精品解析：黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（一）

高二数学试卷（一） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由共面定理建立等量关系列方程组即可求解. 【详解】，，， 因为向量，，共面，所以存在有序实数对，使得， 即， ，解得，即. 故选：A. 2. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再由圆的标准形式即可求出圆的标准方程，再转化成一般式即可. 【详解】由得， 令，则，，所以直线恒过定点， 则圆的方程为，即. 故选：D. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心到直线的距离 . 故选：A 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ②当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 7. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：圆的方程整理为标准方程即：， 设AB中点为，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中， 则，即圆心到直线的距离为， 据此可得：，即，解得：或. 本题选择D选项. 点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线的方程．由题意知圆的圆心在直线上，可得，再利用二次函数的性质可求最小值． 【详解】∵方程表示圆， ∴，即． 圆，圆， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：． 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上， ∵圆的圆心为， ∴，即， ∴， ∴当时，取最小值9． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知， 则. 故选：AD 10. 如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项. 【详解】对于，，故正确； 对于， ，故错误； 对于，， ，， ， 故正确； 对于，，故正确. 故选：. 11. 在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（ ） A. 若点，则四边形的面积是 B. 若点，则四边形的外接圆方程是 C. 若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D. 当取得最小值时，点到圆心的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，即可求解；对于B，由四边形的外接圆的直径是，即可求解；对于C，当与直线垂直时，直径最小，即可求解；对于D,由到圆心的距离为，确定 为正方形，可判断； 【详解】若，则，又，，， 所以，所以，A正确； 四边形的外接圆直径是，若，则，圆心为， 故外接圆方程是，B不正确； 因为原点O到直线的距离为， 所以当为垂足时，以为直径的圆的直径最小，为，C正确； 若点到圆心O的距离为，易得：，此时四边形是正方形，此时， 易知，当时，，，故D不正确， 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 13. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 14. 已知实数x，y满足，则取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的斜率得到直线的斜率，结合，得到直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标； （2）设，由中点坐标公式得到，将其代入直线中，求出，求出，从而结合（1），求出直线的方程. 【小问1详解】 由题意得直线的斜率为，所以直线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为，即， 因为直线的方程为， 由，解得，所以点的坐标是． 【小问2详解】 由题意，是线段的中点，且在直线上， 设，又，则． 由题意，点在直线上，则． 解得，则． 由（1）得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 16. 设直线 （1）求与直线的距离为的直线的方程； （2）求圆关于直线的对称圆的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解； （2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程. 【小问1详解】 由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. 【小问2详解】 圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 17. 如图，在空间四边形中，点为中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 点为的中点，， ， ． 小问2详解】 ，由（1）得 ． 18. 如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. （1）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （2）设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦值的计算公式即可求解； （2）引入参数表示出，求出平面的法向量，进一步可将表示出的函数即可进一步求解. 【小问1详解】 由题可知，，，两两垂直， 翻折前，因为经过的重心，且， 所以， 所以，，， 翻折后， 由勾股定理得， 以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 且， 因为直线与平面所成角为， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】（1）， （2）①证明见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【小问1详解】 当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． 【小问2详解】 ①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷（一） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6 2. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C D. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 8. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ） A. B C. D. 11. 在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（ ） A. 若点，则四边形的面积是 B. 若点，则四边形的外接圆方程是 C. 若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是 D. 当取得最小值时，点到圆心的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 13. 已知，直线，且，则最小值为__________. 14. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 16 设直线 （1）求与直线的距离为的直线的方程； （2）求圆关于直线的对称圆的方程. 17. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 18. 如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. （1）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （2）设直线与平面所成角为，求的最大值. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $