； ，，，，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点，同理可得：是等腰三角形，连接， ，，，，；同理，， ，，，，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（2025广东校考三模）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 例3（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 例4（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， (1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； (2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；(3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，等边三角形的边长为10，在，边上各取一点，，使，连接，相交于点，若，则的值是（    ）    A．16 B．25 C．36 D．40 例2（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ． 例3（24-25吉安·模拟预测）课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图②，若，，求的值． 例4（24-25下·鹰潭·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值． 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形是正方形，，是中点，连接，的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于．下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④的周长是10    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2025·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ． 3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在边长为6的等边 中，分别在边 上，，连接 交于点 ，则 的长为 ． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在边长为3的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P， ．若，则 ． 5．（24-25·广西·九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边中，点D、E分别是边、上的点，与交于点F，，．(1)求证：；(2)求的值． 8．（24-25七年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O．    (1)如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：； (2)如图2，点D是中点，连接，若，求证：； (3)如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积． 9．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接 (1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 10．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H  分别在边上，且，若，则的长为___________ ②如图（2），在矩形中 ，，点E，F，G，H   分别在边上，且， 若，则的长为______ (2)迁移探究：如图（3），在中，，点D，E 分别在边上，且，试证明 (3)拓展应用:如图（4），在矩形 中，平分给交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G．当F 为的三等分点时，请直接写出的长． 11．（2025·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且，求的值； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，，，点E，F分别在线段，上，且，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，四边形中，，点E为上一点，过点E作垂直交于点F，交的延长线于点G．若，，，求的长． 12．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 ； (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使， 如图，在的延长线上取一点N使 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】如图（d），在平行四边形中，，F是边的中点，当点E在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）问题提出：如图1，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　． （2）问题探究：如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：． （3）应用拓展：某农庄有如图2的一块矩形菜园，BC边长40米，AB边长24米．两条互相垂直的过道DE、CF将菜园分成四块种植区，其中过道一端F距菜园顶点D3.6米．已知AD边紧挨着一条河流，现需从AD边上某处M挖两条直直的引水渠，将河水分别引至E、C两处浇灌蔬菜，问两条水渠长度之和ME＋MC的最小值是多少？ 14．（25-26九年级上·山东日照·开学考试）如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G．(1)求证：；(2)点H在上，，求证：；(3)若正方形的边长为9，，求的长． 15．（22-23九年级上·江苏·期中）如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F． (1)求证：；(2)若，求DF的长． 16.（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】（1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】（2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】（3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 17．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．(1)求证：；(2)设的角平分线交于点．①当时，求点到的距离；②若，作直线分别交于两点，求的值． 18．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，于点，，．①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）；②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $