课后分层练(一)　空间向量及其线性运算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(一)]　空间向量及其线性运算 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　 ) A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 解析：选D.向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反． 2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是(　　 ) A．与 B．与 C．与 D．与 解析：选D.由题意，与与都是相反向量，与方向不同，长度不一定相等，不是相等向量，与方向相同，长度相等，是相等向量． 3．下列说法中正确的是(　　 ) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 解析：选C．对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，的充要条件是＝同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误． 4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则等于(　　 ) A． B．3 C．3 D．2 解析：选B.－＝. 5．(生活情境)某市119指挥中心接群众报警称：位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病，急需救援．指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警，3名消防员立即乘车到达B处，马上下车跑步到达C处，再攀爬到塔吊上D处救下发病工人，则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C．由消防员的运动过程知. 6．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(　　 ) A．＋与＋是一对相反向量 B．－与－是一对相反向量 C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D．－与－是一对相反向量 解析：选ACD.因为O为正方体的中心，所以＝－，＝－， 故＋＝－(＋)， 同理可得＋＝－(＋)， 故＋＋＋＝－(＋＋＋)，所以A，C正确； 因为－＝，－＝， 所以－与－是两个相等的向量，所以B不正确； 因为－＝，－＝＝－，所以－＝－(－)，所以D正确． 7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若＋y，则x＝________，y＝________． 解析：，所以x＝1，y＝. 答案：1　 8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________．(填序号) ①(＋)＋；②(＋)＋； ③(＋)＋；④(＋)＋； ⑤(＋)＋；⑥(＋)＋. 解析：①(＋)＋＝＋＝； ②(＋)＋＝＋＝； ③(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝； ④(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝； ⑤(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝； ⑥(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝. 答案：①②③④⑤⑥ 9．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋； (2)＋＋； (3)－－. 解：(1)＋＝. (2)因为M是BB1的中点， 所以＝. 又＝， 所以＋＋＝＋＝. (3)－－＝－＝. 向量，，如图所示． 【综合运用】 10．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　 ) A．－－ B．＋－ C．－－ D．－＋ 解析：选AB.A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠. 11．(多选)若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式为零向量的是(　　 ) A．＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋ C．＋＋ D．－＋－ 解析：选BD.A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋； B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0； C中，＋＋＝＋＝； D中，－＋－＝＋＋＋表示A→B→C→D→A，恰好形成一个回路，结果必为0. 12．如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量． 解：因为G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，所以. 又＝， 所以，如图所示． 13．如图，已知ABCD­A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简＋＋，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上靠近C′的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 解：(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF， 则＝＋＋. (2)因为＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋， 所以α＝，β＝，γ＝. 【创新探索】 14．如图，正四棱台EFGH­ABCD中，上底边长与下底边长之比为，则＋＋＝_________________. 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝， 所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 答案： 15．在平面四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明； (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用上述(1)的结论表示. 解：(1)在空间四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.证明如下： ＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＋＝＋. (2)由(1)的结论可得＝＋＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $