精品解析：天津市静海区第六中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

静海六中2024～2025学年度第一学期第二次质量监测 高二年级数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共45分） 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】通过斜率求出倾斜角 【详解】整理得,直线斜率为，， 所以倾斜角为. 故选：A 2. 已知向量：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B 3. 已知空间向量， 则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】A.在上的投影， 与同向单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量是， 故A正确； B.，故B错误； C.因为，所以与不垂直，故C错误； D.，故D错误. 故选：A. 4. 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 5. 如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再利用数量积运算性质即可得出． 【详解】解：，，，， ，． ， ， ， 即的长为. 故选：A． 6. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 按照过点P的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆圆心为，半径为，点P在圆外， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到该直线的距离等于，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得， 所以该切线方程为； 所以切线方程为或. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点的圆的切线方程的方法 几何法：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程; 代数法：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出. 7. 圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A. 【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量. 8. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） A. 36 B. 18 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解：因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为， 故选：D. 9. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案. 【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________ 【答案】或. 【解析】 【分析】 分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可. 【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为,则,故,化简得. 当截距不为0时,设直线方程为,则.故,化简可得. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题,需要注意分截距为0与不为0两种情况进行求解.属于基础题. 11. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算及基本定理计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 12. 设两直线与.若,则_____,若,则_____． 【答案】 ①. -7 ②. 【解析】 【分析】由直线平行,得 解出方程进行检验可得 的值;由直线垂直可得,解出方程即可得 的值. 【详解】解:当时, ,解得 或 当 时, 两直线重合,不符合题意.即 当时, ,解得 故答案为:-7; 【点睛】本题考查了直线的平行和垂直问题.一般地,对于两条直线,,.当时,; 当时,.本题的易错点在于,在平行问题中,求出的值后没有代入方程检验两直线是否重合. 13. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 14. 已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】转化为原点到直线的距离为小于，解不等式即得解. 【详解】因为圆上有且仅有四个点到直线的距离为1， 所以原点到直线 的距离为， 由点到直线的距离公式可得， 解得， 故答案为：. 15. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程以及的长，圆心到直线的距离为，再求出点到直线的距离最小值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为两点，， 所以直线的方程为：，即，， 圆，其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离最小值为， 所以面积的最小值； 故答案为：. 三、解答题（每题15分，共75分） 16. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【小问1详解】 因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； 【小问2详解】 因为 所以与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为与互相垂直， 所以 或. 17. 已知，，．求（均写成一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程及点C关于对称点D； （3）过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出的中点坐标，再利用点斜式求解直线方程即可. （2）首先求出的中点坐标，再利用点斜式求解直线方程即可.根据点关于直线对称的性质得到，再解方程组即可. （3）首先根据正切二倍角公式得到所求直线的斜率，再利用点斜式求解直线方程即可. 【小问1详解】 设的中点为，则， ，则，即. 【小问2详解】 设的中点为，则， ，则， 则，即. 设，由题知：，即 【小问3详解】 设直线的倾斜角为，则， 所以. 所以过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程为：， 即. 18. 已知圆C过点A(8，-1)，且与直线 相切于点B(3， 4). （1）求圆C的方程; （2）过点P(-3，0)的直线与圆C交于M，N两点， 若为直角三角形，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意中设圆心，分别求出过圆心与切点的直线斜率，且圆过点，利用，从而求解. (2)根据题意设出过点的直线，然后利用圆心到直线的距离建立等式，从而求解. 【小问1详解】 设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以：， 设分别代表直线，的斜率，所以有：， 由题意得：，所以有：， 结合，并联立得：， 解之得：， 所以：圆的半径， 所以：圆的方程为：. 小问2详解】 因为为直角三角形且，所以， 圆心到直线的距离：， 易知直线的斜率存在，记为，又直线过点， 设直线方程的方程为：， 即：， 因为圆心到直线的距离为：， 整理得：，解之得：或， 所以直线方程的方程为：或. 19. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直，进而证明平面； （2）分别求出与平面的法向量，再应用直线与平面所成角的正弦公式求值即可； （3）求出，结合平面的法向量，应用点到平面的距离公式求值即可. 【小问1详解】 证明：因为底面，平面，所以. 同理可证，又因为， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）. 依题意可得，，，,,,,, 则，是面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 解：,,, 设平面的法向量，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 解：因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为, 20. 圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N. （1）若，求切线方程； （2）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （3）若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】（1）和； （2）直线过定点，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）设过点且与圆相切的直线方程，由直线与圆相切的相关知识求解即可； （2）由题意可知四点共圆，其直径为，求出此圆的方程，与圆联立，消去二次项，可得直线的方程，即可得解； （3）设直线，的方程分别为：，从而可得是方程的两根，结合韦达定理可得的最小值，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以， 设过点且与圆相切的直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 解得或， 所以切线方程为：和； 【小问2详解】 解：直线过定点，理由如下： 由题意可知四点共圆，其直径为， 所以圆心为，半径为， 所以此圆的方程为: , 即， 由，可得， 即直线的方程为， 所以直线过定点； 【小问3详解】 解：设直线，的方程分别为：， 又因为与分别与圆相切， 所以， 即， 所以是方程的两根， 所以， 又因为， 所以， 当时，取等号， 所以. 【点睛】方法点睛：求过动点与圆相切的直线方程时，为避免讨论直线的斜率是否存在，常将直线方程设为的形式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静海六中2024～2025学年度第一学期第二次质量监测 高二年级数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共45分） 一、选择题（每题5分，共45分） 1. 直线倾斜角为（ ） A 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 已知向量：，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量， 则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 4. 已知直线方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 A. B. C. D. 8. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） A. 36 B. 18 C. D. 9. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 过点且在两坐标轴上截距相等直线方程是_______________ 11. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 12. 设两直线与.若,则_____,若,则_____． 13. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 14. 已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是__________ 15. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为______. 三、解答题（每题15分，共75分） 16. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 17. 已知，，．求（均写成一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程及点C关于对称点D； （3）过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程． 18. 已知圆C过点A(8，-1)，且与直线 相切于点B(3， 4). （1）求圆C的方程; （2）过点P(-3，0)的直线与圆C交于M，N两点， 若为直角三角形，求的方程. 19. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 20. 圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N. （1）若，求切线方程； （2）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （3）若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$