河南省南阳市2025-2026学年高二上学期期中质量评估数学试题

2025年秋期高中二年级期中质量评估数学试题 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B D C 1解：=1a-枚滤D 2.解：选D. 3.解：由题知a(a+1)=2,∴a=1或-2 当a=1时，两条直线重合，不符合题意，故a=-2,故选B. 4解：设双曲线方程为C:女-广=元，6N2,2)代入得元=1， 94 故双曲线方程为C:-=1a=3h=2,c=15e= 。故选A. 94 3 5.解：由题知，焦点F(0,1),准线为y=-1,PF=n+1=3,∴.n=2,∴.m=2V2故选C 6.解：由题知P0L1,kop=1,∴.k,=-1故选A 7.解：A关于x轴的对称点为A(4,-5),关于直线1：y=2x+2的对称点为A,(m,n) n-51 m=0 由 m-42 n+5=2x” +2n=740,7) m+4 得 故△4BC周长的最小值为A,4,=V42+122=4V10,故选D. 8解：法一：连接PF, 题可知，PR=P所卡2a生09 22 在△PR6中，由余装定理得PEP阳P+R,-2 PF cos号 即202=0生9+42-2x82x2cx 2 整理得3c2+ac-2a2=0,即3e2+e-2=0.c=2或e=-1(舍去放选C 3 法二：过P作PH⊥x于H, 由可知，PR=生，所以=c牛-3生 44 高二数学参考答案第1页，共7页 =a- ee=c 3c-a 2 4 a 章理得3c+e-2-0,e-号或e=-舍）故选C 二、选择题 题号 9 10 11 答案 BD ABC ABD )解：由题知d=V2=-2,a=0或4故选BD V2 10.解：当0<k<k2<k3或k<k2<k3<0时，A正确：当k<0<k2<k3时C正确： 当k<k,<0<k3时B正确.故选ABC 11.解：对于A,因为F(-a,0),F(a,0)关于原点对称，设点P(x,y)是双纽线上的点， 那么点P关于原点对称点P(-x,-y)到F,F的距离之积与P到F,F的距离之积相同. 点P关于x轴对称的点P"(x,-y)到F,E的距离之积与P到F,F的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和 对称轴，A选项正确. 对于B,设P(x,y),|PE上V(x+a}+y,PE上V(x-a}+y 因为PF IIPEFd,所以(Nx+a+y2)(W(x-a)}+y2)=a2. 展开可得(x+a)2+y2)(x-a)2+y2)=a4. 进一步展开(x2+2ax+a2+y2)(x2-2ax+a2+y2)=a4. 令m=x2+y2+a2,则(m+2ax(m-2ax)=a4,即m2-4a2x2=a4. 将m=x2+y2+a2代回得(x2+y2+a2)2-4a2x2=a4 展开(x2+y2)2+2a2(x2+y2)+a4-4a2x2=a4. 整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2),B选项正确. 对于C,由均值不等式PFHP四2PFP啊 2 已知PFPE卡，所以PE+PF≥2a,当且仅当|PFPE时取等号， |PF+PF的最小值为2a,C选项错误. 对于D,设∠FPR=8,根据三角形面积公式S=P阳PR1sin0, 高二数学参考答案第2页，共7页 因为PEIPE卡d,所以S=a2sine」 2 因为sn0最大值为1，所以s的最大值为，D选项正角， 故选；ABD 三、填空题： 12.±V5 13.x-8y+15=0 14.2V5 12.解：AB=V(x2-x)2+(y2-y)2=V1+K2|x2-x=6,∴k=±V3 -乃=1 13.解：设A(x,y),B(x2,y2)由 4 得s-Xx+）=0y-y0y+y) 4 由题知P为AB申点，+x=2,y+5=4,k8=么-业= x1-x28 测直线1的方程为y-28c-)即x-8y+15因 14.解：设A(-1,),则|AM=V1+(t-1)2,AN=V1+(t+3)2 |AM|+|AN|表示点(0，t)到点(1,1)和点(1，-3)距离之和，最小值为25， 四、解答题（本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 5解：D因为kc,所以BC边上的高所在直线的方程为y-4=-3(x-)即3x+y-7=04分 (2)正明：：子AB边上的南所在直线的方若为y-1=c-9即3x+5y-17=07分 5 :k4c=-1,所以AC边上的高所在直线的方程为y+1=(x+2)即x-y+1=0.10分 3 3x+y-7=0 x= 由 得 2 (x-y+1=0 .12分 y=- 2 又点G,)满足3江+5y170 △ABC的三条高交于一点. .13分 16解：(1)当直线1过原点时，方程为y=4x,符合题意： 3分 当直线1不过原点时，设方程为+义=1，将A(1,4)代入得m=3 m 2m 此时直线1的方程为y=-2x+6 .6分 高二数学参考答案第3页，共7页 故直线1的方程为y=-2x+6或y=4x. .7分 (2)解法一：设直线1的方程为y-4=k(x-1)化<0) 8分 令x=0得n=4-k,令y=0得m=1-4 10分 k 5wmm-列=x-9-)-3+() (-k) 二03+256)-5〈省且汉当-=-0刷6=-6时等号度立）14分 k 此时直线1的方程为y-4=-6(x-1),即y=-6x+10 15分 解法二：设直线1的方程为+上=1将A（1,4代入得1+4=L即4m十n=mm…8分 m n m n w 1 m0n+5=)mn+5m)=)(9m+) …10分 9m+mM0+-503+0+6x03+2v5o=25 ,1,4、1 1 2 m n 2 m n n,n=6m「m=5 (当且仅当”-36m即”4 m= -+-=1’ 3时等号成立) .14分 m n m n n=10 此时直线1的方程为然+0=1，即y=6x+10 15分 解法三：设直线1的方程为￥+上=1 m n 将A14)代入得1+4=1m=”,>0,:n>4 8分 m n-4 Sww)mn+)2-4设n-4=元>0， 10分 令fa)=2+4a+9y-1a.3 (2+ 2 2 +13)≥2 5 (当且仅当元=6，即m= 3时等号成立) .14分 n=10 此时直线7的方程为3：+二-1，即y=-6x+10. 510 .15分 17.解：(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (1-a)2+(3-b)2=r2 a=2 由题意得(4-a)2+(2-b)2=r2解得{b=1 a+b-3=0 r2=5 高二数学参考答案第4页，共7页 故所求圆的标准方程(x-2)2+(y-1)2=5. .5分 (2)(①由题得 m+5l-5解得m=5士52， √10 .10分 (mAB⊥L,∴S四边形AMBN= ABIMNI 所以当直线1过圆心C时四边形AMBN的面积最大，故3×2+m=1,.m=-5.15分 18解：(1)由题知PF=4-|PF1即|PF1+|PE=4>|EE=23 3分 所以点P的轨迹C是以F,F2为焦点的椭圆，且2a=4,2c=2V3,a=2,c=√3，b=1 点P的轨透C的方程为无+y=1。 7分 4 (2)解法一：设A(x,y1),B(x2,2),AB中点为M(xo,yo), 则x1+x2=2xo,y+y2=2y0 8分 +得送++-0+D 由4 .10分 4 4 片4公要@ X1-x2 Xo 4 .12分 如*1@ .13分 .4 X0= ①②联立解得 3 1 %=-3 所以号+m=一 1 3 3,m=-5 3 15分 42 又子+(-弓以点M在据圆为阳 4 (也可联立直线与椭圆方程，由判别式△>0验证) 故存在实数m=一 5 符合题意 3 17分 y=x+m 解法二：由x2 4+少2=1得5x2+8nx+4(n2-1)=0 9分 高二数学参考答案第5页，共7页 设A(x1,),B(x2,y2) 8m 4(m2-1) ∴.x1+x2=- 5 △=(8m)2-4×5×4(m2-1)=16(5-m2) 12分 y1+y2= 2m:AB中点为（←5,5 4m m 13分 m 由题知4m一1 =-1,∴.m=-2 15分 5 此时满足△>0，故存在实数m=-5 符合题意 3 .17分 19解：1)~点P是教的线y6+弓年意一点，设P0 3 3 10 2 抛物线E:x2=4y的准线1方程为y=-1. 点P在直线1上的射影为Q, 5 …2分 wPw+哈--+s0+2-+号 2 ∴Pg=PM. .5分 (2)由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB:y=k+4, [y=kx+4 x2=4y’得x2-4-16=0, 由 .6分 设A(x,y),B(x2,2),则x+x2=4k,xx2=-16,△=16(K2+4) …8分 m-手号-g- 9分 OA=(x1,),OB=(x2,2), .OA●OB=xx2+yy2=0 故以AB为直径的圆经过坐标原点，得证. .10分 （3)因为A(x,),B(x2,2),O0,0), 高二数学参考答案第6页，共7页 六直线A0:y=上x,直线B0:y=兰x, 11分 ,C,D都在直线1：y=-1上， .C(-,-10,D,-1) 13分 CD(kx+4)-(k,+4) y2 yi yiy2 yiy2 =-x+P-4西=k2+4 .16分 4 ∴.当k=0时，CD取最小值2. 17分 高二数学参考答案第7页，共7页 2025年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(P25改编）直线l经过点A(0,2),B(3,-1)，则直线l的倾斜角为 A. B. C. D. 2．过点（-2,1）和（1,4）的直线方程为 A.x+y-1=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y+3=0 3.(P19改编）已知两条不重合的直线和.若，则a= A.-2或1 B.-2 C.1 D. 4.(P68改编）双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为 A. B. C. D. 5.(P75改编）若抛物线上的点P(m,n)(m>0)到其焦点F的距离为3，则实数m的值为 A.2 B.3 C. D.D.3 6．过点P(1,1）的直线l与圆相交，当截得的两条圆弧之差最大时直线l的方程为 A.y=-x+2 B.y=1 C.y=x D. 高二数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．已知点A(4,5)，点B在x轴上，点C在直线l:y=2x+2上，则ΔABC周长的最小值为 A. B. D. 8．椭圆C:的左、右焦点分别为 ，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线y=x-2被圆所截得的弦长为，则实数a的值为 A.-2 B.0 C. D.4 10.(P27改编）已知三条直线l,m,n的倾斜角分别为α,β,γ，斜率分别为，且，则α,β,γ的大小关系可能为 A.α<β<γ B.γ<α<β C.β<γ<α D.γ<β<α 11．“∞”可以看作数学上的无穷大符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线“伯努利双纽线”.数学家伯努利仿照椭圆的定义，这样定义双纽线：已知两个定点 ，平面内到的距离之积为的动点P(x,y)的轨迹为双纽线.则下列说法正确的是 A.双纽线有对称中心和对称轴 B.双纽线的方程是 C.的最大值为2a D.面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是直线l:y=kx+1上的两点，若，且|AB|=6，则 k= 13．过点P(1,2）的直线l与双曲线C：交于A,B两点，若，则直线l的方程为 14．已知圆，点N(0,-3)，点A为直线l:x=-1上的动点，过点A 作圆C的切线，切点为M，则|AM|+|AN|的最小值为 高二数学 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分）已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是ΔABC的三个顶点. （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求证：ΔABC的三条高交于一点． 16.(15分）已知直线l过点A(1,4）且在x轴和y轴上的截距分别为m和n． （1）若2m=n，求直线l的方程； （2）若P(0,-5)，直线l分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于点M,N，当ΔPMN的面积最小时，求直线l的方程. 17.(15分）已知圆C经过点A(1,3）和B(4,2)，且圆心C在直线x+y-3=0上. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线l的方程为y=3x+m. （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值. 高二数学 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分）已知动圆P过点，且与圆内切. （1）求点P的轨迹C的方程； （2）若点E(1,0)，直线l:y=x+m与C相交于A、B两点，是否存在实数m，使|EA|=|EB|? 若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由. 19.(17分）已知抛物线，直线m过点M(0,4）且与抛物线E相交于A、B两点，直线OA、OB分别与抛物线的准线l相交于C、D两点. （1）若点P是抛物线 上任意一点，点P在直线l上的射影为Q， 求证：|PQ|=|PM| （2）求证：以AB为直径的圆过坐标原点； （3）求|CD|的最小值. 高二数学 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $