天津市第一0二中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

数学试卷 一、单选题 1.直线1的方向向量为(1，-1)，则该直线的倾斜角为（) A牙 B月 c D. 2π 3 2.已知非零向量日，e2不共线，如果AB=名+e2,AC=2e+8e,AD=3,-3e2,则A,B,C, D四点() A.一定共线 B.恰是空间四边形的四个顶点 C.一定共面 D.一定不共面 3、设xy∈R,向量a=(x,-1,1),=(,y,1),c=(2,-4,2),且a1c,6/1,则x+y= () A.5 B.1 C.-1 D.-5 4.已知直线1：3x-4y+7=0与直线l2:6x-(m+1)y+1-m=0平行，则1与12之间的距离 为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，已知AB=AD=AA, D ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，则直线AC,与BB所成角的余弦值 为() A.⑤ B.5 C.v6 D.6 3 3 6.已知直线l:m+y-2=0,l,:2x+(a+1)y+2=0,若l∥12，则a=() A.4或2 B.1 C.1或-2 D.-2 7.若直线x-by+2=0a>0,b>0)经过圆2+y2+4x-4y+4=0的圆心，则上+2的最 a b 小值为() 试卷第1页，共4页 A. B.22+3 c. &.已知四棱锥A-EBCD,AE⊥平面BCDE,底面EBCD是∠E为直角，EBI/DC的直角 梯形，如图所示，且CD=2EB=2AE=4,DE=2√5，点F为AD 的中点，则F到直线BC的距离为（) A.37 B.V②3 c.3 D.23 2 4 9.已知圆C:(x-3)2+y2=9,D是圆C上的动点，点E(2,4),若动点M满足Dm=2DE, 则点M的轨迹方程为() A-+0-y旷-号 B.(x-1)2+(y-8)2=9 C.(x-5)2+0y-8)2=9 D.(x-8)2+(y-1)2=9 二、填空题 10.已知向量a=(2,-1,1),方=(1，x,1)c=(1-2,-1),当a1时，向量在向量c上的投 影向量为 .(用坐标表示) 11.已知直线：c+y+1=0与直线2：(a-)x-ay+2=0垂直，则实数a的值为 12.已知圆C经过原点和点A(2,1),并且圆心在直线：x-2y-1=0上，则圆C的标准方 程为一 13.直线1过点P(2,-1),且A(-1,2)和B(5,8)两点到直线1的距离相等，则直线1的方程 为 14.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD 的中点，且SP1AB,M为棱SM上的一点，若BM与平面SBD所成角的正弦值为5，则 AM= 试卷第2页，共4页 S D B 15.已知点M是圆x2+y2=1上的动点，点N是圆(x-5)2+(y-2)2=16上的动点，点P 在直线x+y+5=0上运动，则PM+PW的最小值为 三、解答题 16.据下列条件分别写出直线的方程.并化为一般式方程. (1)求经过点(1，-)，且与直线x+y-3=0平行的直线方程； (2)已知点A(-2,-),B(4,3).求线段AB的垂直平分线的方程； (3)求经过点P(2,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 17.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面PBC,BC⊥平面PAB,D为PC的中点， BE=2EA· B (I)设PA=a,PB=i,BC=c,用a,i,c表示DE: 2)若p=pa=BC-1 (i)求D (ii)求AC.DE. 试卷第3而.共4而 18.已知直线1的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (I)求证：不论m为何值，直线1必过定点M; (2)过点M的直线L交坐标轴正半轴于A,B两点，当VAOB面积最小时，求VAOB的周长. 19.己知圆C与圆M:(x+1)2+(y+2)2=4关于原点对称. (1)求圆C的标准方程； (②)设点P(x,y)为圆C上任意一点，求代数式x2+y2+2x+3的最值. 20.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠BAC=90°，点D,E,N分别为棱 PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2. E M B (I)求证：MN/平面BDE; (2)求平面CEM与平面MWE夹角的余弦值； (③)已知点H在棱PA上，且直线N与直线E所成角的余弦值为 ,求线段AH的长 7 试卷第4页，共4页数学答案 一、单选题 1.直线1的方向向量为(L,-1),则该直线的倾斜角为() A牙 B c. D. 2π 3 【答案】C 【分析】根据给定的条件，求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线1的方向向量为山，-)，得该直线的斜率为-1，所以该直线的倾斜角为3弧 故选：C 2.己知非零向量g,已不共线，如果AB=E+e,AC=2e+8e,AD=3e,-3e,,则A,B,C, D四点() A.一定共线 B.恰是空间四边形的四个顶点 C.一定共面 D.一定不共面 【答案】C 【分析】根据己知，可将AC用AB,AD表示出来，再根据向量共面的充要条件即可得出结 论 【详解】因为非零向量，已不共线，AB=e+e2,AC=2E+8&e2,AD=3,-3e2, 所以5AB-AD=5e+5e2-3e,+3e2=2e,+8e2=AC, 由向量共面的充要条件可知，A,B,C,D四点共面. 故选：C 3.设x,y∈R,向量a=(x,-1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a1c,b11,则x+y=() A.5 B.1 C.-1 D.-5 【答案】D 【分析】由b/1有存在元eR,b=c,即可解得y,又a1c得x-y+1=0解得x,进而求 解。 试卷第1页，共15页 [1=2λ = 【详解】由b/1有存在1∈R,b=1花，所以{y=-42→ 2, 1=2元 y=-2 由aLc有ac=2x+4+2=0,所以x=-3,所以x+y=-5, 故选：D, 4.已知直线l:3x-4y+7=0与直线12：6x-（m+1)y+1-m=0平行，则1与12之间的距离为 () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】两直线斜率存在时，平行则斜率相等，求出m的值，再根据两平行线间的距离公 式即可计算 【详解】：直线与马平行，2-4,7 ,解得m=7. 6m+11-m 7+3引 ,12的方程为3x-4y-3=0,.它们之间的距离d= =2 V32+42 故选：B. 5.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，已知AB=AD=AA, ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，则直线AC,与BB,所成角的余弦值为() D A.3 B.3 c.6 3 2 3 D.6 2 【答案】C 【分析】取空间向量的一个基底{AB,AD,AA},利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值， 【详解】在平行六面体ABCD-ABCD中，AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA, BB=AA,记AB=AD=AA1=a,∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°， 则AB.AD=AD.A4=AA·AB=a×os600_a 2 试卷第2页，共15页 AC=(AB+AD+4)=AB'+AD'+A4+24B.AD+2AD.A4+244AB a+a+a+2x2x受2a,8服=a 2 4C丽=B+AD+A=丽+D.A4+'g 2 2a2a2, 因此cos(AC,BB)= AC·BB 2a26 所以直线4C,与BB所成角的余弦值为6 故选：C 6.己知直线l:ax+y-2=0,l2:2x+(a+1)y+2=0,若4∥2，则a=() A.-1或2 B.1 C.1或-2 D.-2 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为4∥l2,1:ax+y-2=0,l2:2x+(a+1)y+2=0, 所以a(a+1)=1×2,所以a2+a-2=0,解得a=-2或a=1, 当a=-2时，1：2x-y+2=0,2:2x-y+2=0,直线1，l2重合，不满足要求， 当a=1时，1：x+y-2=0,l:x+y+1=0,直线l,2平行，满足要求， 故选：B. 7.若直线r-+2=0(a>0,b>0)经过圆2+y+4-4y+4=0的圆心，则上+2的最小 a b 值为() 6 9 B.2√2+3 2 D. 2 【答案】B 【分析】由直线过圆心得到a+b=1,再结合乘1法即可求解。 【详解】由x2+y2+4x-4y+4=0,可得圆心坐标(-2,2)， 因为直线ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆心， 所以-2a-2b+2=0,即a+b=1, 试卷第3页，共15页 所-+引-22a a b (当且仅当2=20，即a=反-1，b=2-2)取等号， a b 所以上+2的最小值为2N2+3, a b 故选：B 8.已知四棱锥A-EBCD,AE⊥平面BCDE,底面EBCD是∠E为直角，EB/IDC的直角梯 形，如图所示，且CD=2EB=2AE=4,DE=2B,点F为AD的中点，则F到直线BC的 距离为() B A.37 B.23 C.3i D. 23 2 2 4 4 【答案】A 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，AE⊥平面EBCD,BE,EDC平面EBCD, 所以AE⊥BE,AE⊥ED,又BE⊥ED, 故以E为原点，EB,ED,EA所在的直线分别为x,八，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则A(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2N3,0),D(0,2/3,0),得F(0,V3,1) 所以BC=(2,23,0),FB=(2,√3，-1)， 记c BC BC 则=V4+3+1=22,ac=1- 31 2=-2 所到线c的距黄为--可- 故选：A 试卷第4页，共15页 B 9.已知圆C:(x-3)2+y2=9,D是圆C上的动点，点E(2,4),若动点M满足DM=2DE, 则点M的轨迹方程为() A+0-2- B.(x-1)2+(y-8}=9 C.(x-5)}2+(0y-8)2=9 D.（x-8)2+(y-1)2=9 【答案】B a=4-x 【分析】设M(x,y),D(a,b),由DM=2DE,得到 b=8-y代入圆C方程即可求解， 「x-a=4-2a 【详解】设M(x,y),D(a,b),由DM=2DE,得 y-b=8-2b' a=4-x 所以6=8-y 又因为点D在圆C:(x-3)2+y2=9上， 所以(4-x-3)2+(8-y)2=9,即(x-1)2+0y-8)2=9 故选：B 二、填空题 10.己知向量a=(2,-1,1),b=(（1,x,1),c=(L,-2,-1),当a1b时，向量6在向量c上的投 影向量为 ·(用坐标表示) 【答案】(（-1,2,1) 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出x=3,再利用投影向量公式求出答案。 【详解】因为a⊥b,所以ab=2-x+1=0,所以x=3. 试卷第5页，共15页 因为b=(1,3,1),所以6在c上的投影向量为 b.e c =-c=(-1,2,10. lel lel 故答案为：（-1,2,1) 11.己知直线l:ax+y+1=0与直线l2:(a-1)x-ay+2=0垂直，则实数a的值为 【答案】2或0 【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解 【详解】由于直线l:ar+y+1=0与直线l:(a-1)x-ay+2=0垂直， 故a(a-l)-a=0,解得a=2或0. 故答案为：2或0. 12.己知圆C经过原点和点A(2,1),并且圆心在直线：x-2y-1=0上，则圆C的标准方程 为 【答案】 9 20 【分析】OA的中垂线必过圆心，所以首先求OA的中垂线，再求中垂线与直线l的交点，交 点就是圆心，最后圆心与点O的距离就是半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程. 【详解】原点O(0,0)和A(2,1)的中点坐标为 线段OA的垂直平分线的斜率为k=-2, 所以，线段OA的垂直平分线的方程为：y=-2x+ 2 50 2x+y 的 61) x-2y-1=0 ,得圆心坐标C为510” 所以半径的f方r=4c心8 因比c的标准方程为-+- 故答案为： 〔g8 13.直线1过点P(2,-1),且A(-1,2)和B(5,8)两点到直线1的距离相等，则直线1的方程 试卷第6页，共15页 为 【答案】x=2或x-y-3=0 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况：利用点到平面距离相等列式计算即可求. 【详解】当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为：x=2时，满足题意； 当直线I的斜率存在时，设直线1的方程为：y+1=k(x-2),即x-y-2k-1=0, 由于A(-1,2)和B(5,8)两点到直线1的距离相等， 所以6-2-2k-1_5x-8-2k- Vk2+1 Vk2+1 解得k=1,此时直线1的方程为：x-y-3=0, 综上所述，直线1的方程为：x=2或x-y-3=0. 故答案为：x=2或x-y-3=0 14.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD 的中点，且SP⊥AB,M为棱SM上的一点，若BM与平面SBD所成角的正弦值为5，则 4 AM= M B 【答案】05 【分析】根据给定条件，证得SP⊥平面ABCD,以P为原点建立空间直角坐标系，利用空 间向量求解即得。 【详解】过点P作PEI/CD,交BC于点E,由SD=SA,P为AD中点，得SP⊥AD, 又SP⊥AB,且AD AB=A,AD,ABC平面ABCD,则SP⊥平面ABCD, 而PEC平面ABCD,有SP⊥PE,又ABCD是矩形，则SP,PA,PE两两垂直， 以P为原点，PA,PE,PS所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图： 试卷第7页，共15页 2 D D 由AD=SA=SD=2,AB=1,P为AD中点，得SP=V5,E为BC的中点， 则点P(0,0,0),A1,0,0),S0,0,V3),B(1,1,0),D(-1,0,0), DB=(2,l,0),D=1,0,V3),AS=(-1,0,V3),BA=(0,-1,0), 令AM=2AS=(-1,0,√5)，0≤2≤1，BM=BA+AM=(-元，-LV52), m·DB=2x+y=0 设平面SBD法向量为m=(x,y,z),则 m-Ds=x+5=0’令z=1,得m=(←5,25，， 由BM与平面SBD所成角的正弦值为5，得1cos(B,m BM·m_1252-2515 4 1BMm√422+1×44 3 解得入，所以AM上AS2元=47 故答案为： 3 4 15.己知点M是圆x2+y2=1上的动点，点N是圆(x-5)+（y-2=16上的动点，点P在 直线x+y+5=0上运动，则PM+PW的最小值为 【答案】√149-5/-5+√149 【分析】根据圆的性质可得PM+PW≥PO+P4-5,求点O(0,0)关于直线x+y+5=0对 称的点为B,结合两点连线距离最短分析求解 【详解】由题意可知：圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径5=1， 圆(x-5)+(y-2)=16的圆心A(5,2),半径2=4， 则PM≥PO-1,IPN≥PA-4 即PM+PW≥PO+PA-5, 设点O(0,0)关于直线x+y+5=0对称的点为B(a,b), 试卷第8页，共15页 b-0 二1 则 a-0 ,解得a=b=-5,即B(-5,-5), 22+5=0 a b x+y+5=0 B 因为PO=|PB,则PM+PW≥PB+PA-5≥AB5=M49-5,当且仅当A,B,P三点 共线时，等号成立， 所以PM+PW的最小值为√149-5. 故答案为：√149-5 三、解答题 16.据下列条件分别写出直线的方程.并化为一般式方程. (1)求经过点(1，-1)，且与直线x+y-3=0平行的直线方程： (2)已知点A(-2,-1),B(4,3).求线段AB的垂直平分线的方程： (3)求经过点P(2,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1)x+y=0 (2)3x+2y-5=0 (3)2x-y=0和x+y-6=0 【分析】根据题给条件设直线方程即可. (1)设与直线x+y-3=0平行的直线方程为x+y-c=0,代点即可求解. (2)根据点A,B求中点坐标及其斜率，与线段AB的垂直的直线的斜率k与k·kB=-1,点 斜式写直线方程即可. (3)设截距，考虑截距为0和不为0的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】(1)设与直线x+y-3=0平行的直线方程为x+y-c=0,过(1，-1)，则1-1-c=0, 试卷第9页，共15页 则c=0,所以直线的一般方程为x+y=0。 (2)因为点A(-2-),B(4,3),中点为，)，k=32 4+23 则正直平分找的斜车人。=山，则长=子 百线方程为1--小，所以直线的一般方程为3x+2-50 (3)设直线在两坐标轴上的截距为a,即直线过(0，a),(a,0) 当截距a=0时，直线过00，k=2,则y=2x,即2x-y=0: 当截距4≠0时，直线斜率k=-0=-1,则y-4=-(x-2),即x+y-6=0. a 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x-y=0和x+y-6=0 17.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面PBC,BC⊥平面PAB,D为PC的中点， BE =2EA. (I)设PA=a,PB-b,BC=c,用a,b,c表示DE; (2)若PA=PB=BC=1 Gi)求D园 (ii)求AC.DE. 【路案100-。- 26:m)号 6 【分析】(1)连接BD,PE,利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解： (2)根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求 解。 【详解】(1)如图所示， 试卷第10页，共15页