辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期高二年级期中考试 数学试题 G满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.直线x-√3y+3=0的倾斜角为() A.150° B.120° C.30° D.60° 2.已知直线1的方向向量为m=(2,-3,4),平面a的一个法向量为i=(a,2,),若直线I1/ 平面ax,则a=( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 3.“关于x,y的方程：x2+y2+x+4y+8=0表示圆”是“m>4”的( A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D,既不充分也不必要条件 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为 阳马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD, p 且PB=PC,若B=a,AD=i,P=,则E=（) B. 4 444 c.a-4 3a-16-3 3,1x,3 D.-一ā+-b+-C 444 5.已知两定点A(0,0),B(2,-1),动点P在直线x-y+1=0上，则PA+PB的最小值为 () A.5 B.14 C.3 D.3 6.已知椭圆亡+少2 =1的焦距等于2，则其离心率的值为（) 4 A.5或时 B. 5 C. D. 或 2 高二年级数学试卷第1页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 7.如图，直二面角a一1-B的楼上有两个点A,B,线段BD 与AC分别在这个二面角的两个面内，且BD垂直于I.若 AB=2,AC=3,BD=4,∠CAB=60°，则线段CD的 长度为( A.厅 B√23 c.25 D.V29 8.已知圆D（x-a)2+y2=r2(r>0)与x轴相交于小、B两点，且圆G:x2+(y-5)2=9, 点M(O,3).若圆C与圆D相外切，则an∠AMB的取值范围为() ] ( c. .( 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分 9.已知直线1：(a+1)x+2y+2=0和直线2：x+四-a+3=0,则下列结论正确的是() A.若a=-2,则∥l2 B.若∥12，则a=-2 c若1，则a=号 .若a=骨则41品 10.已知曲线W:x4+y2=m(m>0),则下列结论正确的是（) A曲线W关于x轴、y轴和原点对称； B.当m=2时，曲线W围成的区域内（含边界）共含有8个整点（即横、纵坐标均为整数 的点)； C.当m=1时，曲线W围成的区域面积大于兀； D.当m=4时，曲线W围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是√5 试卷第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F C 分别是棱A,B,BB的中点，点P是正方形CDD,G内部任意一 E B1 点（包括边界），则() A.AP的长度的最大值为25 D-- B.若AP⊥平面DEF,则DP=2DC C.平面DEF截正方体ABCD-A8C,D,所得截面的周长为3√2+20 D.直线DP与平面DEF所成角的正弦值最大为2N34 17 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.已知一个圆与y轴相切，其圆心在射线x一3y=0(x≥0)上，且被直线y=x截得弦 长为2√7，则此圆的方程为 13.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=6, 点E是棱PB的中点，则直线AD与平面PBC的距离为 14.若P为椭圆二+广=1上任意一点，E那为圆N:K-+y=4的任意一条直径，则 16'15 PEPF的取值范围是】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分) 包知椭圆c+@>b>0)的物璃心率为8 ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的 2 面积为4. (1)求椭圆C的标准方程： (2)椭圆C的左顶点为2，过点T(1,0)的直线与椭圆C相交于点M,N,若△MN的面 积是，求直线0W的方程 高二年级数学试卷第3页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.（本题满分15分) 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60',DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起 到△ADE的位置，使AD⊥BE,如图2. (1)求多面体A-BCD的体积； (2)求异面直线BD与A,C所成角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点P,使平面AEP⊥平面ABP?若存在，求出 BP BD 的值；若不 存请说明理由 D D D B E B 图1 图2 17.(本题满分15分) 已知三条直线：1：2x-y+3=0,2:4x-2y+a=0(a<0),43:x+y-1=0,且4与2 间的距离是75 10 (1)求a的值： (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到马的距 离是点P到2的距离的)；③点P到的距离与点P到3的距离之比是V0:5,若能， 求点P的坐标；若不能，说明理由 试卷第4页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本题满分17分) 如图，在正方体ABCD-ABC,D,中棱长为2，M,N分别是DD,BD的中点，点P在线段 AB上（包括两个端点）运动、 (1)当P为线段AB的中点时， ①求证：PN⊥AD; ②求平面PMN与平面ABCD所成的角的余弦值； (2)设AP=1AB,求直线PN与平面AMW所成的角的正弦值的取值范围， D C M D B 高二年级数学试卷第5页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 19.（本题满分17分) 彭塞列定理是解析几何中与曲线的切线有关的著名定理.当曲线是圆时，有如下结论： C和C2是两个圆(C内含于C),过G上一点P作C,的切线，交C,于另一点P,再过P 作C2的另一条切线，交G于另一点P;如此反复，得到C,上的一系列点P,（i=0,1, 2,…).如果有自然数n≥3，使得P。=P,则对于C,上任一点Qo,按上述方式得到Q, Q,…,,也有0=Q下面分别是n=3和n=4的图示。 n=3 24 已知圆：+广4，，-+少=6解答下列间题 (1)在C上取点P(2,O)作圆C2的两条切线，与G分别交于A,B两点.判断直线AB与圆 C的位置关系并证明； (2)取C上的点Q(x,y)作圆CG的两条切线，且两切线互相垂直、 (1)求出满足条件的点Q的坐标； (ii)若两切线与圆G分别交于点M,N,猜想直线MW与圆C的位置关系，并运用彭塞 列定理进行说明. 试卷第6页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 2025-2026学年度上学期高二年级期中考试 数学试题答案 一、单选题 14 CCAD 58 DABB 二、多选题 9.ACD 10.AC 11.ABD 三、填空题 12.(x-3)2+(y-1)2=9 13.32 14.[5,21] 四、解答题 15.【详解】(1)由题意：S=22b=4,所以ah=2. 又因为S ,d=+C2,所以a=2,b=1,即椭圆的方程为+y=1.…5分 2 (2)当直线MN的斜率为0时，M,N,三点共线，不符合题意： 当直线MN的斜率不为0时，设直线方程为x=y+1,M(x,y),N(x2,2), x=ty+1, 2t 联立方程组 +y2=1, 得(4+t2)y2+2y-3=0,.y+y2= 4+2 4 3 41 y=4+ 1y-为卡V+-4y4=4+ -4.-3=4wP+3 4+2 4+2 ·5aew=2|70-y-y片2x3x 4WP+312 ∴.t=±l, ∴.直线MN的方程为 4+t25 x=y+1或x=-y+1, 即直线MN的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.…13分 16.【详解】(1)因为DE L AB,即BE L DE,又BE⊥AD,DE∩AD=D, DE,ADc平面ADE, 所以BE⊥平面ADE,AEC平面A,DE,所以A,E⊥BE B 高二年级数学试卷答案第1页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 又AE⊥DE,BE∩DE=E,BE,DEC平面BCDE,所以AE⊥平面BCDE, 所以7an=号xSm×4E-×x2x2xsn60°x1= …5分 3 3 (2)因为AE⊥平面BCDE,BE⊥DE,以E为原点，EB,ED,EA所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D0,3,0,4(0,0,1),C(2,V3,0), 所以AC=（2,V5,-1,BD=（-1,V3,0）,设异面直线BD与AC所成角为0 所以cos0= 1BDAC112 1BDI‖AC12×2W28 所以异面直线BD与AC所成角的余弦值为V互 …10分 (3)假设存在线段BD上存在一点P,使得平面AEP⊥平面A,BP, 设P(,片，)，BP=BD(0≤≤1)，则(x-1,,)=(-1,V5,0 所以P1-元，5,0，设平面4EP的法向量m=(a,b,c), m·EA=c=0 由 m-EP=1-a+5b=0'令a=5a,得m=(52,2-10, iBA=-x+z=0 设平面ABP即平面ABD的法向量i=(x,y,z), 由 i.BD=-x+3y=0' 得n=5,15 因为平面4EP1平面4BP,所以mn=32+2-1=0,解得=4e0,, 所以在线段BD上存在点P,使得平面4EP1平面4BP,且P= …15分 试卷第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 17.【详解】(1)：，：2x-y+号=0,1与1，间的距离为d= 75 2 V22+(-1) 10 即3、 7 2 ,a<0,a=-1;…5分 (2)假设存在，设点P(x,),由条件②知，点P在与，I2平行的直线'2x-y+c=0上， 且e-3到1e+2, 2 525 e-号我c名4机-2+5-0吸12-6+l=0 由条件③知， 2-+3_而+为-l,2,-%+3+%-小，即 5 5√2 x。-2y%+4=0或3x。+2=0, x0-2%+4=0 因为点P在第一象限，∴x。>0,3x。+2=0(舍)， 4x,-2%,+13=0或 x,-2%+4=0 12x,-6%+11=0 x0=-3 X0 解得 1(舍)， 9 37 所以存在点P 137 9’18 同时满足①②③.…15分 y2 y%= 18 18.【详解】(1)以AB,AD,A4分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ZA A-Xyz, A 则A(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),D(0,2,2), B 因为M,N分别是棱DD,BD的中点，所以 M(0,2,1),N1,1,0), D 当P为线段AB的中点时，则P(1,0,1), 高二年级数学试卷答案第3页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP ①因为PN=(0,1,-1),AD=(0,2,2),所以PN·AD=0,即PN⊥AD: ②因为PN=(O1,-1),MN=(（1,-1,-1),设平面PMN的一个法向量为万=(x,yz), 由n⊥PN,n⊥M,得 y-z=0 x-y-2=0’取y=1,则万=(2,1，)， 又因为m=(0,0,)是平面ABCD的一个法向量， 设平面PMN与平面ABCD所成的角的平面角为O, 则lcos0=cos<m,n>= m_1√6 同√6=6 因为0为锐角，则cos0=5,即平面Pw与平面BCD所成的角的余弦值为6 …7分 6 (2)因为P在线段AB上，且AP=2AB(0≤A≤1)， 所以4P=AB,可得P(2元，0,2-2)，则PN=(1-2元，1,21-2)， 因为AM=(0,2,1),AN=(1,1,0),设平面AMN的一个法向量为S=(x,,), 由S⊥AM,S⊥AN,得 无+%=0，取%=1，则5=（←11-2列， ∫2y+名1=0 S.PN 4-2 设直线PN与平面AMN所成的角为a,则sina=cosS,PW= PN V6V822-121+6 4-2入 因为2∈[0，]，所以sina= √6.V82-121+6 ,设1=4-21，则1∈[2,4， 所以sina= √6.V212-101+14 设sima=/0.1e24,则/0 设[引 可得14u2-10u+2的取值范围为 所以f()的取值范围为 试卷第4页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP