第16讲 分式及其基本性质（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年人教版数学八年级上册满分全攻略备课系列

本讲义聚焦分式及其基本性质核心知识点，从分式定义（三要素：整式A、B，B含字母）出发，梳理有意义/无意义（分母≠0/=0）、值为0（分子=0且分母≠0）的条件，通过基本性质（分子分母同乘除不为0整式）衔接约分（最简分式）与通分（最简公分母），构建从概念到性质再到运算的学习支架。 资料亮点在于知识梳理对比分式与分数联系，培养数学眼光的抽象能力，题型覆盖15类（如实际情境中的写作量计算），分层强化含单选、填空、解答题，助力课中教学与课后查漏，通过推理训练提升数学思维，强化应用意识。

第16讲 分式及其基本性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.分式的定义 2.分式有意义和无意义的条件 3.分式的值为0的条件 4.分式的基本性质 5.分式的约分 6.分式的通分 题型巩固 一、分式的判断 二、分式无意义的条件 三、分式有意义的条件 四、分式值为零的条件 五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 六、判断分式变形是否正确 七、求使分式变形成立的条件 八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 十、将分式的分子分母各项系数化为整数 十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 十二、约分 十三、最简分式 十四、最简公分母 十五、通分 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.分式的定义 1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母. 分式的“三要素”： (1)形如的式子； (2)A，B 为整式； (3)分母B 中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 分数 分式 联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 知识点2.分式有意义和无意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0 分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0 知识点3.分式的值为0的条件 1. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时， ＝0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知识点4.分式的基本性质 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用途 进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： 知识点5.分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 3. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 知识点6.分式的通分 1. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2. 最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母.通分的关键是确定几个分式的最简公分母 3. 确定最简公分母的方法 (1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 特别提醒 通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化. 题型巩固 题型一、分式的判断 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）代数式 中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，分母中含有字母的代数式属于分式。逐一检查各代数式的分母是否含有字母即可． 【详解】∵ 分式是分母中含有字母的代数式， ∴ 分母不含字母，不是分式； 分母是，不含字母，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母为3，不含字母，不是分式； 分母含字母x，是分式； 分母含字母x，是分式． ∴ 属于分式的有3个． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式，，，，，0中，是分式的有 ． 【答案】， 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的定义， 根据“形如中，分母B中含有字母的式子叫做分式”解答即可. 【详解】解：分式有：. 故答案为：. 3．填空并判断所填式子是否为分式： （1）一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，这部小说（上､下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量为____________； （2）走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少，骑自行车的平均速度为________； （3）甲完成一项工作需，乙完成同样工作比甲少用，乙的工作效率为___________． 【答案】（1）万字，是分式；（2），是分式；（3），是分式 【知识点】列代数式、分式的判断 【分析】分式：形如，都为整式，中含有字母，这样的代数式是分式； （1）由作家写的作品的总字数除以总的时间可得作家平均每天的写作量，再利用分式的定义进行判断即可； （2）先求解骑自行车的时间，再利用路程除以时间可得骑自行车的平均速度，再利用分式的定义进行判断即可； （3）先求解乙完成工作的时间，再利用工作总量除以工作时间可得乙的工作效率，再利用分式的定义进行判断即可. 【详解】解：（1）这位作家平均每天的写作量为万字， 代数式分母中含有字母，符合分式的定义，是分式； （2） 走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少， 骑自行车的时间为： 所以骑自行车的平均速度为， 代数式分母中含有字母，符合分式的定义，是分式； （3） 甲完成一项工作需，乙完成同样工作比甲少用， 乙完成工作的时间为： 所以乙的工作效率为， 代数式分母中含有字母，符合分式的定义，是分式； 故答案为：（1）万字，是分式；（2），是分式；（3），是分式. 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的含义，掌握列代数式，分式的定义是解题的关键. 题型二、分式无意义的条件 4．（25-26八年级上·广西·阶段练习）若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 5．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果分式的值不存在，则需满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是解题的关键．由分式的值不存在，即分母为零，即可解答． 【详解】解：分式 的值不存在，则分母 ，解得 ， 故答案为：． 题型三、分式有意义的条件 6．（25-26八年级上·河北沧州·月考）无论为何值，下列分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为0，由此判断即可． 【详解】解：A、当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； B、当时，分式无意义，故此选项不符合题意； C、无论m取何值，总有，所以分式总有意义，故此选项符合题意； D、当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．（25-26八年级上·北京·期中）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母， 即． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)全体实数 【知识点】分式有意义的条件 【分析】（1）（2）（3）（4）均根据分式分母不能为零即可得到x满足的条件． 本题考查了分式，掌握分式分母不为零是解题的关键． 【详解】（1）解：由分式的分母不为零可得； （2）解：由得； （3）解：由得； （4）解：因为对任意实数，都有， 所以， 故恒成立， 所以的取值为全体实数． 题型四、分式值为零的条件 9．（25-26八年级上·北京·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 10．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式值为零的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴x的值为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零，解题关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零． （1）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可；． 【详解】（1）解：的值是零， ，， ，，， ； （2）解：的值是零， ，， ，，， ． 题型五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 12．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 13．当 时，分式的值是正数． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式的值，根据题意列出不等式是解题的关键． 根据题意可得分母，进而求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， 解得． 故答案为：． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）当为何值时，分式的值为正数． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定的取值范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 即时，分式的值为正数． 题型六、判断分式变形是否正确 15．（25-26八年级上·北京·期中）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，且，则代表的整式是 ． 【答案】 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质，分子分母同乘一个不为0的数，分式的值不变，求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确； 乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键． 题型七、求使分式变形成立的条件 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 19．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入 ． 【答案】/ 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．（25-26八年级上·河北·期中）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为倍 D．不变 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 将，都扩大3倍后，代入分式化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵ 和都扩大3倍， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值扩大3倍， 故选：B． 22．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为 ． 【答案】 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，当和同时扩大为原来的倍时，设，，然后代入即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则新分式为 ， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． （1）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答； （2）利用分式的基本性质，把分母负号放到分式外面，即可解答； （3）利用分式的基本性质，分子、分母同乘，即可解答； （4）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“+”，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 26．（24-25八年级上·山东滨州·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 29．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 30．（25-26八年级上·山东淄博·月考）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 31．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 题型十二、约分 32．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故选B． 33．（25-26八年级上·全国·期末）约分： ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．分子、分母的公因式是，通过约分进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 34．（25-26八年级上·山东·阶段练习）计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． （1）分子分母都约去公因式即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可； （3）先写成分式的形式，然后分子分母都约去公因式即可； （4）先写成分式的形式，再把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十三、最简分式 35．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式,通过检查每个选项是否可约分，即可判断． 【详解】解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。 选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 36．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案为不唯一） 【知识点】最简分式 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式为或， 故答案为：．（答案为不唯一） 37．（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 题型十四、最简公分母 38．（25-26八年级上·北京延庆·期中）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】解：分式与的最简公分母是； 故选A． 39．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式，的最简公分母是， 故答案为：． 题型十五、通分 40．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】通分 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 41．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 【答案】 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 分层强化 一、单选题 1．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式的概念，分子分母中没有公因式，这样的分式称为最简分式． 2．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．逐一分析各选项的分母是否含有字母即可判断． 【详解】A．：分母为数字2，不含字母，是整式中的多项式，不是分式，而是整式； B．：分母为，含有字母，符合分式的定义； C．：分母为数字3，不含字母，是整式中的单项式，不是分式； D．：分母为数字12，不含字母，是整式中的多项式，不是分式． 故选：B． 3．的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，将对应选项中的式子中的x、y分别替换为，计算替换后的式子的结果，判断是否与原式相等即可得到答案． 【详解】解：A、原式为，替换后为，分子为，分母为，无法约去公因数3，故值改变，不符合题意． B、原式为，替换后为，分子分母约去3后，分母变为原式的3倍，值改变，不符合题意． C、原式为，替换后为，分子分母约去公因数3，值不变，符合题意． D、原式为，替换后为，分子变为原式的3倍，值改变，不符合题意． 故选：C． 4．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简，将分子和分母分别因式分解，约去公因式即可化简． 【详解】解：， 故选：B． 5．如果分式的值为0，则x的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据当分子为零，分母不为零时，分式的值为零，可得答案． 【详解】解：由分式的值为0，得 |x|-1=0且3x+3≠0． 解得x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，当分子为零，分母不为零时，分式的值为零是解题关键． 6．若分式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的概念及其性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据分式的概念及其性质的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 故选：A． 7．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 8．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】逐个分析选项的正确性，需要对每个选项所涉及的分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件是分母不为零、最简公分母的确定：确定几个分式的最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；以及分式的正负性判断． 【详解】解：A、当时，分式有意义，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式与的最简公分母是，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式中，都扩大倍，分式的值扩大倍；故本选项说法错误，不符合题意； D、无论为何值，的值总为正数，说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式的基本性质以及分式值的正负性判断，解题的关键是熟知分式的特点与性质． 二、填空题 9．若分式中的x，y的值都变为原来的3倍．则此分式的值为 ． 【答案】2 【分析】根据分式基本性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：当x，y的值都变为原来的3倍时， 分式变为． 故答案为：2 【点睛】本题考查分式基本性质，解题的关键是掌握理解分式基本性质． 10．若分式的值等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 11．使函数有意义的的范围是 【答案】 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键． 12．若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 【答案】或或 【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可． 【详解】解：，且， 若m为整数，的值也为整数， 则，，且， 解得：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质，平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 13．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 14．若分式的值为负数，x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案. 【详解】解： 由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得： 由①得： 由②得： 所以： x的取值范围是且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键. 三、解答题 15．约分： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去公因式即可． （2）首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】此题主要考查了约分，正确分解因式再利用分式的性质化简是解题关键． 16．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】找到各分式的最简公分母即可完成通分． 【详解】（1）解：，； （2）解：，． 【点睛】本题考查通分．确定最简公分母是解题关键． 17．若表示一个整数，则整数可以取哪些值? 【答案】，，，，， 【分析】根据分式的性质，得出或或，即可求解． 【详解】解：由题意可知或或， 取，，，，， 【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 18．求所有的正整数，使得为整数． 【答案】1或3或7 【分析】本题考查了分式的化简；把化为，则为8的正整数因数，即可求得n的值．把分式表示为整式与分式的和的形式是解题的关键． 【详解】解：因为为正整数， 则为整数， 故为正整数， 则为8的正整数因数，且， 故， 故． 19．已知数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，求分式的值，得到是解题的关键． 由去分母得到，代入即可求得答案． 【详解】解： x，y满足， ， ． 20．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 分式及其基本性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.分式的定义 2.分式有意义和无意义的条件 3.分式的值为0的条件 4.分式的基本性质 5.分式的约分 6.分式的通分 题型巩固 一、分式的判断 二、分式无意义的条件 三、分式有意义的条件 四、分式值为零的条件 五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 六、判断分式变形是否正确 七、求使分式变形成立的条件 八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 十、将分式的分子分母各项系数化为整数 十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 十二、约分 十三、最简分式 十四、最简公分母 十五、通分 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.分式的定义 1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母. 分式的“三要素”： (1)形如的式子； (2)A，B 为整式； (3)分母B 中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 分数 分式 联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 知识点2.分式有意义和无意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0 分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0 知识点3.分式的值为0的条件 1. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时， ＝0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知识点4.分式的基本性质 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用途 进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： 知识点5.分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 3. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 知识点6.分式的通分 1. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2. 最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母.通分的关键是确定几个分式的最简公分母 3. 确定最简公分母的方法 (1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 特别提醒 通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化. 题型巩固 题型一、分式的判断 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）代数式 中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式，，，，，0中，是分式的有 ． 3．填空并判断所填式子是否为分式： （1）一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，这部小说（上､下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量为____________； （2）走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少，骑自行车的平均速度为________； （3）甲完成一项工作需，乙完成同样工作比甲少用，乙的工作效率为___________． 题型二、分式无意义的条件 4．（25-26八年级上·广西·阶段练习）若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果分式的值不存在，则需满足的条件是 ． 题型三、分式有意义的条件 6．（25-26八年级上·河北沧州·月考）无论为何值，下列分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京·期中）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式中的字母x满足什么条件时分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四、分式值为零的条件 9．（25-26八年级上·北京·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 10．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 题型五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 12．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 13．当 时，分式的值是正数． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）当为何值时，分式的值为正数． 题型六、判断分式变形是否正确 15．（25-26八年级上·北京·期中）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，且，则代表的整式是 ． 17．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 题型七、求使分式变形成立的条件 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 19．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入 ． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．（25-26八年级上·河北·期中）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为倍 D．不变 22．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为 ． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 26．（24-25八年级上·山东滨州·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 题型十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 29．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 30．（25-26八年级上·山东淄博·月考）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 31．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 题型十二、约分 32．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 33．（25-26八年级上·全国·期末）约分： ． 34．（25-26八年级上·山东·阶段练习）计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十三、最简分式 35．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 37．（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 题型十四、最简公分母 38．（25-26八年级上·北京延庆·期中）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）分式，的最简公分母是 ． 题型十五、通分 40．把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 分层强化 一、单选题 1．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 4．化简：（   ） A． B． C． D． 5．如果分式的值为0，则x的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．若分式，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 8．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 二、填空题 9．若分式中的x，y的值都变为原来的3倍．则此分式的值为 ． 10．若分式的值等于，则 ． 11．使函数有意义的的范围是 12．若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 13．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 14．若分式的值为负数，x的取值范围是 ． 三、解答题 15．约分： (1) (2) 16．通分： (1)与； (2)与． 17．若表示一个整数，则整数可以取哪些值? 18．求所有的正整数，使得为整数． 19．已知数x，y满足，求的值． 20．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 学科网（北京）股份有限公司 $