精品解析：上海市华东师范大学附属进华中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市华东师范大学附属进华中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 （90分钟完成） 一、填空题（每小题3分，满分36分） 1. 直线与平面所成角的范围是_________________. 2. 长方体长､宽､高分别为3，4，5，则它的对角线长为___________. 3. 边长为的正方形的水平放置的直观图的面积为________． 4. 如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为______． 5. 若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为____________． 6. 一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 7. 某圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________. 8. 如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为，则球的体积为______． 9. 已知球的表面积为，用一个平面截球，使得截面与球心的距离是．则截面的面积为____________． 10. 一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 11. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于点、），且，则二面角的大小为____________． 12. 给出下列命题： ①点是△所在平面外一点，平面于点，若，则是△的外心； ②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行； ③三个平面两两相交，则三条交线一定交于一点； ④三个平面最多将空间分成8部分； ⑤正方体中，直线与所成角为． 其中正确的命题有__．（填序号） 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题 13. 下列命题正确的是（ ） ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面两条直线平行； ④平行于同一个平面的两个平面平行 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 14. 如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（ ） A. 14 B. C. 7 D. 15. 已知，表示两条不同直线，，，表示三个不同平面．则下列命题正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体为“鳖臑” C. 四棱锥体积的最大值为 D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤． 17. 如图，在正三棱锥中， （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，若， （1）设的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 19. 四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD. （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD体积； （2）若CD中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小. 20. 已知长方体中，若，，， （1）求点到平面的距离． （2）求点到直线的距离． （3）求二面角的大小． 21. 如图，在正方体中， （1）若，求证：平面． （2）求证：平面平面． （3）试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市华东师范大学附属进华中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 （90分钟完成） 一、填空题（每小题3分，满分36分） 1. 直线与平面所成角的范围是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论. 【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况： ①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； ②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为； ③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 故答案为：． 2. 长方体长､宽､高分别为3，4，5，则它的对角线长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理进行求解即可. 【详解】因为长方体长､宽､高分别为3，4，5， 所以它的对角线长为， 故答案为： 3. 边长为的正方形的水平放置的直观图的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积之比为，求解即可． 【详解】解：正方形的边长，故面积为， 而原图和直观图面积之间的关系是， 故直观图的面积为． 故答案为：． 4. 如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】空间中直线的位置关系有平行、相交、异面，既不平行也不相交，则异面. 【详解】解：因为直线与不共面，故与直线异面的直线的条数为3条， 故答案为：3. 5. 若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为， 所以， 解得，，所以，该圆锥的体积为． 考点：圆锥的几何特征 点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式． 6. 一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得圆锥的母线长与底面圆半径为的关系为，再根据侧面展开的弧长建立关系求解即可. 【详解】解：设圆锥母线长为，底面圆半径为，圆锥的侧面展开图的圆心角为， 因为圆锥的母线与其轴所成的角为， 所以，即， 所以，圆锥的侧面展开图的弧长为 由于圆锥的侧面展开图扇形，故扇形的弧长为， 所以，即， 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 故答案为： 7. 某圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱侧面积公式，结合侧面展开图的性质，求得圆柱底面圆的周长，求得结果. 【详解】因为圆柱的侧面展开图是边长为16的正方形， 所以该圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长为4， 因此半径为， 故该圆柱一个底面的面积为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关圆柱的问题，正确解题的关键是要明确圆柱侧面展开图的特征以及相关公式. 8. 如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为，则球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为r,根据圆柱的表面积可求得r，利用球的体积公式即可求得答案. 【详解】设球的半径为r，则圆柱的底面直径和高皆为， 故圆柱的表面积为， 故球的体积为 ， 故答案： 9. 已知球的表面积为，用一个平面截球，使得截面与球心的距离是．则截面的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据截面半径，球的半径，截面与球心的距离满足勾股定理求解即可. 【详解】解：设球的半径为，由球的表面积为得，解得， 所以，截面圆的半径满足， 所以，截面的面积为. 故答案为： 10. 一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形的面积公式得到母线长，再由圆锥的结构求出底面半径，然后由侧面积公式计算可得. 【详解】设过圆锥的顶点的截面的顶角为，母线长为，底面半径为 则可得过顶点的截面面积为， 又圆锥的轴截面的顶角为，故当时，截面面积的最大值为，所以， 所以底面半径为， 所以此圆锥的侧面积是. 故答案为：. 11. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于点、），且，则二面角的大小为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明出平面，可得出二面角的平面角为，分析的形状，即可得解. 【详解】因为是圆上一点（不同于点、），则， 平面，、平面，， ，平面，平面，则， 所以，二面角的平面角为， 且，故为等腰直角三角形，且. 故答案为：. 12. 给出下列命题： ①点是△所在平面外一点，平面于点，若，则是△的外心； ②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行； ③三个平面两两相交，则三条交线一定交于一点； ④三个平面最多将空间分成8部分； ⑤正方体中，直线与所成角为． 其中正确的命题有__．（填序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】①由，根据三棱锥的性质可知在△上垂足的位置；根据平面的基本性质，由线面、面面的位置关系判断②、③、④的正误；⑤由正方体的性质，即可求直线与所成角的大小. 【详解】①点是△所在平面外一点，面于点，，则有，即是△的外心，正确； ②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行、相交或异面，错误； ③三个平面两两相交，则三条交线交于一点或三条交线重合或三条交线平行，错误； ④一切豆腐切三刀，最多切8块，三个平面最多将空间分成8部分，正确； ⑤正方体中，直线与所成角为，△是等边三角形，，直线与所成角为，正确． 故答案为：①④⑤． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题 13. 下列命题正确的是（ ） ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行； ④平行于同一个平面的两个平面平行 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间平行关系分别判断每个命题即可. 【详解】①由平行线间的传递性可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确； ②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误； ③平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面，故③错误； ④根据平面平行的性质，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确. 故选：C. 14. 如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（ ） A. 14 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据侧面积公式求圆柱体的侧面积. 【详解】 设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的侧面积为：. 故选：A. 15. 已知，表示两条不同直线，，，表示三个不同平面．则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的性质和空间线线垂直的关系判断即可；对于B，由线面平行和面面垂直的性质判断；对于C，由线面平行和线面垂直的性质判断；对于D，由面面垂直的性质和判定进行判断 【详解】解：对于A，当，时，与有可能平行，有可能相交，也有可能直线在平面内，所以A错误； 对于B，当，时，则与有可能平行，有可能相交，也有可能直线在平面内，所以B错误； 对于C，当时，则直线垂直于平面内的所有直线，而，所以，所以C正确； 对于D，当，时，，有可能平行，有可能相交，所以D错误 故选：C 16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体为“鳖臑” C. 四棱锥体积的最大值为 D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 【答案】C 【解析】 【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵中，，侧棱平面， A选项，∴，又，且，则平面， ∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确； B选项，由，即，又且， ∴平面，∴，则为直角三角形， 又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确； C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号， ，最大值为，故C错误； D选项，因为，，，所以平面，故D正确； 故选：C 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤． 17. 如图，在正三棱锥中， （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】（1）分别为中点，可知： 与夹角即为与夹角 在中，由余弦定理可得： 即与的夹角为 （2）作面，连接，如下图所示： 三棱锥为正三棱锥 为的中心且落在上 【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，若， （1）设中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直； （2）由（1）易知即为求直线与平面所成的角，结合勾股定理及直角三角形性质可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 由已知为直三棱柱，即平面， 且平面，则， 由，则且，，平面， 平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，连结， 即为与平面所成的角， 在中， 由，得，， ， 所以，所以， 即与平面所成的角为. 19. 四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD. （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小. 【答案】（1）；（2）arctan. 【解析】 【分析】（1）由V＝PE•S正方形ABCD，代入相应数据，进行运算，即可； （2）由PE⊥平面ABCD，知∠PFE＝45°，进而有PE＝FE＝4，PB＝，由AD∥BC，知∠PCB或其补角即为所求，可证BC⊥平面PAB，从而有BC⊥PB，最后在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝，得解. 【详解】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4， ∴PE＝2， 又PE⊥平面ABCD， ∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S正方形ABCD＝×2×42＝. （2）∵PE⊥平面ABCD， ∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°， ∴△PEF为等腰直角三角形， ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴PE＝FE＝4， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角， ∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC， 又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝， 故PC与AD所成角的大小为arctan. 【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥体积的求法，考查异面直线所成的角，考查计算能力和空间想象能力，解题的关键是由PF与平面ABCD所成角为45°，可得△PEF为等腰直角三角形，从而可求出的长，进而在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝可求得结果，属于中档题 20. 已知长方体中，若，，， （1）求点到平面的距离． （2）求点到直线的距离． （3）求二面角大小． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据长方体可知平面，即可得解； （2）连接，过作，可知，结合勾股定理可得解； （3）由（2）可知二面角所对应的平面角为，即可得解. 【小问1详解】 由已知为长方体， 则平面于，所以是点到平面的距离， 因为 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 平面，过作交于，连接， 则是在面上的投影， 因为所以于， 所以就是点到直线的距离， 在中，， 又，即，则， 在中，， 所以， 所以点到直线的距离； 【小问3详解】 由（2）知，，， 所以是二面角的平面角， 在中，，， 所以， 所以， 所以二面角的大小是. 21. 如图，在正方体中， （1）若，求证：平面． （2）求证：平面平面． （3）试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）相等，理由见解析 【解析】 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【小问1详解】 证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 【小问2详解】 证明：正方形中，， ∴四边形平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 【小问3详解】 解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $