精品解析：宁夏回族自治区区银川市第二十中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

宁夏回族自治区区银川市第二十中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 考试时间：120分钟；满分：120分 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某景点参观人数逐年增加，据统计，2019年为万人次，到2021年三年合计为万人次，设参观人数年平均增长率为x，则（ ） A. B. C. D. 4. 在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 小明把一张长、宽 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(如图所示)．如果这个无盖的长方体底面积为，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 7. 某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为( ) A. 2 B. C. 2 D. 4 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 在比例尺为的徐州交通旅游图上，新元大道的长约为，它的实际长度约为______． 10. 已知 ，则______； 11. 已知点是线段的黄金分割点，那么的长为_____． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 13. 若一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 14. 如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________． 15. 用力转动如图所示的甲转盘和乙转盘，甲转盘转到阴影部分的概率___________乙转盘转到阴影部分的概率．（填“>”、“<”或“=”） 16. 如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高______m． 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程： （1）（2x+1）2＝9； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）x2﹣6x+12＝0； （4）3x（2x+1）＝4x+2． 18. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为，求另一个实数根； （3）若方程的两个实数根，满足，求的值． 19. 如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求的长． 20. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 21. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 22. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______人． （2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 23. 教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？ 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 25. 如图（10），梯形中，，点是边的中点， 连结交于点，的延长线交的延长线于点． 1.求证： 2.若，，求线段的长 26. 【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区区银川市第二十中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 考试时间：120分钟；满分：120分 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘积的值进行判断． 根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可． 【详解】解：由题可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段是成比例线段； 根据题意可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 故选：． 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，计算判断即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由得， A.由得，不符合题意； B. 不符合题意； C. 符合题意； D. 由得，不符合题意； 故选：C． 3. 某景点参观人数逐年增加，据统计，2019年为万人次，到2021年三年合计为万人次，设参观人数年平均增长率为x，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，通过设出增长率，进而得到2020的人数为万人，2021年的人数为万人是解题的关键． 【详解】解：设参观人数年平均增长率为x， 由题意得，， 故选D． 4. 在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，从图中找出一共有几条路径，用能获得食物的路径数量除以路径总数即为所求． 【详解】解：小鼠一共有八条路径可以选择，只有两条路能获得食物， ∴P（小鼠在第一次走迷宫就能获得食物）． 故选：C． 5. 小明把一张长、宽 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(如图所示)．如果这个无盖的长方体底面积为，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，可得长方体底面长为，宽为，再根据长方形面积公式列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设剪去的正方形边长为， 由题意得，， 故选：． 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质．根据平行线的性质证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为( ) A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵∠C=90°，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∵点P的速度是每秒cm，点Q的速度是每秒1cm， ∴BP=tcm，BQ=（6-t）cm， ∵四边形QPBP′为菱形， ∴t×=， 解得t=2． 故选A． 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.菱形的性质． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 在比例尺为的徐州交通旅游图上，新元大道的长约为，它的实际长度约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题，根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可，解题的关键是由题意列出比例式求解． 【详解】解：设它的实际长度是， 根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 10. 已知 ，则______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的相关知识，灵活运用设比例系数法是解题的关键；设，那么，然后代入原式即可求得答案． 【详解】解：设， ， ， 故答案为：． 11. 已知点是线段的黄金分割点，那么的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的知识，需要根据黄金分割点的定义，结合已知条件求出的长度．黄金分割点的定义是较长部分与整体的比等于黄金分割比，需注意为较长部分，因此需正确应用公式进行计算． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ． 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 13. 若一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即，同时常数项为0，即，求解的值． 【详解】解：∵一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得 或， 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ， 即当时，；当时，， 故的值为1或； 故答案为1或． 14. 如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，得到，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，E是BC的中点， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 15. 用力转动如图所示的甲转盘和乙转盘，甲转盘转到阴影部分的概率___________乙转盘转到阴影部分的概率．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据题意分别计算甲、乙转盘转到阴影部分的概率，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，甲转盘阴影部分的面积是甲转盘面积的， 甲转盘转到阴影部分的概率为， 同理，乙转盘转到阴影部分的概率为， 甲转盘转到阴影部分的概率=乙转盘转到阴影部分的概率． 故答案为：=． 16. 如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高______m． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系求值是解题的关键．根据题意证，根据线段比例关系求出即可求出的长． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：7.5 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程： （1）（2x+1）2＝9； （2）x2+4x﹣2＝0； （3）x2﹣6x+12＝0； （4）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣2；（2）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（3）方程没有实数解；（4）x1＝﹣，x2＝． 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法解方程； （3）根据判别式的意义判断方程没有实数解； （4）先移项得到3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：（1）2x+1＝±3， 所以x1＝1，x2＝﹣2； （2）x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6， x+2＝±， 所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣； （3）△＝（﹣6）2﹣4×1×12＜0， 所以方程没有实数解； （4）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣2）＝0， 2x+1＝0或3x﹣2＝0， 所以x1＝﹣，x2＝． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解方程． 18. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为，求另一个实数根； （3）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）根据列出不等式解答即可求解； （）把代入方程可求出或，再把的值代回方程，解方程求出另一个实数根即可； （）根据一元二次方程根和系数的关系得，，即得，解方程求出的值，再结合（）的取值范围即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程及一元二次方程解的定义，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根为， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 综上，另一个实数根为或； 【小问3详解】 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 19. 如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求的长． 【答案】（1） 与相似；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质和已知条件得出，因此，再由公共角，即可得出． （2）根据已知求得，根据利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 20. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米 （2） 解：不能实现，理由如下， 设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 方程整理得： ∵ ∴原方程无解， ∴想要建一个的矩形养鸡场，这一想法不能实现 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程； （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，解方程并取符合题意的解； （2）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，得出方程无解，进而得出结论，即可求解． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 解得：或 ∵ ∴ ∴， ∴（米） 答：鸡场的长为米，宽为米 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理； （1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论； （2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______人． （2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）40 （2）；420 （3） 【解析】 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （2）用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数；根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人． 故答案为：40． 【小问2详解】 解：参加排球项目的学生人数为（人）． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （人． 参加“游泳”的人数大约为420人． 【小问3详解】 解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 23. 教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为的竹竿的影长为，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为，落在墙壁上的影长为，并画出了几何图形，图中线段长为树高，长为墙壁上的影子长，请你和他们一起计算一下树高多少米？ 【答案】4.2米 【解析】 【分析】本题考查了物高与影长成正比，过D作于点E，连接 求解即可． 【详解】解：过D作于点E，连接， 由题意知 又∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴（米） 答：树高为米． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 25. 如图（10），梯形中，，点是边的中点， 连结交于点，的延长线交的延长线于点． 1.求证： 2.若，，求线段的长 【答案】证明：∵AD∥BC ∴∠GED=∠GBC ∵∠G=∠G ∴△GED∽△GBC ∴= ∵AE=DE ∴= (2) EF=1． 【解析】 【分析】（1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB=DE：BC；已知AE=DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论． （2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC=EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长. 【详解】解：（1）略 (2) ∵AD∥BC ∴△AEF∽△CBF ∴= 由（1）问得：= ∴= 设EF=x，∵GE=2，BF=3 ∴ ∴x1=1，x2= -6（不合题意，舍去） ∴EF=1． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和对应边成比例性质. 26. 【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $