精品解析：四川省成都市2025-2026学年高一上学期普职班期中考试数学试题

成都市2025—2026学年度上期 2025级普职班《数学》学科期中考试试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一 、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 当时，有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列平面直角坐标系中图象，可以表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意实数，定义，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 函数与是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则， 10. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（ ） A. B. C. 时的解集为或 D. 方程有且仅有一个实数解 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______． 13. 已知函数，则的值为____________. 14. 已知，，，则的最小值为______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为. （1）若，求集合； （2）若集合是集合的子集，求实数 的取值范围. 16. 已知二次函数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 比较下列各题中两个代数式的大小： （1）与； （2）与. 19. 某建筑工地在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为米． （1）要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？ （2）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市2025—2026学年度上期 2025级普职班《数学》学科期中考试试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一 、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再应用必要不充分条件的定义判断求解. 【详解】，， 不能推出； 可以推出； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得到，，再逐项判断即可. 【详解】由，且，可得，， ，即，A对， ，B错， 取，，C错， ，D错， 故选：A 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合元素与集合、集合与集合的关系逐个判断即可. 【详解】， 所以，， 所以A、B、C错，D对， 故选：D 4. 当时，有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式即可解出答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当“”即时，等号成立. 所以当时，有最小值. 故选：C. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次根式被开方数非负，分母不等于0，列出不等式组解出答案. 【详解】由题意知或 所以函数的定义域为：. 故选：C. 6. 不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】由题意得到， 解得， 即实数的取值范围是， 故选：B 7. 下列平面直角坐标系中图象，可以表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于ABC选项中的图象，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， D选项，符合函数的定义. 故选：D 8. 对于任意实数，定义，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数新定义求得，即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 函数与是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，让函数式有意义即可；对于B，由 函数定义域判断；对于C，由题意可得，进而求定义域；对于D，利用换元法求解析式. 【详解】对于A，由，得且， 所以定义域为，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，由于的定义域为， 所以中，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D，令，则， 所以，故，故D正确. 故选：ACD 10. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的性质列不等式，集合的包含关系列方程可求结论. 【详解】因为，， 所以且且， 所以且且且， 因为， 所以或， 所以或或（舍去）， 故选：BD. 11. 如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（ ） A. B. C. 时的解集为或 D. 方程有且仅有一个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由对称轴可判断；对于B，由图象与轴交于，两点即可判断；对于C，由韦达定理得到，，代入即可解不等式；对于D，将函数式设成，取，由判别式判断. 【详解】对于A，因为函数的对称轴为，所以，整理得.故A正确； 对于B，因为二次函数图象与轴交于，两点， 所以，故B错误； 对于C，因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为， 所以和是方程的两根， 所以，， 所以，， 所以可化为， 由于，所以，解得.故C错误； 对于D，由C可设，， 当时，方程即为， 所以， 由于，此时方程有两个不等实数根，故D错误. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，再结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意； 当时，显然，解得， 则集合，符合题意，故. 故答案为：1 13. 已知函数，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 14. 已知，，，则的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合乘1法即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式的解集为. （1）若，求集合； （2）若集合是集合的子集，求实数 的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）分解因式解不等式即可；（2）分解因式并讨论两根大小关系，利用集合的包含关系列不等式求解即可 【详解】（1）当时，由，得， 解得，所以. （2）因为，可得， 又因为集合是集合的子集，所以可得，(当时不符合题意，舍去)，所以， 综上所述. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集及集合间的基本关系，是基础题 16. 已知二次函数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）最小值为，最大值为0 （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用二次函数性质求出最值. （2）分类讨论求解一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，，，对称轴为， 当时，，当， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为0. 【小问2详解】 不等式， 当时，解得；当，无解； 当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理列出方程组，即可解出答案； （2）可将原命题等价于恒成立，由基本不等式求出当时，的最小值即可. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以的解为， 由韦达定理有：. 所以. 【小问2详解】 不等式恒成立，等价于恒成立， 等价于恒成立， 所以 因为， 所以， 当且仅当“”即时，等号成立， 所以， 所以的取值范围为. 18. 比较下列各题中两个代数式的大小： （1）与； （2）与. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可比较大小. （2）利用作差法即可比较大小. 【详解】（1）由， 得 （2）由 得. 19. 某建筑工地在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为米． （1）要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？ （2）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？ 【答案】（1）；（2）米，米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形的相似性，求得边AD与边AB的长度关系，建立三角形面积函数模型，再由，得出边AB的长度范围；（2）对二次函数进行配方，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）依题意设，则， ∴，所以， 又∵，∴，解得， 要使公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在内. （2）， 当时，，取得最大值150． 答：米，米时，公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值的求法和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $