精品解析：天津市东丽区鉴开共同体2025-2026学年上学期阶段性质量调查九年级数学试题

2025-2026 (一)天津市东丽区鉴开共同体阶段性质量调查 九年级 数学学科 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，先将化为一般式，再由一元二次方程根与系数关系得到，，即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， ，， 故选：A． 3. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜ B. k＞﹣ C. k＞﹣且k≠0 D. k＜且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0 ∴k＜且k≠0， 故选D． 【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 【答案】A 【解析】 【分析】题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标． 【详解】解：可转化为， 与抛物线的顶点式对比， 可以得出，顶点坐标为 故选A． 【点睛】本题考查抛物线的解析式之间互相转化以及顶点坐标的求解，解决本题的关键是熟练个解析式之间的相互转化． 5. 若二次函数的图象经过原点，则为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件． 根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，再根据二次项系数不能为零对m进行取舍． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得，整理得， 解得， ∵该函数为二次函数， ∴， ∴， ∴． 故选：B 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解： 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7. 已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， 点A到对称轴的距离为， 点B到对称轴的距离为， 点C到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大． 8. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可获得答案． 【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x， 根据题意，可得． 故选：C． 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象的对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数平移，最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，即可解答，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、图象顶点为，原选项错误，不符合题意； 、图象可由抛物线向下平移个单位长度得到，原选项正确，符合题意； 、图象的对称轴为直线，原选项错误，不符合题意； 、当自变量取时，函数有最小值，原选项错误，不符合题意； 故选：． 10. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知；，， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 11. 如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转50°得到，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13. 点与点关于原点对称，则点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求解． 详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． m是方程的一个根，即，然后再变形即可解答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即． 故答案为：． 15. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由顶点在轴上可知抛物线的对称轴为轴，即直线，据此即可求解，掌握二次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线的对称轴为轴，即直线， ∴， 故答案为：． 16. 已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 17. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 18. 二次函数在上有最小值，则的值为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在的左边，对称轴在到2的之间，对称轴在的右边，当对称轴在的左边和对称轴在的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的值，然后把此时的的值与代入二次函数解析式即可求出的值；当对称轴在到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到满足题意的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到． 【详解】解：分三种情况： 当，即时，二次函数在上为增函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：； 当，即时，二次函数在上为减函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去； 当，即时，此时抛物线的顶点为最低点， 所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去． 综上，的值为5或． 故答案为：5或 三、解答题(本大题共7个小题，共66分) 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【小问1详解】 ∴ 解得，； 【小问2详解】 ∴或 解得，． 20. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）结论：是等腰直三角形，由旋转的性质可得，结合正方形的性质即可推出，即可证明； （2）根据旋转可得，在中，根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：结论：是等腰直角三角形； 理由：∵把顺时针旋转到的位置， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ， 根据旋转可得， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）当时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，即得出关于m等式，解出m即可； （2）当时，原方程为，再利用因式分解法解该方程即可； （3）根据该方程有两个不相等的实数根，即得出其根的判别式，从而得出关于m的不等式，解出m的解集即可． 【小问1详解】 将代入，得： ， 解得：； 【小问2详解】 当时，原方程为． 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 ∵， ∴，，． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，解一元二次方程，由一元二次方程根的情况求参数．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值，解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 22. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），，顶点坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质、面积问题； （1）令，代入解析式可求出、将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点，则， 解方程得：， 点在点左侧， ，， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 由函数图象可得当时，． 【小问3详解】 、， ． 设，则， ， ． ①当时，， 解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，则， ∵， ∴方程无解； 综上所述，点坐标为或． 23. 某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】（1），自变量的取值范围为 （2）为24元/千克 （3）当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 自变量的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； 【小问3详解】 解：设每天获得销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角直角三角形的性质，求出的长，即可； （2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点，点， ∴， 过点作轴，则：， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 过点D作轴于G，于H，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 连接，作轴于G，如图所示： 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 25. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值； （3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小. 【详解】（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3． 设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． （2）如图， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴Q（m，m+1）， ∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+， ∴S△APC=PQ×|xC﹣xA| = [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=， ∴P（，）； （3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M． ∵当x=0时y═3， ∴N（0，3）． ∵点N与点N′关于x=3对称， ∴N′（6，3）． ∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 设DN的解析式为y=kx+b． 将点N′与点D的坐标代入得：， 解得：k=﹣，b=． ∴直线DN′的解析式为y=﹣x+． 当x=3时，n=+=． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，利用二次函数求最值，轴对称的性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出△APC面积的函数关系式是解（2）的关键，掌握轴对称最短是解（3）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 (一)天津市东丽区鉴开共同体阶段性质量调查 九年级 数学学科 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 下列图案中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜ B. k＞﹣ C. k＞﹣且k≠0 D. k＜且k≠0 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 5. 若二次函数的图象经过原点，则为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A. B. C. D. 8. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 10. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转50°得到，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13. 点与点关于原点对称，则点的坐标是____． 14. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于_______． 15. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 16. 已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 17. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 18. 二次函数在上有最小值，则值为______． 三、解答题(本大题共7个小题，共66分) 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）当时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 22. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 23. 某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 25. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $