精品解析：山东省济宁市高新区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中检测八年级数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分，每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 5. 计算：1252-50×125+252=( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 6. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 某人从A地到B地的速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，若v1≠v2，则此人从A地到B地往返一次的平均速度是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 9. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 对于有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“开心数对”，记为．若是“开心数对”，则的值为（　　） A. 4 B. 10 C. 20 D. 25 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 若分式的值为零，则________． 12. 某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为________． 13. 已知，则的值为___________． 14. 若关于x的分式方程有增根，则________． 15. 如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程 （1） （2） 19. 某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 （1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； （2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； （3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 20. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：， 又； 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知实数，满足，求的值； 21. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：_______，_______； （2）_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）． ①；②；③；④； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ． （3）拓展：若，求A、B的值． 23. 【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中检测八年级数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分，每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使分式有意义，分母不等于零即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴ 即 故选：Ｂ 【点睛】本题考查分式有意义的条件，根据条件列出不等式是解题的关键． 2. 下列各式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行判断． 【详解】解：A、分式的分子、分母同时乘以3，分式的值不变，则成立； B、分式的分子、分母同时减2，分式的值发生改变，故不成立； C、分式的分子、分母同时平方，分式是值有可能改变，则不一定成立； D、分式的分子加2、分母乘以2，分式是值发生改变，则不成立； 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0的分数（或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 【详解】解：A．，该选项不符合题意； B．没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C．是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； D．是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 5. 计算：1252-50×125+252=( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000． 故选C． 点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键． 6. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 7. 一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查的是统计量的选择，众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可． 【分析】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A不符合题意； B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B不符合题意； C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与不符合题意； D、原来数据的方差， 添加数字2后的方差，故方差发生了变化，故D符合题意． 故选：D． 8. 某人从A地到B地的速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，若v1≠v2，则此人从A地到B地往返一次的平均速度是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】设A地到B地的路程为S，根据平均速度等于总路程除以总时间，即可求解． 【详解】解：设A地到B地的路程为S，根据题意得： 平均速度是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 9. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 10. 对于有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“开心数对”，记为．若是“开心数对”，则的值为（　　） A. 4 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，完全平方公式分解因式等知识，由新定义可得出，再利用完全平方公式分解得出，再把代入计算即可得出答案． 【详解】解：由定义知：， 化简得：， 又． 故选：D． 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 若分式的值为零，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件：分式分子的值为零，分母的值不为零；根据条件可直接得到答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得， 故答案为：2 12. 某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为________． 【答案】71 【解析】 【分析】本题考查了众数．一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此即可解答． 【详解】解：数据中，71出现的次数最多，所以这组数据的众数为71； 故答案为：71． 13. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，已知式子的值，求代数式的值，利用提公因式法分解因式，然后再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 14. 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母可化为， 又因为关于的分式方程有增根， 所以是方程的根， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键． 15. 如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号里面的，再计算括号外面的除法，最后把代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．需要注意分式方程需要检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解； 【小问2详解】 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 （1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； （2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； （3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】（1）10分 （2），，平台A的服务态度更好； （3）该公司会选择平台B 【解析】 【分析】本题主要考查了求极差，算术平均数，加权平均数： （1）求出七位员工对平台A的服务态度评分的最大值与最小值的差，即可求解； （2）根据算术平均数公式计算，即可求解； （3）根据加权平均数计算，即可求解． 【小问1详解】 解：分， 即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分； 故答案为：10 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好； 【小问3详解】 解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B． 20. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：， 又； 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知实数，满足，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． ()根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； ()利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出的值，代入计算即可； 【小问1详解】 （1）解： ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 解得：， ； 21. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：_______，_______； （2）_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】（1） （2）乙 （3） 小瑜说的不对，理由如下： 两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法和表示意义，是解题的关键： （1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出的值即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）根据方差作决策即可． 【小问1详解】 解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，故； 故答案为：； 【小问2详解】 由表格可知：甲的方差大于乙的方差， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）． ①；②；③；④； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ． （3）拓展：若，求A、B的值． 【答案】（1）①③④ （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值及分式的意义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对新定义的理解． （1）分别对各式化简，即可得出答案． （2）结合完全平方公式化简即可得出答案． （3）将原式化简，可得，进而可得，的值． 【小问1详解】 解：， 故①是“和谐分式”； ， 是整式，不是分式， 故②不是“和谐分式”； ， 故③是“和谐分式”； ， 故④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． 【小问2详解】 ． 故答案为：． 【小问3详解】 ， ， ，． 23. 【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】 问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列分式方程： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册． 根据题意可列分式方程： ． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $