精品解析：上海市复旦中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025年复旦中学高二上学期期中考 2025.11.10 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】，， ， 故答案为： 2. “直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”_____条件.(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”) 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据线面垂直的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与平面垂直，由线面垂直的定义知直线垂直于平面内所有直线， 故直线垂直于平面内无数条直线故充分性成立； 但是当直线垂直于平面内无数条直线时，若这些直线平行，则直线与平面不一定垂直，故必要性不成立. 所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 3. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据直接求值. 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为：（）. 故答案为： 4. 若与的两边分别平行，且，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】两角的两边分别平行时，两角相等或互补 【详解】 当两角的两边分别平行时，两角相等或互补，如图所示，角B为或 故答案为：或 5. ，，与垂直，则实数的值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，， 则， 由向量与垂直，得， 所以. 故答案为： 6. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上的数量投影为，计算即可. 【详解】因为在上的数量投影为，且， 所以， 故答案为： 7. 如图所示，已知，在与的交线上取线段，且AC、BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且，则线段CD的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BC，由，，，可得，从而可证出是直角三角形，在中，求出，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】连接BC，由， 因为，，，， 所以. 又因为，所以，因此是直角三角形. 在中，有. 进而在中，有. 故答案为：. 8. 如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案： 9. 点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在的投影向量为， 所以点到直线的距离为：. 故答案为：2 10. 已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对 【答案】5 【解析】 【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列出互相垂直的平面即可 【详解】因为是边长为的正方形，，， 所以， 所以，所以， 因为，所以平面， 因为平面,平面， 所以平面平面，平面平面， 因为，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 同理可得平面，则平面平面， 平面，则平面平面， 所以互相垂直的面有5对， 故答案为：5 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点沿着线段从点移动到点，给出下列四个结论： ①可能是钝角；②直线与直线为异面直线； ③；④三棱锥体积为定值； 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】③④ 【解析】 【分析】证明四边形为矩形，建立平面直角坐标系证明向量和的夹角为锐角，可得①错误，根据直线共面可得②错误，利用线面垂直可判断③正确，利用线面平行可判断④正确. 【详解】对于①，由正方体的性质可知，， 所以四边形为平行四边形，又， 所以四边形为矩形，且，， 如图在平面内，以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，设，， 所以，， 所以， 所以，又，和不共线， 所以向量和的夹角为锐角，故为锐角，①错误； 对于②，因，所以直线与直线为共面直线，②错误； 对于③，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，③正确 对于④，因为，又平面，平面，所以平面， 又在上，所以到平面的距离为定值， 又的面积也为定值，所以三棱锥体积为定值， ④正确. 故答案为：③④ 12. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最大值. 【详解】依题意，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径， 由，平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，， 则平面平面，由平面，平面，得平面， 因此点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是点到平面的距离为， 圆的半径为， 由，得，则， 所以的最大值为. 故答案为： 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题6分，共18分） 13. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 【答案】B 【解析】 【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上. 【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定. 故选B项. 【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题. 14. 已知，，是空间三个不共面的向量，有如下三组向量：① ，，；②，，；③，，；其中能够成为空间向量的基底的组数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】因为，，是空间三个不共面的向量，所以不存在且，使得. 对①：假设，，共面，则存在且，使得，即存在且，使得，与已知矛盾，所以假设不成立，故，，不共面，可以成为空间向量的基底； 对②：因为，所以向量，，共面，不能成为空间向量的基底； 对③：假设，，共面，则存在且，使得即， 即存在， 得唯一解为， 因此不存在不全为零的实数使得向量共面，这与矛盾， 故假设不成立，所以，，不共面，可以成为空间向量的基底. 故选：C 15. 下列命题中的假命题为（ ） A. 没有公共点的两平面平行 B. 已知平面，，直线，若，且，则 C. 已知平面，，直线，，若，，且与不平行，，则与异面 D. 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交 【答案】B 【解析】 【分析】由平面平行的概念、判定定理、性质定理逐个判断即可. 【详解】对于A，由面面平行概念可知没有公共点的两平面平行，该命题为真命题； 对于B，若直线，且，平面､可能相交或平行，该命题为假命题； 对于C，由两平面平行可知，分别在两个平面内的直线没有交点，又与不平行，故与异面，该命题为真命题； 对于D，若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，若这三个点分布在另一个平面的两侧，此时两平面相交，若这三个点分布在另一个平面的同侧且不共线，此时两平面平行，该命题为真命题； 故选：B 16. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，，则下列说法错误的个数是（ ） ①当，，时，平面； ②当，时，异面直线与所成的角为； ③当，时，； ④当时，线段的长度最小值为； A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件确定点的位置，利用空间向量判断空间线面的位置关系，求异面直线所成的角，和点到平面的距离，判断各命题的准确性. 【详解】由题意，可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 对①：当，，时，点在平面上，所以平面就是平面， 因为，平面，平面，所以平面. 即平面，故①正确； 对②：当，时，点在线段上. 因为，， 所以，所以， 即异面直线与所成的角不是，故②错误； 对③：当，时，点位于线段上. 此时，，其中， 此时，所以，故③正确； 对④：当时，点位于平面上，则线段的长度最小值为点到平面的距离，设为. 由.即线段的长度最小值为.故④正确. 故选：D 三、解答题（共78分） 17. 已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式； （2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值. 【小问1详解】 设数列的公差为，因为， 所以. 解得. 所以. 【小问2详解】 ， 所以. 令，得， 解得：（舍去）. 因为，所以的最小值是12. 18. 已知函数，点，是图象上两点． （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1） （2）为奇函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别代入两点坐标联立求解即可； （2）根据奇偶函数的定义判断即可. 【小问1详解】 由题意，，解得. 【小问2详解】 由（1），易得定义域关于原点对称. 又，故为奇函数. 19. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【小问1详解】 连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 20. 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： （1）若，： ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； （2）化简：； （3）记的面积为，证明：. 【答案】（1）①，②； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①利用数量积的定义求结论；②由向量叉乘的定义直接求解即可； （2）设，根据叉乘的运算表示和即可证明； （3）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后结合叉乘运算证明即可； 小问1详解】 ①因为， 所以， 所以 ②因为， 所以. 【小问2详解】 设， 则 ， 将与交换，与交换，与交换，可得， 故. 【小问3详解】 因为， 故， 要证，只需证， 需证. 设， ， 可得， 又因为，，， 所以 所以， 故. 21. 如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为； （1）求的长度； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【答案】（1）1； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由三角函数值进行求解； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成角，求出各边长，，得到答案； （3）①点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，进而求出弧长得到答案； ②如图，记点在平面上的投影为，表达出，因为，所以，故. 【小问1详解】 ，，⊥， 故； 【小问2详解】 当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为； 【小问3详解】 ①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年复旦中学高二上学期期中考 2025.11.10 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 集合，，则______. 2. “直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”_____条件.(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”) 3. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 4. 若与两边分别平行，且，则__________. 5. ，，与垂直，则实数的值为______. 6. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 7. 如图所示，已知，在与的交线上取线段，且AC、BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且，则线段CD的长为_______． 8. 如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 9. 点，，，则点到直线距离为______. 10. 已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对 11. 如图，在棱长为2正方体中，为的中点，动点沿着线段从点移动到点，给出下列四个结论： ①可能是钝角；②直线与直线为异面直线； ③；④三棱锥体积为定值； 其中所有正确结论序号是______. 12. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为_________. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题6分，共18分） 13. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 14. 已知，，是空间三个不共面的向量，有如下三组向量：① ，，；②，，；③，，；其中能够成为空间向量的基底的组数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. 下列命题中的假命题为（ ） A. 没有公共点的两平面平行 B. 已知平面，，直线，若，且，则 C. 已知平面，，直线，，若，，且与不平行，，则与异面 D. 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交 16. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，，则下列说法错误的个数是（ ） ①当，，时，平面； ②当，时，异面直线与所成的角为； ③当，时，； ④当时，线段的长度最小值为； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（共78分） 17. 已知是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的最小值. 18. 已知函数，点，是图象上的两点． （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 19. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 20. 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： （1）若，： ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； （2）化简：； （3）记的面积为，证明：. 21. 如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为； （1）求长度； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $