精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

南京师大附中2025-2026学年度第1学期 高一年级期中考试数学试卷 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题 1. 设全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，或， 故. 故选：C 2. 命题：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定定义判断即可. 【详解】命题：“”的否定是. 故选：B. 3. 设，则“”一个必要不充分条件是（ ） A. 都0 B. 都不为0 C. 中至多有一个是1 D. 都不为1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的条件进行举例，再利用充分必要条件定义进行判断即可. 【详解】，，即且， 对于A选项，若都为0，则，满足； 但当时，不一定都为0，比如时，， 所以“都为0”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B选项，若都不为0，比如，则，不满足， 而时，也可能为， 所以“都不为0”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，由“”即且能推出“中至多有一个是1”， 当“中至多有一个是1”时，比如，此时，不满足， 所以由“中至多有一个是1”不能推出“”， 因此“中至多有一个是1”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D选项，“都不为1”就是“”的等价条件， 所以“都不为1”是“”的充要条件，故D错误. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简，结合指数函数的单调性，即可得解. 【详解】因为，， 则. 故选：D 5. 设为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的性质举反例进行判断即可. 【详解】对于A项，若，则，故A错误； 对于B项，因为 ，则，所以， ，所以，故B正确； 对于C项，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D项，，故D项错误 故选：B. 6. 已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 则，即， 由，得，于是， 即，因此， 函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：A 8. 设为实数，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，先将其看成是关于的二次方程，利用判别式列出不等式，再看成是关于的二次不等式，再利用判别式列出不等式即可求解. 【详解】令， 则，将其视为关于的二次方程， 则， 因为为实数，则， 再整理为关于的二次不等式，则， 因为为实数，则该不等式有解，则， 当（包含的情况）时，该不等式成立； 当时，该不等式化简为，即，解得， 所以最大值为. 故选：B 二､多项选择题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知全集，集合满足⫋，则 B. 关于方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 D. 关于的不等式的解集为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取，可求解，从而判断A；根据一元二次方程根的分布列不等式求解实数的取值范围即可判断B；根据集合的并集可得，从而可得的可能性即可判断C；根据含参一元二次不等式的解集列关系式求解的值，即可判断D. 【详解】对于A，若，满足⫋，则，故A错误； 对于B，若方程两实数根一个大于1，一个小于1则需满足，解得，故B正确； 对于C，若，则，所以可能为和，故C错误； 对于D，关于的不等式的解集为，则，解得，则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用消元法可得且，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为为正数，，所以，所以，故A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，所以，即， 解得，即，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 当且仅当时取等号， 由于，所以等号不成立，故C错误； 对于D，， 令，则，且， 则 ， 当且仅当，即，时取等号，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数，当时，成立，且的图象关于对称，若对任意的恒成立，则的可能值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据推导出的单调性，又根据的对称性推导出的奇偶性，因此可得，最后结合分离变量法即可求解． 【详解】因为，不妨设，所以， 所以由得，即， 又因为，两式相加可得， 即在单调递减， 又因为关于对称，所以是偶函数，则在单调递增， 现有恒成立， 当时，，根据的单调性显然成立； 当时，根据的单调性及奇偶性可得恒成立， 也即恒成立，又，当且仅当成立，此时，所以，也即． 综上所述，． 故选：BC． 三､填空题 12. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】由题可得：， 故答案为： 13. 已知，则的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出值域. 【详解】函数定义域为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的值域为. 故答案为： 14. 定义在上的函数满足,且当时，.若关于的方程在至多有三个不同的解，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】该题要通过数形结合来解决，通过观察函数解析式和画函数图象来发现规律，如注意到二次函数过定点,并在图象上发现该二次函数与至少有两个交点，再去研究什么情况下至多再有一交点，即可得出结论. 【详解】 设, 因为, 根据零点存在定理，存在,使得 同理，, 根据零点存在定理，存在,使得. 因此，要使与至多有三个交点，结合图象可知，当时,与的函数图象应相切或没有公共点， 即在上恒成立. 当时，则 恒成立, 因为,因此可参变分离得恒成立,下求的最大值. 因为, 考虑的情况即可.令,则 当且仅当时，取到等号. 因此， 故答案为：. 四､解答题 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用分式及根式有意义的条件求出集合，再利用集合间的关系即可求解； （2）将是的充分条件转化为，再利用集合间的关系即可求解. 【小问1详解】 要使有意义，则有，， 又，即. 若，则或，解得的取值范围是； 【小问2详解】 若是的充分条件，则，所以， 解得的取值集合是. 16. 函数的图象过点. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断在区间上的单调性，并利用单调性定义证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1），奇函数 （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式求出的值，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数在给定区间的单调性，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用函数的单调性、奇偶性解不等式即可. 【小问1详解】 函数图象过，所以，即，所以， 从而有，故为奇函数； 【小问2详解】 判断：在上单调递增，证明如下： 任取，则 因为，所以，即， 因此，故在上单调递增得证： 【小问3详解】 因为在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增， 令，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 17. 苏超联赛总决赛11月1日在南京奥体中心落下帷幕，泰州队获得了最后的冠军，苏超联赛带动了江苏各个城市的旅游及周边消费，营造了足球气氛，提升了城市知名度。决赛当天南京共接待游客超百万.经市场调查，南京某景区在过去的9月份，第天（）接待游客人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足． （1）求该景区的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式； （2）求该景区旅游日收益的最小值． 【答案】（1） （2）2646万元 【解析】 【分析】（1）直接求的分段表达式即可； （2）根据的分段表达式，结合均值不等式及函数单调性分别讨论最小值即可求解． 【小问1详解】 由题意得 ． 【小问2详解】 （i）时，， 当且仅当时取等； （ii）时，， 任取， 则 ， 因为，所以，因此， 故在上单调递减，此时， 故该景区旅游日收益最小值为2646万元． 18. 曼哈顿距离是由19世纪德国数学家赫尔曼闵可夫斯基创立，用于描述规则网格布局中的路径.其别称“城市街区距离”源于纽约曼哈顿区的街道布局，车辆只能沿横向或纵向道路移动，无法直线穿越.在平面直角坐标系中，其定义为：的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离. （1）已知点，若点在函数的图象上运动，求的最小值； （2）已知点在函数的图象上运动，点，若恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，利用曼哈顿距离定义列式，再求出分段函数的最小值即可. （2）设点，利用曼哈顿距离定义列式并求出最小值，再利用恒成立建立不等式求解. 【小问1详解】 设，则， 当时，；当时，；当时，， 所以的最小值为1. 【小问2详解】 设，则，设，而， 则， 当时，在上单调递增，则； 时，，则在或处取得最小值， 即，因此， 由恒成立，得且， 解，得；解，得， 则，所以正实数的取值范围是. 19. 已知函数满足对任意，都有. （1）求的值； （2）若为偶函数，求； （3）若，求的整数解. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）令即可求解； （2）令，可得，利用偶函数性质即可求解； （3）令，可得，令，可得，利用累加法即可得到的解析式，从而求得的整数解. 【小问1详解】 令，得，即； 【小问2详解】 令，得，即， 因为是偶函数，所以有，即有，可得； 【小问3详解】 令，得，因为已知，所以， 令，得，即， 所以， …… 累加得，即有， 因此的整数解为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中2025-2026学年度第1学期 高一年级期中考试数学试卷 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题 1. 设全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“”的否定是（ ） A B. C. D. 3. 设，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. 都为0 B. 都不为0 C. 中至多有一个是1 D. 都不为1 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 5. 设为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A B. C. D. 8. 设为实数，则最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二､多项选择题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知全集，集合满足⫋，则 B. 关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 D. 关于的不等式的解集为，则 10. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知定义在上函数，当时，成立，且的图象关于对称，若对任意的恒成立，则的可能值为（ ） A. B. C. 1 D. 三､填空题 12. 计算：__________. 13. 已知，则的值域为__________. 14. 定义在上的函数满足,且当时，.若关于的方程在至多有三个不同的解，则正实数的取值范围是__________. 四､解答题 15. 已知函数的定义域为，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值集合. 16. 函数的图象过点. （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性； （2）判断在区间上的单调性，并利用单调性定义证明； （3）求不等式的解集. 17. 苏超联赛总决赛11月1日在南京奥体中心落下帷幕，泰州队获得了最后的冠军，苏超联赛带动了江苏各个城市的旅游及周边消费，营造了足球气氛，提升了城市知名度。决赛当天南京共接待游客超百万.经市场调查，南京某景区在过去的9月份，第天（）接待游客人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足． （1）求该景区的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式； （2）求该景区旅游日收益的最小值． 18. 曼哈顿距离是由19世纪德国数学家赫尔曼闵可夫斯基创立，用于描述规则网格布局中的路径.其别称“城市街区距离”源于纽约曼哈顿区的街道布局，车辆只能沿横向或纵向道路移动，无法直线穿越.在平面直角坐标系中，其定义为：的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离. （1）已知点，若点在函数的图象上运动，求的最小值； （2）已知点在函数的图象上运动，点，若恒成立，求正实数的取值范围. 19. 已知函数满足对任意，都有. （1）求的值； （2）若为偶函数，求； （3）若，求的整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $