精品解析：江苏省南通市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中学业质量监测试卷 八年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A. 8 B. C. D. 5. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 6. 已知，，则的值是（） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若展开式中不含项，则a的值为（ ） A B. 2 C. D. 1 9. 如图，已知与均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，，那么下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，已知，点为上一点，，，，则的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题，每小题3分，第13~16题，每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算______． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 13. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的底角的度数为______． 14. 方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为_____． 15. 如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______． 16. 若实数a，b满足，则ab的最小值是______，令，则S的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：其中，． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为 ； （3）求的面积． 20. 我们知道，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．请对此判定方法加以证明． 已知：如图，在中，． 求证：． 21. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：； （2）请说明与，之间的数量关系．并说明理由． 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 23. 已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． （1）如图1，当______时，直角三角形； （2）如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； （3）如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 24. 完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）填空：①若，则______； ②若，则______； （3）如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 25. 已知，是一个等边三角形，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，过点作线段，使得，且点在直线的上方． （1）当点在边上运动时， 如图，过点作交直线于点，设度数为，则的度数为______（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系：______； 如图，若点为边上的中点，连接交边于点，求证：； （2）当点在射线上运动时，直线与直线交于点，如果，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中学业质量监测试卷 八年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3. 已知点与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于x轴对称的点的坐标． 【详解】∵点与点B关于x轴对称， ∴点B的横坐标为3，纵坐标为， ∴点B的坐标为， 故选：A． 4. 若是完全平方式，则k的值是（ ） A 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征，将给定的代数式与完全平方公式的形式对比，求出的值． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 设， ∴ ，解得， ∴ ， 故选：D． 5. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形判定依次证明即可． 【详解】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 6. 已知，，则的值是（） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用．利用平方差公式将分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键． 先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：由作图可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 若的展开式中不含项，则a的值为（ ） A B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．展开乘积后，合并同类项，令项的系数为零，解出a的值． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含项， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，已知与均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，，那么下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等，得到，根据，证得，即可得到①正确，同理证得，得到是等边三角形，易得③正确，根据三角形外角性质即可得出②正确，利用全等三角形的性质判定得出④不正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②正确． ∵，而、不是对应边， ∴O到、的距离不一定相等， ∴不一定平分，故结论④不正确． 故选：C． 10. 如图，在中，已知，点为上一点，，，，则的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质． 过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，由已知可得，根据角平分线的性质可得，由三角形的面积公式可得，从而可得的值． 【详解】解：过点作，交延长线于点，作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设点到的距离为，则，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题，每小题3分，第13~16题，每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件，根据零指数幂有意义的条件可得， ，即可求解． 【详解】∵代数式 有意义， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 13. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵， ∴等腰三角形的顶角等于， ∴底角的度数为． 故答案为：． 14. 方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴到地面的距离．当海盗船的船头在处时，，此时测得点到地面的距离．当船头从处摆动到处时，，则点到的距离为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点F， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故答案为：6． 15. 如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，灵活运用以上知识点是解题的关键．连接，过点C作，根据等腰三角形的性质可得，即，由垂线段最短，可知当点C、M、N三点共线，且时，最小，再根据面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点，交于点， ∵，点D是边上的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点C、M、N三点共线，且时，取得最小值，最小值为， ∵，，，， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 16. 若实数a，b满足，则ab的最小值是______，令，则S的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的非负性、整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形及整式化简方法是解题的关键． 先利用完全平方公式的非负性确定的取值范围，进而求出的最小值；再对进行化简，结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：①∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，即， 解得， ∵ ，即， ∴ ，即，解得， ∴ 的取值范围为，故的最小值为， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 当时，； 当时，， ∴ 的取值范围为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算规则是解题的关键． （1）先计算乘方，再依次进行同底数幂的乘除法运算； （2）先计算多项式乘多项式，单项式乘以多项式，最后合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为 ； （3）求的面积． 【答案】（1）见详解； （2）y轴，； （3） 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图和性质、网格中求三角形面积等知识，数形结合和准确作图是关键． （1）找到点A、B、C关于x轴对称的点、、，顺次连接即可； （2）根据题意得到与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴，即可得到答案； （3）利用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解∶ 如图，即为所求， 【小问2详解】 解：若与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴． 关于直线y轴的对称点的坐标为， 故答案为∶y轴，； 【小问3详解】 解：的面积为 ． 20. 我们知道，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．请对此判定方法加以证明． 已知：如图，在中，． 求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先写好已知条件，再作，交于点，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】证明：作，交于点， 在和中，， ， ． 21. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：； （2）请说明与，之间的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）由求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴． 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． （1）如图1，当______时，是直角三角形； （2）如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； （3）如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 【答案】（1）5 （2）当是直角三角形时，的值为或； （3）和的面积相等，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质，可得，若是直角三角形，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合已知可得，从而可得，除以点的运动速度即可； （2）当是直角三角形时，或，分类讨论，由角所对的直角边与斜边的关系，列方程求解即可； （3）作，交于点，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，可得，，可得，由运动过程，等量代换，可得，可证明，可得，从而可得和面积的关系． 【小问1详解】 解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 若是直角三角形，则， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为，动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，或， 若，则， ∴， ∴， 解得， 此时，点和点重合，点为的中点， 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴当是直角三角形时，的值为或． 【小问3详解】 解：和的面积相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 作，交于点， ∴，， ∴， ∴， 由运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即和的面积相等． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，一元一次方程的实际应用，平行线的性质，等角对等边，三角形全等的判定和性质． 24. 完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）填空：①若，则______； ②若，则______； （3）如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】（1）7 （2）①29；②8 （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，将实际问题转化为数学问题是正确解答的关键． （1）根据完全平方公式的变形，即可求出的值； （2）①根据完全平方公式的变形，即可求出答案； ②根据完全平方公式的变形，即可求出答案； （3）设，将问题转化为，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ， 即， 又 ∵， ． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， 故答案为：29； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：8； 【小问3详解】 解：设，则， 由可得，，则， ∵， ∴， ， ， ． 25. 已知，是一个等边三角形，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，过点作线段，使得，且点在直线上方． （1）当点在边上运动时， 如图，过点作交直线于点，设的度数为，则的度数为______（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系：______； 如图，若点为边上的中点，连接交边于点，求证：； （2）当点在射线上运动时，直线与直线交于点，如果，请求出值． 【答案】（1），；证明见解析； （2）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）由是等边三角形，得，则有，然后角度和差即可得出，然后证明即可得出； 过作，则，通过等面积法得出，证明，再根据全等三角形的性质即可求证； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； 证明：如图，过作，则， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：如图，当在线段上时，过作，交延长线于点， 设， 由，设，则， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段延长线上时，过作，交于点， 设， 由，设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $