精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学模拟试卷

连云港市新海初级中学八年级（上）期中数学模拟卷 一、选择题（本大题共8题，每小题3分，共计24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，但不是正整数，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选：B． 2. 实数，，0，，1.010010001…中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 根据无理数的定义，判断所给实数中哪些是无理数，统计个数后选择答案． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．是开方开不尽的数，是无理数；中是无限不循环小数，所以是无理数；是无限不循环小数，是无理数；是整数，是有理数；是分数，是有理数． 所以无理数有，，，共个． 故选：C． 3. 如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确理解全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】解： ， ， A、添加条件，根据“边角边”即可判断，不符合题意； B、添加条件 ，无法判断，符合题意； C、添加条件，根据“角边角”即可判断，不符合题意； D、添加条件 ，根据“角角边”即可判断，不符合题意． 故选：B． 4. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出 ，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴ ，即 ，该选项正确． 故选：A． 5. 如图，已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等边对等角、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质． 先根据等边对等角得出，再结合三角形外角的性质即可得出、 、 的大小关系． 【详解】解：以点为圆心，为半径画圆，交于点 ， ， ， ， ， 是的外角，是 的外角， ，， ，，即， 、、选项说法错误，不符合题意；选项说法正确，符合题意． 故选：． 6. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理，根据这种方法一一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴设，，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故该项符合题意． B．∵，，，， ∴， 满足勾股定理的逆定理， 故是直角三角形，故该项不符合题意． C．∵， ∴设， ，， ∴， ∴， ∴满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故该项不符合题意． D．∵，，，， ∴， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故该项不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 8. 如图，中， 、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作 于 ，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作 于 ， ∵平分 ，平分， ，， ， ∴ ，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵ 不一定等于， 故②错误； ③∵平分 ，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 用四舍五入法取近似值，将130541精确到千位的结果是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，求近似数，先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：130541精确到千位是． 故答案为：． 11. 若 都是实数，且，的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得：， ， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形两边长分别为 和，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分是腰长和底边长两种情况讨论，再利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形周长的定义列式计算即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当是腰长时，三边分别为、、 ， 此时该三角形的周长为：， ②是底边长时，三边分别为 、 、， ∵， 此时不能构成三角形； 综上所述，这个等腰三角形的周长为． 故答案为：． 13. 如图，是的中线， ，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，根据题意，延长到 ，使得 ，作，可证，设 ，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点 ，使得 ，过点作于点， ∵是的中线， ∴ ，且 ， ∴， ∴，， 设 ，则，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，圆柱形容器中，高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开−−−最短路径问题．如图，将容器侧面展开，建立A关于 的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于 的对称点，过作 交的延长线于D，则四边形为矩形，连接 交 于F，则 即为最短距离． ∵高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴，， ∴在直角中，． 故答案为： ． 15. 如图，线段、在的同侧，点M为线段中点，，，，若，则线段的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于 的对称点，点B关于 的对称点，证明为直角三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵点M为线段中点， ， ∴， 如图，作点A关于 的对称点，点B关于 的对称点， 则，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 16. 在长方形中，，， 是边上一点，连接，把 沿翻折，点 恰好落在边上的处，延长，与 的平分线交于点，交于点，则 的长度为____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质、角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 过点作于点，由翻折可得 ，根据勾股定理可得．由角平分线的性质可得 ．设，则．由，可得，求出 的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由翻折可得 ， 四边形为长方形， ， 为 的平分线，， ． 在 中，， ， 由勾股定理得，． 设，则． ， 即， ． 的长度为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共计102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1） ； （2）； （3） ，； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、用直接开方法解方程． 根据算术平方根的定义、立方根的定义把和化简，根据指数幂的意义可得：，从而可得：原式，再根据有理数的加法法则计算； 把算式的各部分分别化简，可得：原式，再根据运算法则计算； 把未知项的系数化为，可得：，再把方程两边直接开平方，即可求出方程的解； 把常数项移到等号的右边，可得：，再把方程两边直接开立方，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 系数化为得：， 两边直接开平方得：， 解得： ，； 【小问4详解】 解：， 移项得：， 两边直接开立方得：， 解得：． 18. 在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足． （1） 　　， 　　； （2）x表示 的整数部分，y表示 的小数部分，则　　，　　； （3）实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查非负数、二次根式、绝对值和无理数的估算等知识，掌握非负数的性质、二次根式的意义以及无理数的估算是解决问题的关键． （1）利用非负性的性质，即可求出答案； （2）估算 的整数部分和小数部分即可； （3）根据数轴判断出，，再根据二次根式性质化简，最后根据绝对值性质化简即可． 【小问1详解】 解：根据题意，∵， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ， 即， ∴ 的整数部分为11，即 ， 的小数部分为，即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据数轴可得， ∴， ∴ ． 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P． 【详解】如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求． 20. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证： ； （2）证明：∠1=∠3． 【答案】 （1）证明： ， ，即 ， 在和中，， ； （2）证明：由（1）已证： ， ， 由对顶角相等得： ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得 ，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据对顶角相等可得 ，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 21. 如图， ， 是的垂直平分线上两点，延长，交于点 ， 交于点． 求证： （1）是 的角平分线； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由 ，推出 ，由 交于点，推出，可得 ． （2）由，，，可得． 【小问1详解】 证明：点 是的垂直平分线上的点， ， ， 交于点， ， ． 即是 的角平分线． 【小问2详解】 解：点 是的垂直平分线上的点， ， ， ，，， ． 22. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若 ，，连接 、，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接 、，根据直角三角形斜边中线的性质得到，，则，然后根据等腰三角形的性质得出结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，结合平角的定义求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接 、， ∵、分别是、边上的高，M是的中点， ∴，， ∴， 又∵N为中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 如图，在中，，， ，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒 ，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒 ，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）　　　　　（用t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． （3）当点Q在边上运动时，出发几秒后， 是以或为底的等腰三角形？ 【答案】（1） （2）秒 （3）11秒或12秒 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到 ，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分 和 两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 由题意可知 ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当点在边上运动，为等腰三角形时，则有 ， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； 【小问3详解】 ①当 是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当 是以为底边的等腰三角形时： ，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11或12时， 是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 24. 如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 【答案】20千米处，等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形． 【详解】解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得：， 即； ∴市场E应建在距A的20千米处； ∵，， 在 和 中， ， 可得， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ 又∵ ， ∴是等腰直角三角形． 25. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） （1）若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若 是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； （3）如图， 中， ， ，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 【答案】（1）是 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】本题主要考查新定义下的三角形知识，涉及勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程等知识．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程是解题的关键． （1）按照定义求解作答即可； （2）设三角形的三边长从小到大为 ，由勾股定理得，由 是“悦动三角形”，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意得，，设，则，由是“悦动三角形”，可知分，，三种情况列方程，求出满足要求的解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵，和， ∴， 则是“悦动三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：设三角形的三边长从小到大为 ， ∴， ∵ 是“悦动三角形”， ∴分，两种情况求解； 则，解得 ， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵ 中， ，点D为的中点， ∴， 设，则， ∵是“悦动三角形”， ∴分，，三种情况求解； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 同理； 综上所述，的长为或． 26. 【阅读教材】 苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》，折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点 落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． 【类比探究】如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点落在点 上，折痕分别交 点 （如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明． 【方法运用】在中，，点 是上一点，连接． （1）如图3（1），若平分，则之间的数量关系是________； （2）如图3（2），若，写出之间的数量关系并说明理由． 【拓展提升】在 中， ，， ，点 是边上一点，连接，将沿所在的直线翻折，点的对应点是点． （1）如图4（1），若 ，则 __________________； （2）如图4（2），若点 是的中点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】类比探究：见解析；方法运用：（1），（2），理由见解析；拓展提升：（1）（2） 【解析】 【分析】类比探究：由翻折的性质可知，，由，可得； 方法运用：（1）如图（1），将 沿翻折，则在上， ，，，由，可得 ，则，进而可得； （2）如图（2），在上取 ，使，连接，证明，同理（1）可得，则； 拓展提升：（1）如图（3），由翻折的性质可知， ，由勾股定理得， ，由，可求，由勾股定理求，进而可求； （2）解：如图（4），延长交于F，则，，由勾股定理得，，然后根据勾股定理求出，然后根据代数求解即可． 【详解】类比探究：证明：由翻折的性质可知，， ∵， ∴，即； [方法运用]：（1）解：如图，将 沿翻折， ∵平分， ∴在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，在上取 ，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 拓展提升：（1）解：如图，     将沿所在的直线翻折， ， ， ， ， 点，点 ，点三点共线， ，， ， ， ， ， ， ； （2）如图，延长交于，连接 ， 平分， ， 将沿所在的直线翻折， ，， 垂直平分， ，， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，构成三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握折叠的性质，构成三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连云港市新海初级中学八年级（上）期中数学模拟卷 一、选择题（本大题共8题，每小题3分，共计24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 2. 实数，，0，，1.010010001…中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ，， 7. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 如图，中， 、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的算术平方根是______． 10. 用四舍五入法取近似值，将130541精确到千位的结果是 ______． 11. 若 都是实数，且，的值为______． 12. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______． 13. 如图，是的中线， ，，，则的长度为______． 14. 如图，圆柱形容器中，高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 15. 如图，线段、在的同侧，点M为线段中点，，，，若，则线段的最大值为___． 16. 在长方形中，，，是边上一点，连接，把 沿翻折，点恰好落在 边上的处，延长，与 的平分线交于点，交 于点，则 的长度为____ 三、解答题（本大题共11小题，共计102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹） 17. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 18. 在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足． （1） 　　， 　　； （2）x表示 的整数部分，y表示 的小数部分，则　　，　　； （3）实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简． 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 20. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求证： ； （2）证明：∠1=∠3． 21. 如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点， 交于点． 求证： （1）是 的角平分线； （2）． 22. 如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若 ，，连接、，求的度数． 23. 如图，在中，，， ，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒 ，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒 ，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）　　　　　（用t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． （3）当点Q在边上运动时，出发几秒后， 是以或为底的等腰三角形？ 24. 如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 25. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） （1）若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； （3）如图，中，， ，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 26. 【阅读教材】 苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》，折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． 【类比探究】如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点落在点上，折痕分别交 点 （如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明． 【方法运用】在中，，点是上一点，连接 ． （1）如图3（1），若 平分，则之间的数量关系是________； （2）如图3（2），若，写出之间的数量关系并说明理由． 【拓展提升】在中，，， ，点是边上一点，连接，将沿所在的直线翻折，点的对应点是点． （1）如图4（1），若 ，则 __________________； （2）如图4（2），若点是的中点，连接、，则四边形的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $