精品解析：天津市河东区2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷

河东区2025～2026学年第一学期高二期中质量检测 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 2. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线倾斜角与斜率的关系及斜率公式计算解得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，则. 故选：B. 3. 圆心是，半径为的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助圆的标准方程定义即可得. 【详解】圆心是，半径为的圆的标准方程为. 故选：D. 4. 椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】椭圆对应， 根据椭圆的定义可知. 故选：C 5. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 6. 已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ） A. 9 B. 6 C. －6 D. －9 【答案】A 【解析】 【分析】先将两直线化为斜截式，利用平行时斜率相等得到与的关系，再根据轴截距的定义求出的值，进而求出的值，最终得到的值. 【详解】直线化为斜截式， 将直线化为斜截式（）， 因两直线平行，故斜率相等，即，得， 令，代入，得，即， 由题知此截距为，故，解得， 由，得，则. 故选：A 7. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆上，则圆关于直线对称 B. 若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C. 若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D. 若点在圆内，则直线与圆相离 【答案】D 【解析】 【分析】对A：计算可得该直线不过圆的圆心，即可得；对B：当圆的圆心到直线的距离时不符；对C：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得；对D：可得，结合直线与圆位置关系，计算出圆的圆心到直线的距离即可得. 【详解】对A：圆的圆心为， 有，故直线不过圆的圆心， 故直线不是圆的对称轴，故A错误； 对B：由点在圆外，则， 则点到直线的距离为， 但当时，有此时圆上有四个点到直线的距离为，故B错误； 对C：若点在直线上，则有，即， 则点到直线的距离为， 故直线为圆切线，故C错误； 对D：若点在圆内，则， 则点到直线的距离为， 则直线与圆相离，故D正确. 故选：D. 8. 已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. －8 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过设弦的端点坐标，利用椭圆方程作差结合中点坐标，运用点差法求出中点弦的斜率. 【详解】设以为中点的弦的两个端点为，， 则，. 因为、在椭圆上，所以，. 两式相减得，即. 将，代入，得，化简得，进一步得到. 所以弦所在直线的斜率. 故选：A 9. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过分析直线过定点及垂直关系确定交点轨迹，再结合圆与圆的位置关系求距离最大值. 【详解】整理，得，故过定点. 整理，得，故过定点. 因与垂直（因为），故的轨迹是以和为直径端点的圆. 圆心为两点中点：. 半径为两点距离的一半：. 即的轨迹方程为. 圆，其圆心，半径. 两圆心与的距离为. 的最大值为两圆心距离加上轨迹圆的半径和圆的半径， 即. 故选：C. 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2.本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 椭圆的焦距为______ 【答案】 【解析】 【分析】通过椭圆方程可求出值，从而求出结果. 【详解】已知椭圆方程，则，所以， 即，故焦距为：. 故答案为： 11. 经过点的圆的一般方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设所求圆的方程为，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出的值，可得圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为，则 ，解得，所以圆的方程为 故答案为： 12. 在空间直角坐标系中，若，四点共面，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量共面的线性表示关系，通过建立方程组求解参数，核心是将四点共面转化为向量的线性组合问题. 【详解】，，. 因四点共面，故可由、线性表示，即存在实数、，使， 代入坐标得， 解得，，. 故答案为：. 13. 圆与圆公共弦的弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】确定两圆圆心及其半径后可得两圆相交，将两圆方程作差则可得公共弦的方程，再借助点到直线距离公式及垂径定理计算即可得解. 【详解】由可得，故该圆以为圆心，为半径， 由可得， 故该圆以为圆心，为半径， 两圆心距离为， 两圆半径之和，两圆半径之差为， 由，故两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆公共弦的方程为， 点到的距离为， 则两圆公共弦的弦长为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线的方程，进而求得定点坐标. 【详解】设点，因为在直线上， 所以满足，即. 因为、是圆的切线，切点为、， 所以，（为坐标原点）， 因此，、、、四点共圆，且该圆以为直径， 圆心坐标：,半径：， 圆的标准方程为：， 展开并整理得：， 圆与上述圆的公共弦为， 将两圆方程相减，得， 由，代入得： 整理为：， 要使该方程对任意恒成立，需令系数同时为0：， 解得：， 因此，直线恒过定点. 故答案为： 15. 已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率__________． 【答案】## 【解析】 【分析】取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，然后根据椭圆的性质结合条件及余弦定理可得离心率的值. 【详解】取椭圆的右焦点，连接，， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， 又，而， 所以，所以， 在中，， 整理，得，即，又， 所以 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在菱形中，对角线与轴平行，． （1）求直线在轴上的截距； （2）求边与边之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用菱形性质确定、坐标，再求直线方程进而得截距； （2）求出、的直线方程，利用平行线间距离公式求解. 【小问1详解】 因为菱形中与轴平行，，设. 由，， 则， 解得（与重合，舍去），即. 又，且， 所以，即. 直线的斜率， 直线的方程为，即. 因此，直线在轴上的截距为. 【小问2详解】 、，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 、，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 根据平行线间距离公式，与的距离为. 17. 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量，通过证明直线方向向量与平面法向量垂直，证得线面平行； （2）利用直线与平面所成角的向量公式，计算方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，得到所成角的正弦值. 【小问1详解】 依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 由题设得，，，，，. 向量，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 因，且平面，故平面. 【小问2详解】 向量 设直线与平面所成角为，则. ，， . 故. 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱上． （1）若是的中点，证明：平面； （2）若，平面与平面夹角的余弦值为，求四面体的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用平面与平面夹角的余弦值以及确定的位置，进而求得四面体的体积． 【小问1详解】 依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，. 因是的中点，故. 向量，，. 因为，故； 因为，故. 因且平面，故平面. 【小问2详解】 设， 则， 即. 设（），由， 得， 所以，故. 平面的点为、、，其法向量. 平面的向量，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 由平面与平面夹角的余弦值为，得， 解得，平方得，即，故（）. 此时，. 所以. 20. 已知椭圆． （1）若点在椭圆上，求椭圆的标准方程； （2）已知点是椭圆的右顶点． （i）若，且椭圆上存在一点，满足，求的值； （ii）若中垂线的斜率为2，且与椭圆交于两点，为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程计算即可得； （2）（i）设出点，则可利用坐标表示出两向量，从而用表示点坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得；（ii）借助中垂线性质可计算出与的关系，也可表示出中垂线，再将直线与椭圆方程联立，得到与横坐标有关的韦达定理，再表示出斜率、，由为钝角可得两向量数量积为负数，代入计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由，则椭圆的标准方程为， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有，解得，又，故； （ii）由，则，又，中垂线的斜率为， 则，解得，故，则的中点坐标为， 故的方程为：， 联立，消去可得， ， 设、，则，， 故、， 则由为钝角，则， 即有 ， 故，又，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2025～2026学年第一学期高二期中质量检测 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心是，半径为的圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 4. 椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（ ） A 4 B. 6 C. 14 D. 26 5. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ） A. 9 B. 6 C. －6 D. －9 7. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆上，则圆关于直线对称 B. 若点在圆外，则圆上存在两个点到直线的距离为 C. 若点在直线上，则直线与圆相交于两点 D. 若点在圆内，则直线与圆相离 8. 已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. －8 D. 8 9. 已知点是直线和交点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2.本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 椭圆的焦距为______ 11. 经过点的圆的一般方程为______． 12. 在空间直角坐标系中，若，四点共面，则_____． 13. 圆与圆的公共弦的弦长为_____． 14. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，，则直线恒过定点_____． 15. 已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率__________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在菱形中，对角线与轴平行，． （1）求直线在轴上的截距； （2）求边与边之间的距离． 17. 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，是棱中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱上． （1）若是的中点，证明：平面； （2）若，平面与平面夹角余弦值为，求四面体的体积． 20. 已知椭圆． （1）若点在椭圆上，求椭圆的标准方程； （2）已知点是椭圆的右顶点． （i）若，且椭圆上存在一点，满足，求的值； （ii）若中垂线的斜率为2，且与椭圆交于两点，为钝角，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $