1.1.1空间向量及其线性运算同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 夯基础 题型1 空间向量及相关概念 1.下列命题为真命题的是 ( ) A.向量 与 的长度相等 B.空间向量就是空间中的一条有向线段 C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 2.给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ③在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，必有 ④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中正确命题的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 题型2空间向量的线性运算 3.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, ( ) 4.在空间四边形ABCD中，下列表达式的结果与 相等的是( ) 5.如图,在四面体OABC 中, 点M在OA上,点 N 在 BC 上,且OM=2MA,BN=2NC,则 ( ) 6.如图,在空间四边形ABCD中,已知G为△BCD 的重心,E,F,H分别为边 CD,AD 和BC 的中点,化简下列各式： 题型3空间向量共线的判定及应用 7.如图,在 长 方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AB=AD=4, 点 E，F分别在棱BB₁,B₁C₁上， 则 ( ) A.1 C.2 8.对于空间任意一点O，以下条件可以判定点 P，A，B共线的是 (填序号). 9.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E在 A₁D₁上，且 F在对角线A₁C上，且 设 (1)用a,b,c表示 (2)求证:E,F,B 三点共线. 题型 4 空间向量共面的判定及应用 10.(多选)下列四个命题，其中为真命题的是 ( ) A.若p与a,b共面,则存在实数x,y,使得p=xa+ yb B.若存在实数x，y，使得p= xa+ yb,则p与a,b共面 C.若存在实数x，y，使得 则点P,M,A,B 共面 D.若点 P,M,A,B共面,则存在实数x,y,使得 11.如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,M,N分别是棱 BB₁,DD₁的中点,P是棱A₁B₁上靠近A₁的四等分点，过NM,N,P三点的平面α交棱BC 于点 Q，设 则λ= 12.如图，在正方体 中,M,N,P,Q分别为 的中点，用共面向量定理证明M，N，P，Q四点共面. 易错点1 忽略零向量的定义而致错概念模糊 13.下列命题正确的是 ( ) A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使得a=λb 易错点2 对空间向量的概念理解不到位而致错 14.如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心为O,则有下列结论： 与 是一对相反向量； 与 是一对相反向量； 与 是一对相反向量； 与是一对相反向量. 其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1.1.1空间向量及其线性运算 选择/填空题答案速查 题号 1 2 3 4 5 7 答案 A C C B A D 题号 8 10 11 13 14 答案 ①③ BC C A 夯基础 1. A 【解析】对于A,向量. 与 是相反向量，所以向量 与BA的长度相等，故A正确；对于B，空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故B错误；对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；对于D，互为相反向量的两个向量不相等，但这两个相反向量的模相等，故D 错误.选A. 2. C【解析】对于①，当表示两个空间向量的有向线段的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，表示它们的有向线段的起点和终点都不一定相同，故①错误.对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错误.对于③，根据正方体的性质,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,向量 与 的方向相同，模也相等，所以 (只有当两个向量的方向相同且模相等时，才能得出这两个向量相等)，故③正确.对于④，由向量相等关系可知m=n=p，故④正确.选C. 3. C 【解析】 故选 C. 4. B 【解析】对于A, 故A不符合题意；对于B， 故B符合题意；对于C， 故C不符合题意；对于D, 故 D 不符合题意.选 B. 5. A 【解析】如图,连接MB,则 故选 A. 6.【解】(1)因为G为△BCD 的重心,E,F 分别为边 CD,AD的中点， 所以 所以 (2)因为E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,所以 7. D思维路径[依题意可得.BC₁∥AD₁→从而得到 BC₁∥EF——→即可得到 →从而得解. 解析〗连接BC₁.由长方体的性质可得BC₁∥AD₁.又EF∥ ,所以BC₁∥EF.因为 所以 所以 因为 所以 故选 D. 8.①③ 【解析】对于①,因为 所以 所以 所以AP,AB共线，所以点 P，A，B共线，故①符合题意.对于②，因为 所以 所以 共线，所以点P，O，B共线，点P，A，B不一定共线，故②不符合题意.对于③，因为 所以 所以 所以 共线，所以点 P，A，B共线，故③符合题意.对于④，因为 所以 所以 所以 所以 所以BP,OA平行或重合.当BP,OA平行时,点 P,A,B不共线,故④不符合题意. 9.(1)【解】因为 所以 所以 (2)【证明】由题意可知 所以 又 与 相交于点B，所以E，F，B三点共线. :0.: 【解析】对于A,若a=b=0,p≠0,则不存在实数x,y 使得p=xa+yb,故A 不是真命题;对于 B,由空间向量共面定理可知，若存在实数x，y，使得p=xa+yb，则p与a，b共面，故B是真命题；对于 C，若存在实数x，y，使得 则 共面,所以M,P,A,B四点共面，故C 是真命题；对于 D，若 则不存在实数x，y，使得 故 D 不是真命题. 选 BC. 方法总结对于空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明它们共面. (2)对空间任一点O， (或 或 11. 【解析】设 则 由题意可知， 共面.设 则 所以 解得 斤以 12.【证明】令 则 设 则 所以 得 所以 所以 共面. 又 经过同一点M， 所以M,N,P,Q四点共面. 13. C 【解析】若a与b共线,b与c 共线,且b=0,则a与c不一定共线，故A 错误；向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面是不正确的，三个向量所在的直线可以互为异面直线，故B错误；C显然正确；当b=0时，若a∥b，则不存在实数λ,使得a=λb,故D错误.选 C. 易错规避涉及向量的共线问题，需要特别考虑向量是否是零向量，对零向量的定义和向量的共线、共面的要求理解不够深入，容易犯错. 14. A 【解析】设E,F分别为AD 和A₁D₁ 的中点,连接OF,OE.对于①, 与 不是一对相反向量，故①错误；对于②， 与 不是一对相反向量，故②错误；对于③ 故③正确；对于④ 与 不是一对相反向量，而是相等向量，故④错误.所以正确结论的个数为1.故选 A. 易错规避 对于相反向量、相等向量的判断，一定要同时考虑向量的方向和模长，不要忽略任意一个判断要素，避免出错. 学科网（北京）股份有限公司 $