精品解析：辽宁省铁岭市西丰县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中考试试卷 九年数学 考试时间：120分钟．试卷满分：120分 第一部分选择题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）下列各题的备选答案中，只有一项是正确的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，原方程不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．方程含有分式，选项B不符合题意； C．含有2个未知数，选项C不符合题意； D．，化简为，是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 该函数有最大值，是大值是5 D. 函数图象的顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数，可知开口朝上，顶点为，对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大，进而逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数， 抛物线的图象开口朝上， 故A选项不正确，不符合题意； 对称轴为直线，在对称轴的右侧，即时，随的增大而增大， 故B选项正确，符合题意； 顶点坐标为，开口朝上，函数有最小值5， 故C选项不正确，不符合题意； 顶点坐标为， 故D选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象与性质是解题的关键． 3. 下列国家安全图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕一个点旋转得到的图形与原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 将方程配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 6. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地（，）上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．由图可知：草坪部分的长为，宽为，然后根据草坪总面积为列方程即可． 【详解】解：草坪部分的长为，宽为， 根据题意即可得出方程为：， 整理得：． 故选：B． 7. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，由旋转的性质可知：，，再由正方形的性质得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∵是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选C 8. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：B． 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称轴确定各点到对称轴的距离，结合二次函数的开口方向，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上， 且，，，抛物线开口向下， ∴， 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④(为实数)，其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，即可判断①；根据当时，y大于0即可判断②；根据抛物线与x轴的交点，即可判断③；由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②当时，， ∴，故②正确 ③由图象可知，二次函数与x轴有两个交点， ∴，故③正确， ④∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，故④正确． 故选D． 第二部分 非选择题 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 通过因式分解将方程转化为两个一次方程的乘积等于0的形式，进而求解． 【详解】解：方程可化为， 可得或， 解得． 故答案为：． 12. 把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律作答即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 14. 如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕点顺时针旋转60°，则旋转后点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 如图所示，过点B作于H，先由等边三角形的性质得到，，再由旋转的性质得到，进而证明，再求出的长即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点B作于H．    ∵，是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，轴于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式，即可求得点坐标，进一步求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：令，则， 解得或， ，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得或（舍去）， ， ，， 点坐标为，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是明确点的横、纵坐标相等． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用配方法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或， ∴ 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）点关于原点对称的点的坐标为 ； （2）画出绕着原点按顺时针方向旋转得到的图形，写出各顶点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）关于原点对称，横坐标，纵坐标都互为相反数； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接可得，再根据图形写出各顶点的坐标即可． 【小问1详解】 解：点关于原点对称的点的坐标为, 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，． 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F． （1）求出的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转证明，，再证明，再结合三角形的内角和定理可得结论； （2）连接，由旋转证明，，再证明为的中点，可得为的垂直平分线，可得，结合，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：由旋转得，， ， 、、同一条直线上， ， ， 在中 ； 【小问2详解】 解：连接， 由旋转得，， ，， ， 为的中点， ， ， 为的垂直平分线， ， ，， ， ，， ， 在中， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 【答案】（1） （2）68.6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【小问1详解】 设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 （元）， 答：预计2025年该药剂的价格为68.6元． 20. 九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为米，水平距离为4米． （1）试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式； （2）设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩； 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数 ，待定系数法求出二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设抛物线解析式为，再将代入，得，进行计算，即可作答． （2）依题意，因为实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，所以将代入，得，解得，（不符合题意，舍去），即可作答． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线最高点坐标 ∴设抛物线解析式为， ∵某同学实心球出手（点A处）的高度是2米， ∴， 再将代入，得， 则， 解得， 则实心球运行高度y与水平距离x之间的函数表达式：； 【小问2详解】 解：依题意，将代入， 得 解得，（不符合题意，舍去） ∴米， 答：某同学原地掷实心球的成绩为10米； 21. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　　个水杯，月销售利润是　　元； （2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． 【答案】（1）550，8250 （2）50元 【解析】 【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元； （2）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入中即可求出每个水杯的售价为50元． 【小问1详解】 （个）， （元）． 故答案为：550；8250． 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，； 当时，． 又∵要尽量减少库存， ∴， ∴． 答：每个水杯的售价为50元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，为抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． （1）求抛物线和直线的解析式． （2）①求线段的最大值． ②连接，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线的解析式为 （2）①的最大值为1②或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①由题意得，利用配方法求最值即可；②由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴． 将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为． 设直线AB的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线AB的解析式为． 【小问2详解】 ①将代入中，得． 将代入中，得． ∴， 即的最大值为1． ②∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． ∵点， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、最值问题、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 23. 如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． （1）如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； （2）如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①四边形是平行四边形，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明即可得求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；②设，则，由勾股定理得出，代入数值，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：为等边三角形， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①四边形为平行四边形； 证明如下： ， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即的最小值为. 此时，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试试卷 九年数学 考试时间：120分钟．试卷满分：120分 第一部分选择题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）下列各题的备选答案中，只有一项是正确的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 该函数有最大值，是大值是5 D. 函数图象的顶点坐标是 3. 下列国家安全图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 5. 将方程配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地（，）上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④(为实数)，其中结论正确的个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 方程的根是___________． 12. 把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线解析式为___________ 13. 如图，一次函数与二次函数图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 14. 如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕点顺时针旋转60°，则旋转后点的对应点的坐标为___________． 15. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）点关于原点对称的点的坐标为 ； （2）画出绕着原点按顺时针方向旋转得到的图形，写出各顶点的坐标． 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F． （1）求出的度数； （2）若，求的度数． 19. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 20. 九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为米，水平距离为4米． （1）试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式； （2）设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩； 21. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出　　个水杯，月销售利润是　　元； （2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． 22. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． （1）求抛物线和直线的解析式． （2）①求线段的最大值． ②连接，当为等腰三角形时，求m的值． 23. 如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． （1）如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； （2）如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $