精品解析：天津市部分区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

天津市部分区2025~2026学年度第一学期期中练习 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，练习用时100分钟． 使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上；不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上． 第I卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分． 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 2. 在空间直角坐标系中，若点关于平面的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 4. 已知圆，圆，则圆与圆位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C 4 D. 6 9. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔作答． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 直线的斜率是___________． 11. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 12. 若，则在上的投影向量坐标为___________． 13. 已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为______. 14. 已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 15. 给出下列命题： （1）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为； （2）已知三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面； （3）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段中点的轨迹方程为． 则上述命题中正确的是___________．（把所有正确的命题序号都填上） 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 17. 如图，菱形中，． （1）求所在直线的方程： （2）求所在直线的方程； （3）求所在直线的方程． 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 已知圆的圆心坐标为，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，当时，求直线的方程； （3）若点为圆上任意一点，求取值范围． 20. 如图，在长方体中，已知，，点在线段上． （1）求证：： （2）当是中点时，求点到直线的距离； （3）若平面与平面的夹角为，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2025~2026学年度第一学期期中练习 高二数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，练习用时100分钟． 使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上；不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上． 第I卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分． 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】由两点的斜率公式计算即可. 【详解】解：由已知得. 故选：D 【点睛】本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题. 2. 在空间直角坐标系中，若点关于平面的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的定义易得. 【详解】根据空间直角坐标系中点的坐标的定义，可知点关于平面的对称点为. 故选：A. 3. 若直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行的判定方法列方程求解即得实数的值. 【详解】由两直线互相平行，可得且，解得. 故选：D. 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【详解】由的圆心，半径， 由的圆心，半径， 所以，故两圆相交. 故选：C 5. 设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，而，则， 所以直线与所成角为. 故选：B 6. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 7. 已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，设，利用圆心到直线的距离等于半径列出两个方程，求解即得，进而可得圆的方程. 【详解】因圆的圆心在直线上，可设圆心为，半径为， 依题意圆心到直线的距离，① 圆心到直线的距离，② 联立①和②，解得，故圆的方程为. 故选：A. 8. 如图，在平行六面体中，已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，应用向量数量积的运算律求模，即可得. 【详解】依题意，， 所以 ， 所以. 故选：B 9. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，找到“圆上仅有1个点到直线的距离为”与“圆上有且仅有3个点到直线的距离为”的直线的两种临界状态，然后根据条件列不等式，即得答案. 【详解】圆的圆心为：，半径，直线方程为：， 圆心到直线的距离， 因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 所以，即， 解得：. 故选：C 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔作答． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 直线的斜率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出该直线的斜率. 【详解】直线的方程可化为，故该直线的斜率为. 故答案为：. 11. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据两平面的法向量为共线向量，即可判断两平面的位置关系. 【详解】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 故答案为：平行. 12. 若，则在上投影向量坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，利用空间向量的坐标运算即得. 【详解】因，则在上的投影向量为， 故在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 13. 已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论截距为和不为即可. 【详解】若直线经过原点，则方程为； 若直线不经过原点，设方程为， 故，得，所以方程为. 故答案为：或. 14. 已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，根据直线上两点分别求出直线的斜率，进而求得两直线的倾斜角，结合图形，即得答案. 【详解】 如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案：. 15. 给出下列命题： （1）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为； （2）已知三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面； （3）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为． 则上述命题中正确的是___________．（把所有正确的命题序号都填上） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】根据点关于轴对称分别得出的坐标即可求解判断（1）；应用空间向量共面定理计算求解判断（2）；设线段的中点，由中点坐标公式得，将其代入圆方程化简即可得解判断（3）. 【详解】点与点关于轴对称，则； 点与点关于轴对称，则； 点与点关于直线对称，则，（1）正确； 因为P，A，B，C四点共面，所以，则四点共面,（2）正确； 设线段的中点， 则由题，且即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为，（3）错误； 故答案为：（1）（2）. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 17. 如图，在菱形中，． （1）求所在直线的方程： （2）求所在直线的方程； （3）求所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）根据菱形的性质先求出直线的倾斜角，进而直线斜率，由点斜式方程求解即得； （3）根据菱形对角线互相垂直求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 所在直线的斜率为， 则直线的方程为，即 ； 【小问2详解】 在菱形中，，则， 由（1）知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，斜率为1， 又因经过点，故直线的方程为，即； 【小问3详解】 由（2）已得直线的斜率为1，因，故直线的斜率为， 则直线的方程为，.即. 18. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用勾股定理证，建系，求出平面的法向量，由即可证得；方法二：连结，交于点，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证得线面平行即可； （2）根据（1）的方法一建系，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 方法一：因为，， 由，可得， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 则， 故可取， 因，因平面，故平面 方法二：连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以， 平面平面，. 所以平面； 【小问2详解】 仿照（1）方法一建系，则， 于是， 设平面的法向量为， 所以，故可取， 设与平面所成角为， 则， 因，则 即直线与平面所成角的大小为． 19. 已知圆的圆心坐标为，且与直线相切． （1）求圆方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，当时，求直线的方程； （3）若点为圆上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的切线性质及点到直线距离公式求出半径即得. （2）由给定弦长求出弦心距，再按直线的斜率是否存在分类求解. （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. 【小问1详解】 圆的圆心，由圆与直线相切，得圆半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 直线被圆所截弦长为，得圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为1，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 表示圆上的点到点的距离的平方， 而圆心到点的距离， 因此点到点距离的最小值，最大值为， 则的最小值为，最大值为， 所以的取值范围是. 20. 如图，在长方体中，已知，，点在线段上． （1）求证：： （2）当是中点时，求点到直线距离； （3）若平面与平面的夹角为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）如图建系，分别求出的坐标，由即可证明； （2）求出及与同方向的单位向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式计算即可； （3）由空间向量夹角公式列出方程求解即得. 【小问1详解】 依题意，可建立以为原点，分别以为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得． 设，则． 依题意，，又， 因，则， 故. 【小问2详解】 因点是中点，则于是， 与同方向的单位向量为， 则到的距离为. 【小问3详解】 依题意，是平面的一个法向量. 由（1）设点，则 设为平面的法向量， 则，故可取. 由题意，有， 解得，又因，则. 即线段的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $