甘肃陇南市宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026学年高三5月诊断考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026年宕昌及两当三校高三5月诊断数学试卷，覆盖函数、几何、统计等核心模块，通过多梯度问题设计（如函数性质与立体几何综合题），考查数学抽象、逻辑推理及数据分析素养，适配三模诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、函数图像、双曲线|结合图像辨析考查几何直观（如第3题函数图像识别）| |多选题|3/18|统计量、解三角形|设置部分得分点，考查推理严谨性（如第10题三角形结论判断）| |填空题|3/15|向量投影、极值点、图形面积数列|创新图形操作情境（如第14题曲线面积数列）| |解答题|5/77|解三角形、抛物线、立体几何、统计案例、导数|综合应用（如第18题AI使用与自主思考独立性检验，体现数据意识）|

参考答案 1.答案：C 解析：A={xx2-6x+8≤0={x2≤x≤4)，B={xx2-3x≥0， ={xx≤0或x≥3，.A∩B=[3,4, 故选C. 2.答案：B 解析：由题意可得2=，2+i=2+i-i2+0_211-1-2i 1+记+护1-1+i2 -1 则z=1+2i. 故选：B 3.答案：D 解析：由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C,f(-x)= 2(-x) -x)4+1 =f(x),xER, 故f=2是偶函数，不符合，排除C: x4+1 对于选项A,f)-,求导得f1=2:22>0 2*+1 (2*+1 故∫(x)在R上单调递增， 不符合图像中x>0时先增后减的趋势，排除A; 根据图像，极大值点在x=1左侧， 对于选项B,八到华>0，求符 21-x2） (x2+102 令f'(x)=0,得x=1, (0,1 f'(x刘 0 f(x刘 单调递增 故f(x)的极大值点为x=1,不符合图像，排除B. (1,+0 单调递减 4.答案：B 解析：因为lga+b)>0台lga+b)>lg1台a+b>1,又a>0,b>0, 所以a+b≥2Va6>1,当且仅当a=b时取等号，即ab> 41 又lgab)>0台lgab)>lg1台ab>1, 所以ab>不能推出ab>1,所以1g(a+b)>0是1g(ab)>0的不充分条件： 又b>1→ab>},所以1g(a+b)>0是g(ab)>0的必要条件， 所以lga+b)>0是lgab)>0的必要不充分条件. 故选：B. 5.答案：B 年标：数列a和6)都为等差数现，H受-， 5(a1+a5 2 4+a3_43_3 5b+b) B+6,b7, 2 故选：B 6.答案：D 解折：面双南钱C号片=a>0>0.可得其汽近线方程为y:主凸：、 b 不妨设直线MF,的方程为y=a(x+c, 令=0，可得y=g即M0罗) 因为MF=0c,可得，-c-0)2+0-aS=V0c, 可得ac2 +e=10e样得片3所以c的高心*为e多四 3 7.答案：B 解析： f(x)是定义在R上且周期为4的函数，∴.f(3)=f(3-4)=f(-1 f(x)是偶函数，f(-1)=f(1. 当0≤x≤2时，f(x)=log2x+1),∴.f(1=l0g21+1)=l10g22=1,即f3)=1. 8.答案：C 解析：如图所示，过P作PQ⊥AB于Q,则OA=OP=R,AP=2, B 设AQ=x,则OQ=R-x, 在△AP0中，根据勾股定理可得AP2-AQ=OP2-OQ, 代入得4-r=R2-(R-,解得x= R 所以a@-员则4D.=Mes4,B-4@-是2R=4. 9.答案：BC 解析：根据题意有效数据为：68,80,80,82,90 所以有效数据的极差为90-68=22，故A错误； 有效数据的平均数为82+90+68+80+80-80，故B正确： 5 由5×0.8=4，所以有效数据的第80百分位数为82+90=86，故C正确： 2 有效数据的方差为；×[(82-80+90-802+(68-80+(80-80)2+80-80门=49.6， 故D错误。 故选：BC 10.答案：BCD 解折：选项A因为aosA=bcosB,即aB+c2-a）ba2+c2-b) 2bc 2ac 所以有a2(b2+c2-a2）=b2(a2+c2-b2）, 整理可得（a2-b2)(a2+b2-c2）=0,所以a=b或a2+b2=c2,故为等腰三角形或直角三角 形，故A错误； 选项B,若△ABC为锐角三角形，所以A+B>受所以受>A>B>0, 2 由正弦函数y=sinx在 0、 羊调還增则sn4>sm行8-cosB,故B正确： 选项C,如图，若△ABC有两解，则asin B<b<a,所以3<b<2√3，则b的取值范围是 3,23,故C正确： asinB b B A A 选项D,∠ABC的平分线交AC于点D,BD=1,由S△ABC=SAABD+S△BCD, 由角平分线性质和三角形面积公式得)aesin120°=}asin60°+}csin60°，即ac=a+c, 1 2 故D正确. 11.答案：ACD 解析：如图，连接BD,交AC于点M,取BT中点N,连接MN,∴.易知TD=2MN 在正四面体T-ABC中，易知MB=MT=5 MN LBT,∴MN=VBM2-BN-迈 2 :7D=2×5-V2,选项A正确： B :易知正四面体的高为有= 3 ∴.直线TD与平面ABC夹角的正弦值为h 3 √5，选项B错误 TD√23 OP=AP-40=xAB-(1-x)AT,OR=OT+TR=xAT+(1-x)TC, .OP.OR=[xAB-(1-x)AT]-[xAT+(1-x)TC]=x2AB.AT+x(1-x)AB.TC -x1-x)AT2-(1-)2A7.TC 易知7-，-7元=B(4C-)=B-C-B行=0,4=1 不元 0m0顾=}-0-0+0-=2-2x+号 在△AP0中，由余弦定理，得1PQP=x2+1-x}-2x1-)=3x2-3x+1. 同理，|QRP=3x2-3x+1. 2x2-2x+ 故Cos LPOR= OP.OR 0P03x2-3r43 s∠PQR≤号选项C正确： 设TA=a,TB=b,TC=c,TD=d,易知a+c=b+d. TQ=xa,TR=(1-x)c,TP=TA+AP=a+x(b-a)=a+x(c-d), :.QR=TR-TQ=(1-x)c-xa,OP=TP-TO=a+x(c-d)-xa=(1-x)a+xc-xd. 又EF∥平面PQR,故存在元，u∈R,使得EF=入QR+uQP. :.TF-TE+EF(b+c)+[(-x)e-xa]+u[(1-x)a+xc-xd]= -+40-刘]le+n+0-+ae-经ax 面点F在直线TD上，故存在y∈R,使TF=d ∫月元x+0-)=0,消去，得丛= x+1 .2 22x2-2x+1 1+2(1-x)+ux=0, 4x2-4x+2 ,x∈[0,1]. 记w2 则f")=-4r2+2x+1 2(2x2-2x+12 上单调递增，在区间1+5 上单调递减 首：从到1，点运动把为西（引万9四 选项D正确， 12.答案： 2 解析：因a=(cosx,sinx),b=（3,V3 则a在万方向上的投影为@cos0万=ab-3cos+3sin'=simx+ 2W3 故a在方向上的投影的取值范围是 13.答案： 0, e 解析：f(x)的定义域为0，+o),且m≠-1，f'(x)=lnx-xm,令lnx=xm,则 In(Inx)=mlnx, Int 令lnx=t,teR,则lnt=mt,m= t 因为f(x有两个极值点等价于f(:)有两个不同的变号零点，即m=血‘有两个不同的 实根， 设-，81l，当re0e,gi>0,g1为增面数：当 x∈e,+o,g'x)<0,gx)为减函数； g到=ge=。,而当r→0，gx到→0，当r→+0，gx刘→0，故g图象 如下图所示： y=g(x) e y-m 1 e 结合y=m和g)=血的图象，易得m的取值范围是 0, e 14.答案：S 83 4 55 9 解析：设B图形的边长为a,由题意可知， 54=1,边数是3： 根据图形规律，R图形边长为？，边数为R每一条边都扩大4倍，即3×4： B图形边长为是，边数为3×4： 以此类推，P图无形边长为品，边数为3×4； P图形边长为，边数为3x4: 而根据图形规律可知曲线P所围成图形的面积S,等于曲线P-1所围成的面积加上每一 条边增加的小等边三角形的面积，每一个边增加的小等边三角形面积为5× 3x()2, 43n 则s.=S,+(6x4)x5 3x()2,整理后得S,=S1+ 14 43” 又R图形的面积3=1+3x5xy=4, 4 3 由累知法可知，5=+×，=+×写，…及=5+×写， 3 01 1.9 得Sn=S,+。× X 3 s--;36 9 15.答案：(1)C= 6 (2)3+2√5 解析：(1)由oC(a0sB+bc0s4=5c及正弦定理得： 2 cosC(sin cosB+sin Beos) sin C, 所以cosCsin(A+B)=5 -sinC, 所以cosCsinC=V -sinC, 因为smC>0.所以coC=5Ce0.所以C= 6 2)在△10C中，5=60C-+41,解得6=V5, 2 2b.2 在△4BC中，c2=6+9-2b-35-12-9=3,所以c:5, 2 所以周长=V5+V5+3=3+2√5. 16.答案：(1)x±y-1=0 +0-2)2=425 16 解析：(1)因为C:y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)，,所以=2，解得p=4, 故C的方程为y2=8x, 设1的方程为x=y+1,将其代入y2=8x,消去x整理得y2-8y-8=0, 设Ax,),B(2,y2),则y+y2=8t,x+x2=(y+y2)+2=82+2, 因为AF+BF=x,+2+x2+2=14,所以x,+x2=10, 由8t2+2=10,得t=±1， 所以1的方程为x=±y+1,即x±y-1=0 a测于1x=+1,令=0，得点P0月》月 则4s=片4长小-100，传等5 (1)知y=-8,所以x5=正=1,4=1， 64 1 因为，>0，所以名=2’从而=2，则片=8x=16, 因为点4在轴上方，所以=4，进可得2，，行小 设过A,B,F三点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2r>0),又F(2,0), (2-a2+(4-b)2=r2 则得 (-+-2-W- (2-a2+(0-b12=r2 解得a=号6=2，r-招 16 11 所以过A,B,F三点的圆的方程为x+ 4 +(y-22=425 16 17.答案：(1)证明见解析 (2)(i) √22 11 (i)3W22 22 解析：(1)证明：因为AA⊥平面ABCD,ABc平面ABCD, 因此AB⊥AA1,又因为正方形ABCD,所以AB⊥AD,AA,∩AD=A, 所以AB⊥平面AADD,又ABC平面A,ABB, 所以平面AABB,⊥平面AADD: （2)以点A为原点，AB,AD,AA,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直 角坐标系 A0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A(0,0,6,B3,0,6),D0,3,6: ZA B A1-- B D 若存在点P,设点P(,0,6),∈[0,3]， 设平面PBD的法向量为n1=x,y,z,PB=6-x。,0,-6,BD=-6,6,0), 则 [元·PB=(6-x)x-6z=0 m1·BD=-6x+6y=0 ,令x=6,则元=(6,6,6-， 设平面BCD与平面PBD的夹角为O,易得平面BCD的法向量为n2=(0,0,1, 由已知有cos8,=Cos,n= n√22 即 6-x-V22 11V72+(6-x 911 整理有(6-x)=16,解得x。=2,或x。=10(舍)； 所以P(2,0,6),n1=（6,6,4),AA4=（0,0,6, (i)设直线AA,与平面PBD所成角为O, AA·n√22 sin,=cos A4,n 所以，直线44与平面PBD所成角的正弦值为V2 1 D,P.n3√22 (ii)易知D,P=（2,-3,0),设点D到平面PBD的距离为d,故d 22 点A到平面PBD的距离为3V22 22 18.答案：(1)认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关 (2) X 0 1 2 3 P 1 11 1 1 4 24 4 24 解析：(1)零假设为H。:大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力无关 x2 100×22×16-28×34)2450 50×50×56×44 77 >4>3.841=X0.05, 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H,不成立， 即认为大学生使用A虹学习工具的情况与自主思考能力有关 (2)X的可能取值为0,1,2,3 Px=o--》-4 Px-2-2号+ 1111 P(X=3)=2×写*424 故X的分布列为 X 0 1 2 3 1 11 1 4 24 4 24 19.答案：(1)4x-y-4=0 (2-0,1 (3)证明见解析 解析：(1)当a=-1时，f(x)=x2+2xlnx-1,f1)=0, 因为f'(x)=2x+2lnx+2,所以f'(1=4, 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-0=4x-1),即4x-y-4=0. (2)f (x)=x2-2axlnx-1,f(x)=2x-2alnx-2a, 令8(x=f'y=2x-2alnr-2a,则g1xy=2-2a_2x-a 令g'(x)≥0，解得x≥a, 若a≤1，则g'（x)≥0在1，+o)上恒成立，所以gx)=f'(x在1，+∞)上单调递增， 又f'(1=2-2a≥0，所以f'(x)≥0，则f(x)在[1，+∞)上单调递增， 又f(1)=0,所以f(x)≥0在[1，+o)上恒成立. 若a>1,令gx=0,得x=a, 当x∈1，a)时，g'(x<0,gx=f'(x)单调递减： 当x∈(a,+oo)时，g'(x)>0,gx)=f'(x单调递增. 又f'1=2-2a<0,所以x∈1，a时，f'(x)<0,fx单调递减，f(x)<f(1=0, 与f(x)≥0在[1，+o上恒成立矛盾. 综上所述，若f(x)≥0在1，+oo)上恒成立，则α的取值范围是(-oo,1 (3)已知a=1,由(2)可知f'(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增 又f'(1)=0,所以f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x在(0，+o)上单调递增， 又f1=0,所以x∈(0,1时，f(x<0,x∈(1，+0)时，f(x)>0 若0<x<x2≤1，则f(x)+f(x2)<0,不合题意； 若1≤x<x,则fx)+f(x2)>0,不合题意，所以0<x,<1<x2. 设F(x)=f(x)+f(2-x),0<x<1, 则 F'x=f'(x-f'(2-x=2x-2lnx-2-2(2-x-2ln2-x 设h(x)=F'(x)=2ln(2-x)-2lnx+4x-4,0<x<1, +4<- .+4=0 x(2-x) x+2-x 02 所以h(x=F'(x)在(0,1上单调递减. 又F'1)=0,所以F'(x)>0,从而F(x)在(0,1)上单调递增. 因为F(1=2f1=0,所以F(x)<0 因为0<x<1,所以Fx)=fx)+f2-x)<0, 又f(x+f(x2)=0,所以-f(x2)+f2-x)<0,即f(2-x) 又f(x)在(0，+0)上单调递增，所以2-x<x2,即x+x2>2. 所(51即*2. 2]=2ln(2-x-2lnx+4x-4 f(x2). 绝密★启用前 2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高三5月诊断考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知集合,,则等于(   ) A. B. C. D. 2．设,则(      ) A. B. C. D. 3．已知函数的图象如下，则的解析式可能为(      ) A. B. C. D. 4．设,,则“”是“”的(   ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．设数列和都为等差数列，记它们的前n项和分别为和，满足，则(      ) A. B. C. D. 6．设双曲线的左焦点为,过作C的一条渐近线的垂线,交y轴于点M,若,则C的离心率为(      ) A.2 B. C. D. 7．已知是定义在R上且周期为4的偶函数,当时,,则(      ) A.0 B.1 C. D.2 8．已知线段AB是的一条直径,的半径为R（）,点P是上的一点且,则(      ) A.2 B. C.4 D.无法确定 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则(      ) A.有效数据的极差是10 B.有效数据的平均数是80 C.有效数据的第80百分位数是86 D.有效数据的方差是50 10．已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,下面四个结论正确的是(      ) A.若,则一定为等腰三角形 B.在锐角中,不等式恒成立 C.若,且有两解,则b的取值范围是 D.若的平分线交AC于点D,,则 11．如图，在边长为1的正四面体中，D是点B关于的对称点，点P，Q，R分别在棱，，上，且满足.若E为的中点，点F在直线上，且满足直线平面，则下列说法中正确的有(   ) A.线段的长为 B.直线与平面所成角的正弦值为 C.当x从0增加到1时， D.当x从0增加到1时，点F运动的路程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量,,且,则在方向上的投影的取值范围是________. 13．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是__________. 14．如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）.记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（15分）已知的内角所对的边分别为,且. （1）求角C的大小; （2）点D在边上,且,求的周长. 16．（15分）已知抛物线的焦点为，过点的直线l与C的交点为AB，与y轴的交点为P，且点A在x轴上方. (1)若，求l的方程； (2)若，求过点A，B，F的圆的标准方程. 17．（15分）如图,四棱台的上下底面均为正方形,且底面ABCD,. （1）求证:平面平面; （2）若线段上存在点P,使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值; （ⅱ）求点到平面的距离. 18．（16分）为研究大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力是否有关联,随机调查某校100名大学生,数据如下: 单位:人 使用AI学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验,分析大学生使用AI学习工具的情况是否与自主思考能力有关. （2）小余之前从未使用过AI学习工具,他计划开始尝试使用AI学习工具进行学习,他在第天使用AI学习工具的概率为,设每天是否使用AI学习工具进行学习相互独立.设小余前3天中使用AI学习工具进行学习的天数为,求的分布列. 参考公式:. 参考数据: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 19．（16分）已知函数. (1)当时,求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立,求a的取值范围； (3)已知,若,且,证明：. ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $