精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

辽宁省名校联盟2025年高三11月份联合考试 数学 命题人：丹东市第二中学 王茹 郭坤 张影 审题人：丹东市第二中学 张巾慧 东港市第二中学 姜丽 阜新市实验中学 陈志海 大连理工大学附属高级中学 孙华茂 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 6. 在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的公比为，，数列满足，当且仅当时，的前项和有最小值，则的值是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象在处的切线方程为 B. 在区间上有3个极值点 C. 实数解有无穷多个 D. 上恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若向量与垂直，则______． 13. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________. 14. 已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）求在上的解集． 16. 已知函数． （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在条直线与曲线相切，求实数取值范围． 17. 在中，内角所对的边分别为，为边上一点，且，，． （1）求的长； （2）点在的内部，当时，，求． 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．数列满足，其前项和为． （1）求； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 19. 设，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”． （1）若数列，，，，具有性质“”，求实数的取值范围； （2）设数列的通项公式为，则是否存在，使得数列具有性质“”？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由； （3）设函数，正项数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高三11月份联合考试 数学 命题人：丹东市第二中学 王茹 郭坤 张影 审题人：丹东市第二中学 张巾慧 东港市第二中学 姜丽 阜新市实验中学 陈志海 大连理工大学附属高级中学 孙华茂 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先用列举法求出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】由，得，共2个元素． 故选：C 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断. 【详解】因为，所以，所以的虚部为． 故选：B． 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题，为存在量词命题， 则，． 故选：B． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项通分转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】，所以解集为． 故选：A 5. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定出天数与荷叶覆盖水面的面积之间的关系式，再结合指数幂、对数的运算性质求解即可. 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则经过天荷叶覆盖水面的面积， 由题意得，即， 两边取以10为底的对数得， 所以， 解得． 故选：． 6. 在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 7. 等比数列的公比为，，数列满足，当且仅当时，的前项和有最小值，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的性质即可求解． 【详解】解：可知， 又∵， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴． ∵当且仅当时，的前项和有最小值， ∴，即， ∴，∴， ∵，∴． 故选：B． 8. 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，则可得，再借助余弦定理的推论即可得，从而可得，则可用表示出，最后利用正弦定理计算即可得. 【详解】因为，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以，则，即，所以，且； 在中，由余弦定理得， 因为，所以，所以，， 中，由正弦定理得， 化简得，解得． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】三角展开求出和，然后代入验证CD即可. 【详解】由， 由， 由上两式解得，所以A,B正确； 对于C：，C错误； 对于D：， 所以或者， 又因为，所以，所以，D正确， 故选：ABD 10. 下列不等式中正确的是（ ） A B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象在处的切线方程为 B. 在区间上有3个极值点 C. 的实数解有无穷多个 D. 在上恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A，在区间上解方程，即可判断B，将方程，转化为，利用数形结合，即可判断C，区间上，利用不等式两边的正负，即可判断，区间上，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可判断. 【详解】对于A项，，所以在处的切线的斜率， 又，所以切线方程为，A项正确． 对于B项，，在区间上，令，得或或或，这4个根都是变号零点，所以有4个极值点，B项错误． 对于C项，，，即， 设，，如图，画出这两个函数的图象，由图象可知，两个函数的图象有无数个交点，所以的实数解有无穷多个，C项正确； 对于D项，上，，，原式成立； 在上，令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则，所以在上单调递减，所以，又，所以，所以，所以，D项正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若向量与垂直，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两向量垂直，它们的数量积为0即可计算求解． 【详解】， ∵向量与垂直， ∴， ∴， 即， 即， 解得． 故答案为：． 13. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是________. 【答案】. 【解析】 【分析】由条件得出，进而求得，根据正弦函数的单调性得出，即可得正实数的取值范围． 【详解】解：由题可知，，函数在上单调递减， 可得函数的半个周期大于或等于，即， 则，， 由， 解得：，， 而，所以当时，， 则正实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查由正弦型函数的单调性求参数范围，涉及正弦函数的周期和单调性的应用，属于中档题． 14. 已知实数满足，，其中e为自然对数的底数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件和，构造函数，利用函数单调递增得，代入化简即可求解. 【详解】且，且， 故，构造函数，则， 所以在上单调递增，所以，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）求在上的解集． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 ，令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； 【小问2详解】 ，∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； 【小问3详解】 由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 16. 已知函数． （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在条直线与曲线相切，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值是，最小值是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数先判断出在上的单调性，然后可计算出最值； （2）设出切点坐标，表示出切线方程并代入点坐标，将切线条数问题转化为方程解的个数问题，构造新函数结合函数图象结果可求. 【小问1详解】 函数，，， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． 【小问2详解】 设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值为，在处取得极大值为， 由过点存在条直线与曲线相切，得方程有个互不相同的解， 即直线与函数的图象有个交点， 观察图象得当时，直线与函数的图象有个交点， 所以实数的取值范围是． 17. 在中，内角所对的边分别为，为边上一点，且，，． （1）求的长； （2）点在的内部，当时，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用及三角恒等变换公式得，然后利用余弦定理求解即可； （2）设，则，且，然后在中，利用正弦定理化简得，即可求解． 【小问1详解】 设，，因为， 所以， 所以， 所以， 因 ， 所以，因为为锐角，， 所以，即， 解得（负值舍去），为锐角，所以． 在中，由余弦定理得． 【小问2详解】 在中，设，则，且． 在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以． 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．数列满足，其前项和为． （1）求； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【小问1详解】 当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 19. 设，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”． （1）若数列，，，，具有性质“”，求实数的取值范围； （2）设数列的通项公式为，则是否存在，使得数列具有性质“”？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由； （3）设函数，正项数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小． 【答案】（1） （2）存在，的最小值为3； （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，解出即可得； （2）假设存在，则有，再分别根据 及计算即可得解； （3）由题意可得，则要证，转化后只需证，构造函数，结合导数研究单调性后计算即可得；再证，转化后只需证，构造函数后，结合导数研究其单调性后即可得，即得证数列具有性质“”；再由该性质可得，从而可得，即可结合等比数列求和公式比较与的大小. 【小问1详解】 已知数列，，，，具有性质“”， 则，，，， 由，可得，由，可得， 综上，，则实数的取值范围是； 【小问2详解】 假设数列具有性质“”， 则，即， 由，得， 即， 所以， 因为，所以，且时，，所以， 由，可得，所以， 因为，所以，则． 综上，， 因为，所以的最小值为3； 【小问3详解】 函数，数列中，，由，得， 则，要证，即证，即证， 只需证； 令函数，，求导得， 则函数在上单调递增，， 所以，故得证； 要证，即证，只需证， 令，，求导得， 令函数，，求导得， 故在上单调递增， 则，即，函数在上单调递增， 则，即，所以成立， 由，得，而， 则当时，， 故， 又，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $