湖南邵阳市邵东市第四中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

2026年下学期高二期中考试卷（数学）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B C C C B C A ABC 题号 10 11 答案 ABD ACD 1．C 【分析】根据直线方程确定直线斜率，由倾斜角与斜率的关系即可得倾斜角大小. 【详解】设直线倾斜角为，则直线的斜率． ，， 故选：C． 2．B 【分析】由向量垂直得，得，再计算向量的模即可． 【详解】依题意得，，得，解得， 则， 所以， 故选：B 3．C 【分析】作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可 【详解】 如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为 答案选：C 【点睛】本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题 4．C 【分析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数. 【详解】由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线. 故选：C 5．C 【分析】可理解为，即点与原点连线的斜率，数形结合即可解决. 【详解】的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，如图所示， 设直线方程为，则，解得斜率的最大值为，所以max＝． 故选：C 6．B 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 7．C 【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及直线与的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线线角的关系即可求解. 【详解】因为 所以， 所以, 又因为侧棱与底面垂直， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示    易得， 所以, 设异面直线与所成角为，则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 8．A 【分析】取正方形的中心，利用线面垂直及线面角可求得，进而确定轨迹并求出面积. 【详解】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 故选：A    9．ABC 【分析】求出直线AB的方程，再确定位置关系判断A；求出点P到直线AB的距离的最大值求解判断B；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式计算判断C；求出圆心与点的距离判断D. 【详解】由点，得直线，圆， 圆心，半径， 对于A，由圆心C到直线AB的距离，得直线AB与圆C相离，A正确； 对于B，，点P到直线AB的距离的最大值为， 因此面积的最大值为，B正确； 对于C，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，C正确； 对于D，， D错误. 故选：ABC    10．ABD 【分析】由几何体结构结合基底法即可求解判断A；由即可计算求解判断B；由结合模长公式即可计算求解判断C；计算即可得解判断D. 【详解】对于A，因为是的中点，所以， 因为是棱上靠近的三等分点，所以， 所以，故A正确； 对于B，由题，因为， 所以 ， 解得，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 12．或. 【分析】分截距均为和截距均不为两种情况讨论，利用待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距均为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 当截距均不为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或. 13． 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故答案为： 14． 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.   因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 15.不会有危险 【详解】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0). 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，轮船航线所在直线l的方程为3x+4y-12=0,联立直线l与圆O的方程，消去y，得 由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险. 16．(1) (2)或. 【分析】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. （2）解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 17．(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据圆心及过原点，可得半径，即可得方程. （2）根据点到直线的距离公式，可得d，代入弦长公式，即可得到答案. （3）讨论斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，计算求解，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. （2）设圆心到的距离为，则， 所以. （3）当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 18．(1) 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19．(1)，圆心坐标为，半径为2． (2) (3) 设直线的方程为，，， 由得， 所以，，     所以 ，       所以，所以直线方程为， 令，解得， 即直线过定点. 【分析】（1）先设出点，根据已知的距离之比列出等式，然后化简即可； （2）先设出直线，然后联立直线与圆的方程根据韦达定理得到的关系，即可求出； （3）设直线的方程，然后联立直线与圆的方程得到一元二次方程，再根据韦达定理得到得到直线中参数的关系，进而证明. 【详解】（1）设点，因为，所以， 整理得．    该圆对应的圆心坐标为，半径为2． （2）当斜率为0时，即，不符合题意； 当斜率不为0时，设其方程为，设，， 由消去得， ②，③．        由，，得， 所以，，①， 联立①②③，可得，即， ∴直线的方程为． （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东四中2026年下学期高二期中考试试题卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项是正确的。） 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则（   ） A． B． C．5 D．0 3．已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．圆：和圆：的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果实数 满足等，那么 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 6．已知，，，与的夹角为，则（　　） A．— B． C． D． 7．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共计18分，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9．已知点，动点在圆：上，则（   ） A．直线与圆相离 B．的面积的最大值为 C．当最小时， D．的最大值为6 10．如图，在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，设，是棱上靠近的三等分点，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D．异面直线与所成角的余弦值为 11．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最小弦长为 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12．平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________. 13．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则__________.    14． 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题（本题有5小题，其中第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共计77分） 15.一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处，如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险? 16．已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 17．已知圆经过坐标原点，且圆心为. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程. 18．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． (1)证明：平面； (2)求M到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的标准方程，及其对应的圆心的坐标与半径长； (2)过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程； (3)设斜率为直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，证明：直线恒过定点 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $