精品解析：内蒙古自治区赤峰第三中学2026-2027学年上学期九年级数学 第一次学情自测

赤峰三中2026-2027学年度第一次月考 数学试卷 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列国产新能源汽车的车标图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 则功率与做功的时间之间的函数关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，关键是运用待定系数法求函数解析式. 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入得， ∴， 故选A. 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，点不满足关系式，因此A选项不符合题意； B、； 它的图象在第二、四象限，因此选项不符合题意； C、； 它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此C选项不符合题意； D、； 它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5. 如图，学校种植园是长米，宽米的距离．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可的种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得： 新矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为：， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够正确表示种植面积的长与宽． 6. 二次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，时， 二次函数开口向上，且顶点在x轴下方， 反比例函数经过一 、三象限，故排除A、D选项； 当时，时， 二次函数开口向下，且顶点在x轴上方， 反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 7. 如图，在等腰三角形中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，如图，过点作轴于点，过点作于点．由等腰三角形的性质可得，，再由直角三角形的性质并结合勾股定理计算可得，，即可得出，根据旋转的性质可得，，求出，即可得出，由勾股定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作于点． ，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 根据旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴点的对应点的坐标为， 故选：B． 8. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＜0；③a+b+c＞0；④3a＜﹣c；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）．正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质依次判断即可. 【详解】解：由图象可得， a＜0，b＜0，c＞0， ∴abc＞0，故①正确， 该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③错误， ∵＝﹣1，得b＝2a， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＜0，得3a＜﹣c，故④正确， ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最大值， ∴am2+bm+c≤a﹣b+c，即am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），故⑤正确， 故选A． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知图像与各系数之间的关系. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的纵坐标相同，不妨设，，借助，求得答案． 【详解】解：轴， 、的纵坐标相同， 不妨设，， ， ， ． 故答案为：． 12. 已知，矩形中，，，点E是边上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论：①；②；③当点H和点G互相重合时，；④的最小值为；⑤的最大值为．正确的序号有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，故①正确；由等腰直角三角形的三线合一和得，从而得到，故②错误；当点和点互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而，故③正确；分别求出的最大值、最小值，故④正确，⑤错误． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 如图所示，设交于点T， 线段绕点逆时针旋转得到， ， 是的中点，， ， 又∵， ， 根据现有条件无法证明，即无法证明，故②错误； 当点和点互相重合时，如图， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， 是的中点，， ， ， ， ，故③正确； 当与重合时，最短，如图： ， 此时与都在上， 是等腰直角三角形，是的中点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为，故④正确； 当与重合时，最大，过作于，如图： ， ， ， ，，， ， 设，则， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ， 的最大值为，故⑤错误； 综上所述，正确的有①③④。 三、解答题 13. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程变形为 ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，； 【小问3详解】 解：移项，得 则 ∴或 ∴，； 【小问4详解】 解：原方程变形为 这里，，， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴，． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数．的图像与反比例函数的图像交于和两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图像，直接写出当x为何值时， 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据求出反比例函数解析式，再据此求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数解析式即可作答； （2）问题转换为求不等式的解集，即：一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围，结合A、B两点坐标以及函数图象即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意可知， 解析式为． ∵在上， ∴， ∴． 将、代入： ， 解得， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 所以，当或时， 15. 今年某超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，月份销售件，第月和第月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，月份的销售量达到件． （1）求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； （2）经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价元，月销售量增加件，当商品每件降价多少元时，商场月可以达到最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每件商品降价元时，商场月份可以达到最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）设第十，十一这两月销售量的月平均长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设第十，十一这两月销售量的月平均长率为． 根据题意，得， 化简，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：第十，十一这两月销售量的月平均长率为． 【小问2详解】 设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元． 由题意得，， 即， ∴当时，w有最大值，． 答：当每件商品降价3元时，商场12月份可以达到最大利润， 最大利润为8820元． 16. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则___________； （2）已知实数m，n满足求的值； （3）若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 【答案】（1）3， （2）或2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得，，可得出或，再根据根的判别式可得结论． 【小问1详解】 解：由条件可知：； 【小问2详解】 解：当时， ∵实数m、n满足， ∴m、n可看作方程的两根， ∴， ∴； 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； 【小问3详解】 解：∵a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得或， 又 当时，，方程无实根，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 17. 综合实践 （1）【初步感知】如图，在正方形中，分别是边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．两名同学不同的解题方法如下： ①小盐同学经过分析后，将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，延长到点，使，连接，得到，根据全等的性质也得到了线段之间的数量关系． 任选一位同学的分析，可以得到线段之间的数量关系是___________． （2）【类比探究】 如图，正方形中，分别在边的延长线上，且，连接，试问线段之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 【答案】（1） （2），理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（）小盐同学：先证明点在同一直线上， 再证明，得到，即可求证；小田同学：先证明，得到，，再证明，得到，即可求证； （）在上截取，连接，证明，，再证明，得到，即可求证； （）在上取点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，设，则，，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：选小盐同学： ∵将绕着点逆时针旋转到， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点在同一直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 选小田同学： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴在中，， 即， 解得． 18. 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，根据现场测量结果，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． （1）把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． （2）下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标． （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． 【答案】（1）；洒水车喷出水的最大射程为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意可得，当点与点B重合时，最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴的最小值为， ∵ 当点在抛物线上时，最大， ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， ， ∴的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰三中2026-2027学年度第一次月考 数学试卷 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列国产新能源汽车的车标图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 则功率与做功的时间之间的函数关系式是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 5. 如图，学校种植园是长米，宽米的距离．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等腰三角形中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＜0；③a+b+c＞0；④3a＜﹣c；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）．正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为________. 12. 已知，矩形中，，，点E是边上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论：①；②；③当点H和点G互相重合时，；④的最小值为；⑤的最大值为．正确的序号有__________． 三、解答题 13. 解方程： （1） （2） （3） （4） 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数．的图像与反比例函数的图像交于和两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图像，直接写出当x为何值时， 15. 今年某超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，月份销售件，第月和第月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，月份的销售量达到件． （1）求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； （2）经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价元，月销售量增加件，当商品每件降价多少元时，商场月可以达到最大利润？最大利润是多少元？ 16. 阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则___________； （2）已知实数m，n满足求的值； （3）若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 17. 综合实践 （1）【初步感知】如图，在正方形中，分别是边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．两名同学不同的解题方法如下： ①小盐同学经过分析后，将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，延长到点，使，连接，得到，根据全等的性质也得到了线段之间的数量关系． 任选一位同学的分析，可以得到线段之间的数量关系是___________． （2）【类比探究】 如图，正方形中，分别在边的延长线上，且，连接，试问线段之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 18. 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，根据现场测量结果，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． （1）把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． （2）下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标． （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $