精品解析：辽宁朝阳市建平县实验中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

建平实验中学2026届第二次模拟考试数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案． 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：D． 2. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由复数的乘法可得， 而复数对应的点在第三象限，故， 所以即实数的取值范围是. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 4. 某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设男生人数为，女生人数为，由题设可得女生及格人数，据此可得答案. 【详解】因男生，女生比例为. 设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为， 则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为， 女生及格人数为：，则女生及格率为. 5. 世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ） A. 0.25 B. 0.5 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，. 7. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立a、c关系求解离心率． 【详解】设椭圆左焦点为，连接， 由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C 8. 已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设分别为的中点，连接， 因为，，所以分别以为斜边的直角三角形， 即分别过作平面和平面的垂线，交点即为球心， 分别为的中点，， 又，，，， ，， 又平面平面，所以二面角即是，同时也是， ， ， 即，解得， 所以， 即直线与平面的夹角， 设点到平面的距离为，则，解得， 所以， 在中，， 所以为等边三角形，， （为的外接圆半径）， ，四边形有外接圆，且外接圆半径为， 则，四面体外接球半径， ，故， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D. 随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据二项分布得到，再根据方差的性质即可判断A选项正误；对于选项B，根据平均数的性质即可判断B选项正误；对于选项C，根据各项系数和求解的值，再根据二项式定理的通项进行求解即可；对于选项D，根据正态分布性质即可判断D选项正误. 【详解】对于A选项，，.故A选项正确； 对于B选项，因为，，，，…，的平均数为，故B选项错误； 对于C选项，已知各项系数和为，则令，得：，解得：. 由的展开式中第项为，当时，得：，即项的系数为.故C选项正确. 对于D选项，服从正态分布，，所以，故D选项正确. 故选：ACD 10. 函数的部分图象如图所示.则（ ） A. B. 图象关于轴对称 C. 在内单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象特征及所过点确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项ABC，根据三角函数平移变换判断选项D. 【详解】由图像可知，函数最小值为，且，因此. 由图可得：函数过点和，代入得： ，结合，得； ，结合五点法作图可得，解得， 由，可得，， 所以当时， 故，A正确. 选项B：代入，得 ， 函数关于中心对称，B错误. 选项C：令 ， 解得：单调递增区间为 . 当时，增区间为，而，区间包含递减部分，因此在该区间不是单调递增，C错误. 选项D：向左平移个单位， 可得 ，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 4是的极大值点 B. 当时， C. 函数的图像是中心对称图形 D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合定义域，解可得单调性，据此可判断选项正误；对于B，通过举特例可判断选项正误；对于C，注意到 ，据此可判断选项正误；对于D，由题设可得，然后由在上单调递增，可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，定义域为：， . 因时， ，则， ，从而在上单调递增， 在上单调递减.从而是的极大值点，故A正确； 对于B，因，又注意到当时，，则时，，故B错误； 对于C，注意到， ， 则图像关于中心对称，故C正确. 对于D，因，则，又，则， 从而，又由A分析可得在上单调递增， 则，从而 ,故D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】由通项公式可得，即的系数为. 故答案为：. 13. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，代入点的坐标，可得. 【详解】对函数，令，则，得. 所以. 函数的定义域为，. ，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 14. 函数在内有最大值．没有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为在内有最大值，没有最小值， 所以 ，即，所以的取值范围是． 四、解答题：（共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以． 16. 近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） （1）求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 【答案】（1），与之间高度线性相关 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算样本相关系数，再判断线性相关性； （2）先计算分布列，再求数学期望． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 接近1， 变量与高度线性相关． 【小问2详解】 表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为， 从5个数据中任取3个，共种， 时，含的组合数为种，故； 时，不含，含的组合数为种，故； 时，不含，不含，含的组合数为种，故； 的分布列为： 数学期望． 17. 如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为. （1）求证：； （2）若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由射影得直线垂直于平面，再结合三角形性质和线面垂直判定定理证明. （2）建立空间直角坐标系，求相关向量与法向量，利用向量夹角公式求平面夹角余弦值. 【小问1详解】 因为在底面内的射影为， 所以平面， 又平面，则， 在斜三棱柱中， ，， 又因为侧面为矩形， 所以，因此， 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以，结合，得． 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，平行于轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知，设，则，， 又因为与底面所成角的余弦值为， 所以，， 则， ，， ， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 又因为两个平面的夹角范围为， 所以． 18. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. （1）求的方程； （2）若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）4 【解析】 【分析】（1）先设点，再应用点到直线距离公式计算求解得出参数即可得出双曲线方程； （2）（i）先设点的坐标，再应用斜率公式结合双曲线方程化简求值；（ii）结合对称性设直线的方程，再联立计算斜率乘积得出，最后应用定点得出距离的最大值. 【小问1详解】 由题意知的渐近线方程为， 设，则. 因为，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：由（1），得，，设，，， 直线的斜率，直线的斜率 . 因为，所以 . 因为，， 所以. 因为，所以 ， 所以，即为定值. （ii）解：若直线的斜率为0，根据对称性，直线与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，又，不重合，故可设直线的方程为. 联立得， 由题意得且，即 ， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线的方程为，因此直线恒过点， 所以当时，坐标原点到直线的距离取得最大值4. 19. 已知函数，其中. （1）若函数是偶函数，求； （2）当时，讨论函数在上的零点个数； （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）两个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. 【小问2详解】 当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. 【小问3详解】 当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平实验中学2026届第二次模拟考试数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（ ） A. B. C. D. 5. 世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ） A. 0.25 B. 0.5 C. 1 D. 2 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量服从二项分布，，则 B. 数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6 C. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10. D. 随机变量服从正态分布，且，则 10. 函数的部分图象如图所示.则（ ） A. B. 图象关于轴对称 C. 在内单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 4是的极大值点 B. 当时， C. 函数的图像是中心对称图形 D. 当且时， 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为___________. 13. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 14. 函数在内有最大值．没有最小值，则的取值范围是________． 四、解答题：（共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 16. 近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） （1）求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； （2）从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 17. 如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为. （1）求证：； （2）若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. （1）求的方程； （2）若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 19. 已知函数，其中. （1）若函数是偶函数，求； （2）当时，讨论函数在上的零点个数； （3）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $