精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四中学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024级高一下学期期末考试 数学试卷 2025.7．15 试卷满分：150分 考试时间：8：00-10：00 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知，解得，故，其虚部为， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题. 2. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）：平均数>中位数=众数 B. 图（2）：众数>平均数 C. 图（3）：众数<中位数<平均数 D. 图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，我们根据图形的形态特点来分析这三个统计量的大小关系。对于对称形态，平均数、中位数和众数大致相等；对于不规则形态，需根据图形具体分析；对于“右拖尾”形态，由于右侧有较大的极端值，会拉高平均数，从而使得众数、中位数和平均数有特定的大小关系。 【详解】A中应有平均数=中位数=众数； B中众数<平均数； C，D中，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 3. 如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线平行可得或其补角为所求角，即可利用三角形的边角关系，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图，取的中点N，连接，易得，则所成的角即为直线所成的角． 由为等腰直角三角形，斜边，得， 所以均为正三角形， 则， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为， 故选:A． 4. 已知中，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，利用同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，，则， 故， 因此. 故选：B. 5. 已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可知直四棱柱即为长方体，结合长方体的结构特征求外接球半径和体积. 【详解】由题意可知：直四棱柱即为长方体， 则外接球的半径， 所以外接球的体积为. 故选：D. 6. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由终边过点，可得，再利用二倍角公式化解，再根据齐次式可解. 【详解】根据三角函数定义，可得， 则． 故选：D. 7. 设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积运算律列方程求得，结合同角三角函数关系、新定义求值即可. 【详解】由，解得， 又，所以，所以． 故选：B 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（ ） A. 对任意点，平面 B. 三棱锥的体积为 C. 线段长度的最小值为 D. 存在点，使得与平面所成角的大小为 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证得平面平面，可判定A正确；根据，可判定B正确；当点为线段的中点时，求得线段的长度最小值，可判定C正确；求得与平面所成角的正切值的取值范围，可判定D错误. 详解】连接，由且， 可得四边形为平行四边形，所以， 又由平面，且平面，所以平面， 同理可得平面，又，可得平面平面， 所以对于任意点，则平面，所以A正确； 由，所以B正确； 当点为线段的中点时，可得， 此时线段的长度最小，最小值为，所以C正确； 当点在线段上运动时，长度的最小值为，最大值为， 又由长度的取值范围为，而点到平面的距离为定值1， 因为平面平面， 所以与平面所成角与与平面所成角相等， 又由平面，可得在平面射影为， 所以在平面所成角的正切值为， 即与平面所成角的正切值的取值范围为， 其最大值小于，则不存在点使得与平面所成角的大小为， 所以D错误. 故选：D. 【点睛】1、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解； 2、等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积. 3、求解直线与平面所成角时，根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，这是某地连续10天日平均气温（单位：℃）的折线图，则（ ） A. 该地这10天日平均气温的众数是33℃ B. 该地这10天日平均气温的极差是11℃ C. 该地这10天日平均气温的70%分位数是33℃ D. 该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABD，由众数，极差，百分位数计算公式可判断选项正误；对于D，由图象数据波动情况可判断选项正误． 【详解】对于A，由图中数据可知该地这10天日平均气温中，33出现2次，其他数据只出现一次， 则该地这10天日平均气温的众数是33℃，A正确； 对于B，该地这10天最高日平均气温为38℃，最低日平均气温为27℃， 则该地这10天日平均气温的极差是38－27＝11℃，B正确； 对于C，将该地这10天日平均气温从小到大排列为27，29，30，31，32，33，33，36，37，38， 因为10×70%＝7，所以该地这10天日平均气温的70%分位数是，C错误； 对于D，由图可知该地前5天日平均气温的波动小于后5天日平均气温的波动， 则该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差，D正确． 故选：ABD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D. 在中，若，则P点的轨迹经过的内心 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量的概念和线性运算和向量的数量积的运算律逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，依题意如图，但，故选项B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 所以，所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角， 故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ACD. 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶 B. 共有36条棱 C. 表面积为 D. 与正八面体的体积之比为8:9 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为，故C错误； 正八面体可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3， 过作平面于，连接，如下图： 因为平面，且平面，所以， 正方形中，由边长为3，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积与正八面体的体积之比为，故D正确． 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 13. 若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 【答案】18 【解析】 【分析】法一：利用方差公式求解即可，法二：利用方差的定义直接求解. 【详解】方法一：因为，，，的方差为2 所以，，，的方差为； 方法二：设，，，的平均数为，则， 显然，，，的平均数为：， 所以它们的方差为, 故答案为：18. 14. 如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为 ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为 ④剩下几何体的表面积为 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题意利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后根据体积公式以及表面积公式即可逐项求解． 【详解】如下图： 因为圆锥底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故①正确； 圆锥的侧面积，故②错误； 设圆柱底面与圆锥母线交于点，与圆锥底面直径交于两点， 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故③正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故④正确； 故答案为：①③④ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数（为虚数单位）． （1）若，求复数的共轭复数及； （2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【小问1详解】 复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； 【小问2详解】 是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 16. 如图，直三棱柱的体积为4，是的中点. （1）求证：平面； （2）若的面积为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为，再应用等体积法有求点面距. 小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为， 因为直三棱柱的体积， 因为是的中点，所以的面积为， 所以三棱锥的体积， 因为的面积为，由得，解得. 所以到平面的距离为. 17. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 【答案】（1），平均值为1.73； （2）. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求参数值，根据频率直方图中平均数的求法求平均数即可； （2）应用分层抽样性质确定不同用户的人数，再由列举法求古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为，所以. 平均值：. 【小问2详解】 抽取的6名学生中，“青铜用户”选4名，记为，“铂金用户”选2名，记为， 样本空间， 设事件“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴， 又∵平面平面，平面平面 ∴平面 又平面，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 证明：由（1）知，平面，平面， ∴ 在正方形中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. 小问3详解】 设，连接，. ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， （1）求证：是等腰三角形； （2）已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得出结论； （2）根据题意可知，再结合余弦定理计算可得，，代入计算可得，再利用基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 因， 所以， 由正弦定理得， 所以， 即，可得， 所以是等腰三角形； 【小问2详解】 因为点D满足，所以； 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又由（1）知， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 由（1）中可知为锐角，则，， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以线段的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一下学期期末考试 数学试卷 2025.7．15 试卷满分：150分 考试时间：8：00-10：00 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）：平均数>中位数=众数 B. 图（2）：众数>平均数 C. 图（3）：众数<中位数<平均数 D. 图（3）：众数<平均数<中位数 3. 如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，，则面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角终边上一点，则（ ） A B. C. D. 3 7. 设向量与的夹角为，定义．已知向量为单位向量，，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，在棱长为1正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（ ） A. 对任意点，平面 B. 三棱锥的体积为 C. 线段长度的最小值为 D. 存在点，使得与平面所成角的大小为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，这是某地连续10天日平均气温（单位：℃）的折线图，则（ ） A. 该地这10天日平均气温的众数是33℃ B. 该地这10天日平均气温的极差是11℃ C. 该地这10天日平均气温的70%分位数是33℃ D. 该地前5天日平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差 10. 下列命题正确是（ ） A. 在中，，则的形状一定是直角三角形 B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C. 平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D. 在中，若，则P点的轨迹经过的内心 11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶 B 共有36条棱 C. 表面积为 D. 与正八面体的体积之比为8:9 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 13. 若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 14. 如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为 ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为 ④剩下几何体的表面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数（为虚数单位）． （1）若，求复数的共轭复数及； （2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 16. 如图，直三棱柱的体积为4，是的中点. （1）求证：平面； （2）若的面积为，求点到平面的距离. 17. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， （1）求证：是等腰三角形； （2）已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $