精品解析：辽宁省协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025－2026学年度上学期期中考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. 命题“”否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知偶函数在单调递减，，若则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，在上单调递增，则取值的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是正数，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 2 8. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于任意两个集合，都有 B. 的一个充分不必要条件是 C. 成立充要条件是 D. 设，则“”是“”充分不必要条件 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 时，增函数 11. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是_____． 13. 已知函数为定义在上的奇函数，且，则_____． 14. 定义，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知是方程的两个根，求的值； （2）已知，求关于的不等式的解集． 17. 2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为分段函数，其中为训练水平系数，． （1）若，求在上的最小值； （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值． 18. 已知定义域为的函数满足，且当时，恒成立． （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）若，求实数的取值范围． 19. 设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． （1）求的最大值； （2）设函数． （i）若函数与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围； （ii）恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期期中考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由不等式得出或的范围，进而根据取整数值要求得到其可能的值，再结合不等式求解. 【详解】因为 所以，又， 所以，结合，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 所以， 所以中元素的个数为， 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“”的否定是：， 故选：D 3. 已知，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知方程降次，进而分解三次项，代入化简得出最终的值. 【详解】已知，得， 计算 则. 故选：A. 4. 已知偶函数在单调递减，，若则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用函数的单调性及偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为偶函数在单调递减，且， 由，得到，即，解得， 故选：A. 5. 已知函数，在上单调递增，则取值的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用分段函数的性质得，即可求解. 【详解】由题知，当时，在上单调递增， 当时，，要使在上单调递增， 则，解得， 故选：B. 6. 已知是正数，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，化简得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由是正数，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 7. 设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化为方程在区间上有且只有一个根，再利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】当时，曲线与恰有一个交点， 即时，方程只有一个实数根， 方程化简为， 问题可转化为函数在时只有一个零点， 由在上为偶函数，则有，解得. 时，函数， 方程在时，只有一个解， 所以当时，曲线与恰有一个交点. 故选：C 8. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解的值域，即可根据空集的定义求解. 详解】由可得， 记，则， 由于，因此， 要使，则无实数根，故， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于任意两个集合，都有 B. 的一个充分不必要条件是 C. 成立的充要条件是 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分，两种情况讨论即可判断选项A；对于B，直接利用充分条件和必要条件的定义即可判断选项B；对于C，根据题意对进行分类讨论，即可求出的范围，结合充分必要条件，即可判断选项C；对于D，利用基本不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项. 【详解】对于A，①若，则成立， ②若，任取，则且， 故， 则有， 综上，总成立，故A正确； 对于B，“”能推出“ ”，反之不成立， 所以“”一个充分不必要条件是“” ；故B正确； 对于C，若关于x的不等式对任意恒成立， 则①当时，对于恒成立， ②当时，满足，解得， 综上①②得， 反之当时，关于x的不等式对任意恒成立，故C错误； 对于D，， 若，则， 由，，， 以上三个不等式相加，整理得到， 从而， 即“”“”， 而当时，不妨取，则成立， 即“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选ABD. 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 时，为增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇函数得到判断A；由函数的奇偶性结合时的解析式求解判断B；分类讨论解不等式判断C；利用基本函数的单调性和单调性的性质判断D. 【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，正确； 对于B，当时，，则， 所以，错误； C选项，当时，，解得或，又，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，，解得，又，所以； 综上，时，，错误； D选项，当时，， 因为和都在上单调递减，所以函数在上单调递减，D错误． 故选：BCD 11. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设条件，结合基本不等式可判断ABD；将化为，结合二次函数性质可判断C，即可得答案. 【详解】对于A，由于，故，A正确； 对于B，， 由于，故，当且仅当时取等号， 令，则， 而，由于，在上单调递增， 故当时，取最小值， 即，故，B正确； 对于C，由，得， 则， 当时，取最小值16，即，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 故，则不恒成立，D错误， 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式转化为，求解二次不等式组即可. 【详解】不等式等价于，即， 解得且，所以不等式的解集是. 故答案为： 13. 已知函数为定义在上的奇函数，且，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件结合奇函数的性质可得，取可得，由此可求结论. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数， 所以， 所以， 取可得，又， 所以， 故答案为：. 14. 定义，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数至少有一个零点，可得出a的取值范围，然后对实数a取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令，则，故要满足题意，需使得至少有一个零点， 设，则，则或， 当时，的零点为1，此时有2个零点，不符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为， 要满足题意需，即，此时a不存在， 当时，的零点为，此时有3个零点-1,1,3，符合题意； 当时，的对称轴， 设的两个零点为， 要满足题意需，即，解得，则， 综合上述可得实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知集合，集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集的运算求解即可； （2）利用集合之间的包含关系，分类讨论，列不等式求解即可. 【小问1详解】 由，得或， 所以或 若，则或 因此或． 【小问2详解】 当，即时，，符合； 当，即时，若，则或，解得； 综上所述，． 16. （1）已知是方程的两个根，求的值； （2）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）0；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理和求出 （2）分、两种情况，再结合，，讨论即可. 【详解】（1）法一：因为是方程的两个根，则， 所以； 法二：因为是方程的两个根，则， 则； （2）当时，，解得； 当时，， 若，即，解得或， 当时，不存在使得； 当时，对任意； 若，即，解得或， 当时，，即，即，无解； 当时，，即，； 若，即，解得，且，即或 此时方程的两个根为， 当时，， 则不等式的解为； 当时，， 则不等式的解为或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为分段函数，其中为训练水平系数，． （1）若，求在上的最小值； （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数和基本不等式求解即可； （2）由题意可得恒成立，进而结合二次函数的性质讨论求解即可. 【小问1详解】 若， 当时，的对称轴为，开口向下， 则在上增函数，当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，故. 因为，所以在上的最小值为. 【小问2详解】 若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，即恒成立， 当时，恒成立，即，则， 即，所以； 当时，恒成立，即，则， 因为对称轴为，开口向下，在上为增函数， 所以当时，取最大值，最大值， 故，解得. 综上所述，，故训练水平系数的最小值为. 18. 已知定义域为的函数满足，且当时，恒成立． （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，即可求解； （2）先利用反证法求证不存在使得，法一，赋值法，令，用代替，用代替，法二，构造，则，求证为奇函数即可； （3）先利用单调性的定义求证在为减函数，再根据，以及的正负性得出. 【小问1详解】 令，则， 因，得， 令，则， 因，则，即， 因，则； 【小问2详解】 法一：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 令，有，得， 用代替，用代替，有， 即， 即， 整理得，所以，则为奇函数. 法二：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 先证明：不存在使得， 假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得， 由已知得， 则，这与矛盾， 因此使得， 再由已知得到使得； 再由知，， 令，则， 于是， 两式相加得，，即，因此， 即，故为奇函数； 【小问3详解】 ， ，且，则， 则， 因当时，恒成立，所以，即， 因此函数在为减函数， 因为当时，，由（2）知为奇函数，所以当时，， 因，则，即， 因为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 19. 设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数． （1）求的最大值； （2）设函数． （i）若函数与的图象有4个不同的交点，求实数的取值范围； （ii）恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列式求得，利用二次函数求解最值即可； （2）（i）将函数与的图象有4个不同的交点问题转化为关于的方程有两个不相等的正根，然后利用根的分布列不等式组求解即可；（ii）由题意恒成立，参变分离，设，则，进而利用基本不等式求解最值即可得解. 【小问1详解】 因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 即， 消去，得到， 因此，当时，的最大值为. 【小问2详解】 （i）令， 得，整理得， 令，即关于的方程有两个不相等的正根， 于是，解得. （ii）由（1）知，由， 得到，即， 于是，整理得， 所以恒成立，于是， 设，则， 于是， 当且仅当，即时等号成立， 此时.所以. （另解： ， 当且仅当，即时等号成立．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $