湖北省黄冈市部分高中2026届高三上学期期中考试数学试卷

2025年秋季黄冈市部分高中高三年级期中考试 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4.考试结束后，请将答题卡上交， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7},则A∩B= A.(x|3≤x<7} B.{x|2<x<10} C.{x|2<x<3) D.{x|7≤x<10} 2.复数z=(一2一3i)·i的共轭复数是 A.3-2i B.3+2i C.2-3i D.2+3i 3已知x>0,则3-2红-兰的最大值为 A.3+42 B.3+2√2 C.3-22 D.3-4√2 4.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,若S,=18,则a5的值为 A.9 B.4 C.3 D.2 5.已知sis=号a∈受x,则cos( -a)的值是 A2-西 B2+I5 c,23-5 D.5-2 6 6 6 6 6.从0,2,4中任取2个数字，从1,3,5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四 位数有 A.216个 B.162个 C.108个 D.180个 高三数学试卷第1页（共4页） 7.已知随机变量X~B(10,p),Y~N(5,o2),且E(2X+1)=7,若P(Y≤9)=1-p2, 则P(1≤Y≤9)= A.0.09 B.0.82 C.0.91 D.0.21 8.设向量a,b满足|b|=2|a|=4,对任意x∈R,Ixa+b|≥|b一√3a|恒成立，则 |2a+λb|(∈R)的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分， 9.在工程技术中，常用到双曲正弦函数(n=（e-e)和双曲余弦函数(coshx 1 大十。，它们的很多性质与正弦函数和余弦函数类似，记广代x)一立 g(x)一coshx,下面关于这两支函数的说法正确的有 A.f(x),g(x)在定义域上均为增函数 B.f(2x)=2f(x)g(x) cfx)-f0g)=2r2')g2) D.f(g(x)与g(f(x)均为偶函数 10.下列命题中真命题有 A.在二项式(x一 左)”的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则m=8, B.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数相同”，事件B= “第一次掷出的点数为偶数”，则事件A和B是相互独立事件， C,若p:函数y=tan(wx十p)的图象关于(xo,0)对称，q:tan(ωxo十p)=0,则p是 9的必要不充分条件. D对一组数据(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)进行回归分析，利用最小二乘法得到 的回归直线y=bx十a至少要经过其中的一个数据点(x,y)(i=1,2,…,n). 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(3tanA+1)(√3tanB+1)=4, 且c=2,则下列选项中正确的有 AC=号 B.△ABC面积的最大值为 C.a+6的最大值为4y 3 D,角C的平分线交AB于点D,则CD的最大值为 高三数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设向量e1、e2不共线，若向量λe1+e2与向量2e1一e2平行，则实数1的值为 13.函数f(x)=coscos(x-子)在[0，元]上的单调递减区间为 14.对于任意x∈(0,1)，不等式十lne≥an工恒成立，则正数a的取值范围是 er 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分) 某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了 100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根 据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价x元 1 2 3 4 5 销量下降y百件 1 2 8 14 15 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试建立y与x的回归方程. (2)由(1)中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大 销售额是多少百元？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(x,y)(i=1,2,…,n),其经验回归 直线=证十a的斜率和我距的最小三果估计公式分别为方三艺)0，一 2(x-2) a=y-bz. 16.(本题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C满足sinC=√5sinB+sin(A一B),且△ABC的外接圆的 周长为4π. (1)求角A; (2)若AD为BC边上的高，且Ad-A店-号AC,求△ABC的面积。 高三数学试卷第3页（共4页） 17.(本题满分15分) 已知S.为正项数列{an}的前n项和，且满足2Sm=an十1，数列(bn}满足bn+1三 2bn+1,且b1=1. (1)求{an}的通项公式； (2)设工，为数列分的前：项和，证明：T.<2 18.(本题满分17分) 某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参 与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其 中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有0%的测试卷诊 断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性， (1)从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心 理异常的概率是多少？ (2)如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试 卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进 一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次 随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊 卷，设还需要抽取5份才可以找出所有漏诊卷，写出5的分布列并计算E(5). 19.(本题满分17分) 已知函数f(x)=e一2x一1，函数g(x)=ax2一sinx, (1)求f(x)的单调区间； (2)若曲线y=f(x)在(xo,f(xo)处的切线方程为y=p(x),证明：f(x)≥p(x) 恒成立； (3)若对任意的x∈[0，十∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围， 高三数学试卷第4页（共4页）2025年秋季高三期中考试 数学答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.A 2B3.D4.D5.B6.D7.B 8.A 8.解析：设（ā，b)=0 xa+b≥5-V5a→xa+6≥B-V5d→x2+4xcos0+4v3cos0-3≥0 上式恒成立，4≤0→bc0s8-V5}≤0→cos0=- 2 +4≥4,2a+2622 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。 9.BCD 10.ABC 11.BCD 1l.解析：)V3tanA+lW3tanB+=4→√3 tan Atan B+tanA+tanB=V3 →m4+mB60-m4am8:a1+=64+8=5C- 3 (2a2+b2+ab=c2=4→3ab≤4，abs4, Sue-gabsincs 1 232 3 B):a=b=c=4 sind sin sincin d+sinsin coscos 3 /3 2 2 ④)没角C的平分线长为x,则axsin+oxsin=absin2T一x=ab 32 32 3 a+b 由2+b2+ab=c2=4得：ab=a+b}-4x=a+bP-4=a+b）-4 a+b b' 由3)可知：a+bg3话/：xe0 3 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-2 13. π2π 63 (区间端点的开或闭均给满分) 14. 14.解析：+tna之alnx今r2+xlna≥aenx→+n≥nX e" ex+lna 令：fx)=x,则f(x+lna≥fmx, =号二（个，在+j小，且当<0时，小0 当xe(0,l时，lnx<0,fnx)<0, .若x+lna≤0时，fx+lna)>fnx)台x+lna>lnx 若x+lna>0时，f(x+lna)>0,必有fx+lna)>fnx)b ∴.0≥x+lna>lnx或x+lna>0,即：lna≥-x+lnx 令：g)=-x+lnxg)1-x,g在01)个，lna≥g)=-1,a≥ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 解：0)x=3,少=8∑(x-x,-)=40,∑（x,-x)=10, i-1 -1 .b=4,a=8-4×3=-4,=4x-4: …6分 (2)设涨价x元时，每日的销售额为w百元， w=(20+x100-4x+4)=-4x2+24x+2080 x≥0,104-4x>0,.0≤x<26, .当x=3时，w有最大值2116百元. 故当售价为23元时，日销售额最大，为2116百元. …13分 16.(本题满分15分) 解：l):sinC=V3sinB+sin(A-B),∴sin(A+B)=V3sinB+sin(A-B) →V3sinB-2 cos Asin B=0,又sinB≠0， .cos4=V3 21 …7分 6 (2)2r=4π→r=2,a=2 rsin A=2: 由余弦定理：b2+c2-V3bc=4, y4D18c而8c=0又而-6-C 〔g8cw-小03a-4acc0 即：3c2-2√3bc+b2=0→b=V5c, 结合：b2+c2-√3bc=4,解得：c=2,b=2W3, 5eesin …15分 17.(本题满分15分) 解：2Sn=an+1→4Sn=(an+, 当n=1时，4S,=(a1+12→a1=1 …1分 当n≥2时，4Sn=(an+},4Sn1=(an-+1}, …2分 两式相减得：4an=a-a71+2an-2an-1→(a,+a-1Xa,-a1-2)=0, :{an}为正项数列，.an=a+2, …5分 又a=l,∴.an=1+2(n-1)=2n-l,(n∈N …6分 (2bn41=2b,+1→bn1+1=26n+1,又b+1=2,b.+1=(6+1八20-=2”， ∴.bn=2"-1(n∈N+b …9分 当m=时，T=-1<2: b 调 <1<1<<= …12分 bn 2 bn-1 22 bn-2 2b2- 1 =+++1<1+t+ 1 1 1 :.Tn=b ba b。22+ 2- 2 -=2- 1 21下2： 1- ∴.Tn<2(n∈N,恒成立. …15分 18.（本题满分17分) 解：(1)设事件A表示从实验组中随机抽取一人恰是确诊为心理异常的患者，事件B表示从实验组中的测 试卷中抽取一份的诊断结果是阳性。则P(A)=0.1,P(BA)=0.8,P(BA=0.1. .PB)=P(A)r(8A+PaP8a=0.1x0.8+0.9x0.1=0.17, PB)=1-P(B)=0.83,PBA)=1-PBA=0.2 PB=F同AP(A)=02x0.1=0.02,P4B-P_002-2 PB)0.8383 即：在所求条件下测试者为心理异常的概率是 …7分 3 (2100×10%=10,10-10×80%=2, ∴.确诊为心理异常者的测试卷一共有10份，其中漏诊卷2份， ∴.已经取出5份测试卷均不为漏诊卷，剩下的5份测试卷中还有2份漏诊卷， ∴可能值有：2,3,4. ……………9分 P咋=2=4-1 A10 …10分 p作=3)-CC9+48.3 …12分 AA410 P唯=4)=CC4-3 451 …13分 的分布列为： 5 2 3 4 P 0.1 0.3 0.6 …15分 E(5)=2×0.1+3×0.3+4×0.6=3.5. …17分 19.（本题满分17分) 解：①)f'(x)=e*-2=0→x=ln2, 当x<n2时，f'(x)<0:当x>ln2时，f'(x)>0. ∴.f(x的减区间为(-oo,ln2),增区间n2,+o方 …4分 (2):f(x)=e-2,.k=e0-2,切线为：y=e”-2x-xo)+e-2x-1, :y=le-2jx+e"-xoe"-1.-.p(x)=e"-2b+e"-xoe"-1 …6分 令gx)=fx)-px,则：gx)=e-ex-e+xe,gx)=e-e 当x<x时，g(x)<0,qx)单调减：当x>x时，g(x)>0,qx)单调增： ∴[4(x小m=gx)=0,故：q(x)≥0台f()≥p(x以从而得证. …10分 (3)fx)2gx)台e-2x-1-ar2+sinx≥0， 令：F(x)=e-2x-1-ax2+sinx,则F(x)≥0在[0，+o)上恒成立。 F'(x)=e-2-2ax+cosx,F'(0)=0, F"(x)=e*-2a-sinx,F"(x)=e*-cosxz0. ∴F"(x)在[0+o)上单调增，F"(0)=1-2a, 若a≤则Fd>F0)=1-2a≥0.则F(r0.+止单调增，F(2F'O)=0, ∴F(x)在[o,+o)上单调增，F(x)≥FO),与题意相符： 若a>2则F0)=1-2a<0,又F（心r在0，+止单调增，且F"t+h2a)=e-sin+ln2a>0, ∴必存在唯一的xo∈(0,1+ln2a),使得：F"(xo)=0,且当x∈(0，x时，F"(x)<0,F'(x)单调减， ∴当x∈(O,x时，F'(x)<F'O)=0,从而F(x单调减，F(x)<F(O)=0,与题意不符。 综上：的取值范围是-0·2 1 …17分