专题01 幂的运算重难点题型专训（4个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 幂的运算重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 幂的乘方运算 题型四 幂的乘方的逆用 题型五 积的乘方运算 题型六 积的乘方的逆用 题型七 同底数幂的除法运算 题型八 同底数幂除法的逆用 题型九 幂的混合运算 拓展训练一 幂的新定义运算 拓展训练二 由幂的运算确定字母的关系 知识点一：幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法的性质，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 知识点二：幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，解题关键是掌握幂的乘方并能熟练运用求解． 根据幂的乘方法则计算． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方公式：（、都是正整数）是解题的关键．利用公式直接进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三：幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，掌握运算法则是解题关键．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是积的乘方运算，把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可． 【详解】解：． 故答案为： 知识点四：幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，解题关键是掌握幂的乘方． 利用幂的乘方直接计算． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）若，，为正整数，则 ． 【答案】200 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算公式是解题的关键． 对进行变形可得，再计算即可． 【详解】解：∵，（m，n为正整数）， ∴ ． 故答案为：200． 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则m的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据，判定，解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． 故选：C． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则，将左边各数转化为2的幂次形式，利用同底数幂相乘法则计算，再解方程求m.熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键. 【详解】解：由， 得 ， ∴， ∴， 得， 解得. 故选：D 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）若，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法得到，，求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：7． 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，则 ． 【答案】80 【分析】根据定义解答即可． 【详解】设，，， ，，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：80 【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）化简，结果为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算的逆用，由同底数幂乘法运算得，即可求解；能熟练利用幂的运算公式进行计算是解题关键． 【详解】解：原式 ； 故选：D． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解题的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）化简，得 ． 【答案】/0.875 【分析】本题主要考查了同底数幂的逆运算．先根据同底数幂的逆运算变形，再化简即可． 【详解】解： ． 故答案为： 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性，同底数幂的乘法的逆用． 先根据平方的非负性和绝对值的非负性求出，，逆用同底数幂的乘法将化为，进而计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴ 故答案为： 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 【经典例题三 幂的乘方运算】 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据积的乘方与幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法等知识． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据一个正方体相对两面的整式之积均相等得到，即可求解． 【详解】解： 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∵一个正方体相对两面的整式之积均相等， ∴ 解得， 故选：D 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加法，乘方的运算法则；熟记幂的乘方运算规律是解题关键． 根据整式的加法，幂的乘方运算底数不变指数相乘，解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系是 ．（从小到大排序） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘. 根据幂的乘方法则变为同底数的幂比较即可. 【详解】解：， ， ， ∵a、b、c的底数相同， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）已知与为任意正整数，请分别计算下列整式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （2）根据积的乘方法则计算，即可作答． （3）根据幂的乘方法则计算，即可作答． （4）根据幂的乘方法则计算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典例题四 幂的乘方的逆用】 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则的逆运算，解答本题的关键是根据幂的乘方运算逆运算进行变式．根据幂的乘方运算即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算化简，然后指数对应相等求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，，则用x的代数式表示 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方，要熟练掌握运算法则，解答此题的关键是要明确：是正整数）． 根据题意可得：，即可用的代数式表示． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，利用积的乘方运算的逆用得出，再进行计算得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则解答即可； （2）根据幂的乘方的逆用解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 又， ， ． 【经典例题五 积的乘方运算】 【例5】（24-25八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了积的乘方．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案即可． 【详解】解：． 故选：D． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先依据乘法的意义个相加得到，然后根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， ，选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2．（2025·河北保定·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键； 根据积的乘方运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： ； ； ． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则分别进行计算即可． 此题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：，， 4．（24-25八年级上·江西南昌·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）先逆用幂的乘方法则，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：， ． 【经典例题六 积的乘方的逆用】 【例6】（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解题关键是能熟练运用幂的乘方的逆用求解． 先将a、b、c、d都化为次方，再比较底数的大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， ， ∴． 故选： B． 1．（2025·河南郑州·模拟预测）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，，得到，进而问题可求解． 【详解】解：，，且满足， ，即， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方的应用，掌握积的乘方、幂的乘方运算法则的逆用成为解题的关键．先逆用幂的乘方可得，再逆用幂的乘法法则即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案： ； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的乘发，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用运算法则进行运算即可； （2）利用积的乘方公式运算求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系． 解：，，且， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_____． A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，，则，由此即可比较大小． 【详解】（1）解：由上述计算可得逆用幂的乘方， 故选：C； （2）解：，，且， ∴， 又∵，， ∴． 【经典例题七 同底数幂的除法运算】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则进行判断．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C ． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若“※”代表一种四则运算，且的结果是y，则“※”代表的运算符号是（   ） A．× B．÷ C．+ D．- 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂除法，底数不变，指数相减计算判断即可． 【详解】解：∵，且的结果是， ∴“※”代表的运算符号是号， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知，则m的值为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了同底数幂相除，根据同底数幂相除法则计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）第三宇宙速度是指从地球起飞的航天器飞行速度达到米/秒时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚．艺术形式下的哪吒踢毽子时，毽子速度大约是米/秒，则毽子的速度约是第三宇宙速度的 倍． 【答案】18 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据题意，运用同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：， ∴毽子的速度约是第三宇宙速度的倍， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义； （1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【经典例题八 同底数幂除法的逆用】 【例8】（24-25八年级上·重庆·期末）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方运算法则是本题的关键． 分别根据同底数幂的除法和幂的乘方运算法则的逆用，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·青海海西·期末）已知，，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，熟悉同底数幂的除法运算法则是解题的关键。 根据同底数幂的除法法则、幂的乘方的运算法则求解． 【详解】， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·重庆北碚·阶段练习）若则 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法的逆应用，把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】4053 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【详解】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【经典例题九 幂的混合运算】 【例9】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算的计算法则，即可求出答案． 【详解】A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是掌握幂的运算的相关计算法则． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若为正整数，则计算的结果是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分n为奇数和偶数两种情况，根据幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则计算即可． 【详解】若n为奇数，原式==0； 若n为偶数，原式==． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则和分类讨论思想的运算． 2．（24-25八年级上·江西南昌·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】首先根据乘方的意义把两项幂化为指数相同，然后逆用积的乘方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案是：． 【点睛】本题考查幂的运算，灵活运用同底幂乘法公式逆用、积的乘方公式逆用及乘法运算律是解题关键． 3．（24-25九年级·浙江杭州·）已知幂的运算有如下转换：（其中，且，），例如，；，则 ． 【答案】2 【分析】设，根据题意可得：，根据同底数幂的乘法的逆用可得，从而求出a＋b的值，然后代入即可． 【详解】解：设 根据题意可得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是幂的逆运算，读懂转化方法和掌握同底数幂的乘法是解决此题的关键． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【拓展训练一 幂的新定义运算】 1．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，根据新定义可得，由幂的乘方计算法则可得，，再由计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 【答案】(1)3 (2)1296 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【拓展训练二 由幂的运算确定字母的关系】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ． 【答案】3a+b-c=2 【分析】由题意知，则有，化简求解即可． 【详解】解：由题意知 ∴ ∴ ∴ ∴a、b、c之间满足的等量关系是 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法．解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法、同底数幂的除法的运算法则． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据新定义计算即可求解； （）设，可得，即得，得到，即得到，即可求证； （）利用（）的结论可得，，，即得，，，进而得到，即得，即可求解； 本题考查了新定义运算，负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：设， ， ， ， ， ； （3）解：由（）知，，， ，，， ，，， ， ， 即， ． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列各式的计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则，分别对每个选项进行计算，判断结果是否正确． 【详解】解： ，故A选项错误． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据积的乘方和幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故选：C 3．（24-25八年级上·湖北·期中）已知，若，则x的值（    ） A．86.2 B．0.862 C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（25-26八年级上·全国·期中）与算式的运算结果相等的是 （    ） A．78 B．87 C．497 D．498 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘，依题意，原式表示有7个相加，即原式等于，再结合同底数幂相乘，底数不变，指数相加的运算法则，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：A． 5．（2025·广东揭阳·模拟预测）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． 根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 故选：C． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．先计算内层幂运算，得到，再计算外层幂运算，注意负号在奇数次幂时保留． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果，那么的值为 ． 【答案】75 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：75 ． 8．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 9．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：（1） ； （2） ；（3） ； 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算，本题属于基础题型．根据同底数幂的乘法法则即可求出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【答案】128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）简便计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了积的乘方逆用，根据积的乘方法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）下图是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据积的乘方运算的逆用、同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 14．（24-25八年级上·江西南昌·期中）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系： 解：∵，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C． 幂的乘方    D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的运算，根据题意所示，先根据幂的乘方的公式得到同指数幂，进而比较大小即可； 【详解】（1）解：由运算郭晨易看出运用的幂的乘方的公式， 故答案选：C （2）解：∵， 且 又， 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设①， 则②， ，得． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)______； (2)______； (3)求的和（请写出计算过程）； (4)求的和（其中且）（请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是理解题中所给方法； （1）根据题中所给方法可设，则有，然后问题可求解； （2）设，则有，然后问题可求解； （3），则有，然后问题可求解； （4）设，则有，然后可得，则可设，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设①， ∴②， 得； 故答案为． （2）解：设①， ∴②， ，得， ； 故答案为． （3）解：设①， ∴②， ，得， ． （4）解：设①， ②， ，得． 设③， ④， ，得， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 幂的乘方运算 题型四 幂的乘方的逆用 题型五 积的乘方运算 题型六 积的乘方的逆用 题型七 同底数幂的除法运算 题型八 同底数幂除法的逆用 题型九 幂的混合运算 拓展训练一 幂的新定义运算 拓展训练二 由幂的运算确定字母的关系 知识点一：幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 【即时训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试） ． 知识点二：幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： ． 知识点三：幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西百色·期中）计算： ． 知识点四：幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）若，，为正整数，则 ． 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则m的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）若，，则 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，则 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）化简，结果为（    ） A． B．0 C． D． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）化简，得 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【经典例题三 幂的乘方运算】 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中） ． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系是 ．（从小到大排序） 4．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）已知与为任意正整数，请分别计算下列整式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 幂的乘方的逆用】 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 1．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，，则用x的代数式表示 ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知，，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【经典例题五 积的乘方运算】 【例5】（24-25八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若，为正整数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·模拟预测）计算的结果为 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： ； ； ． 4．（24-25八年级上·江西南昌·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 【经典例题六 积的乘方的逆用】 【例6】（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·河南郑州·模拟预测）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案： ； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示 ． 4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系． 解：，，且， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_____． A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 【经典例题七 同底数幂的除法运算】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若“※”代表一种四则运算，且的结果是y，则“※”代表的运算符号是（   ） A．× B．÷ C．+ D．- 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知，则m的值为 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）第三宇宙速度是指从地球起飞的航天器飞行速度达到米/秒时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚．艺术形式下的哪吒踢毽子时，毽子速度大约是米/秒，则毽子的速度约是第三宇宙速度的 倍． 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【经典例题八 同底数幂除法的逆用】 【例8】（24-25八年级上·重庆·期末）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·青海海西·期末）已知，，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆北碚·阶段练习）若则 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【经典例题九 幂的混合运算】 【例9】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若为正整数，则计算的结果是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·江西南昌·开学考试）计算： ． 3．（24-25九年级·浙江杭州·）已知幂的运算有如下转换：（其中，且，），例如，；，则 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【拓展训练一 幂的新定义运算】 1．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【拓展训练二 由幂的运算确定字母的关系】 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)证明：； (3)若，，，探究，，的关系． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列各式的计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北·期中）已知，若，则x的值（    ） A．86.2 B．0.862 C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期中）与算式的运算结果相等的是 （    ） A．78 B．87 C．497 D．498 5．（2025·广东揭阳·模拟预测）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：= ． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果，那么的值为 ． 8．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 9．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：（1） ； （2） ；（3） ； 10．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）简便计算：． 12．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）下图是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出n的值． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 14．（24-25八年级上·江西南昌·期中）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系： 解：∵，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C． 幂的乘方    D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设①， 则②， ，得． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)______； (2)______； (3)求的和（请写出计算过程）； (4)求的和（其中且）（请写出计算过程）． 学科网（北京）股份有限公司 $