精品解析：重庆杨家坪中学2025-2026学年八年级上学期数学半期试卷

重庆市杨家坪中学“教共体”半期学情监测 八年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不能找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组线段中，能组成三角形的是(　　) A. 4，6，10 B. 3，6，7 C. 5，6，12 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可得. 【详解】A、4+6=10，不能组成三角形； B、3+6>7，能组成三角形； C、5+6<12，不能组成三角形； D、2+3<6，不能组成三角形， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形三边关系，对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 下列说法中，正确的是（） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B. 顶角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D. 等边三角形不是轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念，熟知相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，不符合题意； B、顶角为的等腰三角形是等边三角形，符合题意； C、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 5. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，正确的估算出的大小是解题的关键．估算出的大小，继而得出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 已知点和点，若直线轴，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质．理解①平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；②一条直线上到一个定点为定长的点有2个是解决此题的关键．由轴可得点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，根据的距离可得点B的横坐标可能的情况． 【详解】解：∵，，轴， ∴点B的纵坐标为， ∵， ∴点B的横坐标为或， ∴B点的坐标为或． 故选：C． 7. 下列图案是用长度相同的小棒按一定规律拼搭而成，图案①需15根小棒，图案②需23根小棒，图案③需31根小棒，按此规律图案⑥需要的小棒根数为（ ） A. 55 B. 58 C. 63 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小棒的根数依次增加8是解题的关键．根据所给图形，依次求出所需小棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图案①需要的小棒根数为：； 图案②需要的小棒根数为：； 图案③需要的小棒根数为：； ， 所以图案需要的小棒根数为根， 当时， （根， 即图案⑥需要的小棒根数为55根． 故选：A． 8. 如图，，的延长线交于点F，交于点G．若，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 先根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形外角性质计算出，则根据对顶角相等得到，然后根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，，点是线段的中点，，且交外角的平分线于点F，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明． 取的中点，连接，过点作，．先证明得，得．，得，得，求出，从而求出． 【详解】解：取的中点，连接． 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∵， ∴，． ∴ ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中 ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选． 10. 对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是： ①取特殊值判断即可； ②把代入，得出，然后按照“换系数操作”列出所有的结果判断即可； ③当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：①当时，a与化为相反数，此时“换系数操作”后的结果与原多项式相同，故①正确； ②若，则原多项式为，“换系数操作”后的多项式有，，，共三个，故②正确； ③当时，，则展开得到多项式的各项系数和为，常数项为， ∴， 选择第一项与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，1，，即9个1和， 选择第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，，即8个1和， …… 选择倒数第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为， 故③正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确计算是解题的关键． 根据点关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 要想了解七年级2000名学生的心理健康评估报告，从中抽取了250名学生的心理健康评估评估报告进行统计分析，则其样本容量是___________ 【答案】250 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：从中抽取了250名学生的心理健康评估评估报告进行统计分析，则其样本容量是250． 故答案为：250． 13. 若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是__________ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查多边形内外角关系，根据正多边形每个内角、外角都相等，结合多边形相邻内外角互补求解即可得到答案； 【详解】解：设正多边形的内角度数为， ∵一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了与三角形的中线有关的三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ，， ， 即， 是边上靠近的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 【答案】 ①. ②. 8165 【解析】 【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 是递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 三、解答题：（本大题2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程组 （2）解不等式组，并在数轴上表示解集． 【答案】（1）； （2）； 解集在数轴表示为： 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，不等式组的解集，掌握加减消元法，不等式的性质是关键． （1）运用加减消元法计算即可； （2）运用不等式的性质解不等式组，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：（1） ， 由①+②得， 解得，， 将代入②，得， 解得， 方程组的解为； （2）， 解不等式①得，， 由不等式②得，， 原不等式组的解集为． 18. （1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点（要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论）： （2）已知：如图，于G，，求的长． 证明： ①_________， 而， ， 在与中 ， ， ②_________， 又， ， ， ， ③_________， ④_________． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2），，，． 【解析】 【分析】该题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作图即可． （2）证明，得出，根据，求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 随着AI技术的发展，其数据收集和数据的智能分析能力已经广泛应用．为了了解学校“国庆黄金周”学生的出游情况，学校将出游情况分为“省外游玩”、“省内游玩”、“不外出游玩”三种类型，借助技术分析汇总出学校八（1）班，八（2）班全体学生的出游情况，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）此次调查的学生总人数为_____人； （2）请补全条形统计图，并算出扇形统计图中代表“不外出游玩”类型的扇形圆心角的度数． （3）若该校八年级学生共有1200人，根据此次调查结果估计该校八年级中“省外游玩”类型的学生约有多少人？ 【答案】（1） （2）；补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图、条形统计图的综合运用，样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用“省内游玩”的人数和除以其对应百分比可得； （2）由各类型人数之和等于总人数求解，补全图形可得；再用360度乘以“不外出游玩”人数占总人数的比例可得其圆心角度数； （3）总人数乘以样本中“省外游玩”类型的家长人数占总人数的比例可得． 【小问1详解】 解：此次调查的学生总人数为(人)， 故答案为：； 【小问2详解】 解：八（2）班“不外出游玩”的人数为：， 扇形统计图中代表“不外出游玩”类型的扇形圆心角的度数是， 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校八年级中“省外游玩”类型的学生约有168人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的加减运算法则对式子进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝． 当时， 原式＝ ＝ ＝． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 21. 某商店购进一批体育用品，购买4个篮球和2个足球需要花费380元；购买2个篮球和4个足球需要花费340元． （1）求一个篮球和一个足球的单价分别为多少元？ （2）如果学校准备购买篮球和足球共100个，且总费用不超过5800元，那么至少可以购买多少个足球？ 【答案】（1）每个篮球和的售价为元，每个足球的售价为元 （2）至少可以购买个足球 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系是解题的关键； （1）设每个篮球和每个足球的售价分别为元，元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可； （2）设篮球购买个，则足球购买个，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出最多购买的足球． 【小问1详解】 解：设每个篮球和每个足球的售价分别为元，元，根据题意得： ， 解得：， 答：每个篮球和的售价为元，每个足球的售价为元； 【小问2详解】 设足球购买a个，则篮球购买个，根据题意得： ， 解得：． 答：至少可以购买个足球 22. 如图，小亮和小强住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小亮家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小强在自己家阳台C处观察E处得到的角度为，小亮站在F处观察楼顶端A的角度为，两人发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼的高度． 【答案】单元楼的高度为39.6米 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，过点F作于点G，先证明四边形是长方形，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∴， ∴四边形是长方形，（米），（米）， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：单元楼的高度为39.6米． 23. 如图，为的角平分线，交的延长线于点，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ​​​​​​​∴为等腰三角形； （2） 证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 图（1），在平面直角坐标系中，点，，且满足，连接，，，且，于点E，交直线于点P． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）求证：； （3）如图（2），点M在上，连接，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 证明：由题意可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3） 解：，理由如下： 如图，过N作轴，交的延长线于点K，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平方式和绝对值的非负性求得m、n，即可求解； （2）由题意可得：，，利用同角的余角相等即可求证； （3）过N作轴，交的延长线于点K，先证明得到，，再证明得到，进而等量代换可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 即， 则，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. （1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学“教共体”半期学情监测 八年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能组成三角形的是(　　) A. 4，6，10 B. 3，6，7 C. 5，6，12 D. 2，3，6 3. 下列说法中，正确的是（） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B. 顶角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D. 等边三角形不是轴对称图形 4. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 5. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 已知点和点，若直线轴，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 下列图案是用长度相同的小棒按一定规律拼搭而成，图案①需15根小棒，图案②需23根小棒，图案③需31根小棒，按此规律图案⑥需要的小棒根数为（ ） A. 55 B. 58 C. 63 D. 66 8. 如图，，的延长线交于点F，交于点G．若，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，，点是线段的中点，，且交外角的平分线于点F，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 12. 要想了解七年级2000名学生的心理健康评估报告，从中抽取了250名学生的心理健康评估评估报告进行统计分析，则其样本容量是___________ 13. 若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是__________ 14. 如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是_____． 15. 如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为_______ 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程组 （2）解不等式组，并在数轴上表示解集． 18. （1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点（要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论）： （2）已知：如图，于G，，求的长． 证明： ①_________， 而， ， 在与中 ， ， ②_________， 又， ， ， ， ③_________， ④_________． 四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 随着AI技术的发展，其数据收集和数据的智能分析能力已经广泛应用．为了了解学校“国庆黄金周”学生的出游情况，学校将出游情况分为“省外游玩”、“省内游玩”、“不外出游玩”三种类型，借助技术分析汇总出学校八（1）班，八（2）班全体学生的出游情况，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）此次调查的学生总人数为_____人； （2）请补全条形统计图，并算出扇形统计图中代表“不外出游玩”类型的扇形圆心角的度数． （3）若该校八年级学生共有1200人，根据此次调查结果估计该校八年级中“省外游玩”类型的学生约有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某商店购进一批体育用品，购买4个篮球和2个足球需要花费380元；购买2个篮球和4个足球需要花费340元． （1）求一个篮球和一个足球的单价分别为多少元？ （2）如果学校准备购买篮球和足球共100个，且总费用不超过5800元，那么至少可以购买多少个足球？ 22. 如图，小亮和小强住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小亮家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小强在自己家阳台C处观察E处得到的角度为，小亮站在F处观察楼顶端A的角度为，两人发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼的高度． 23. 如图，为的角平分线，交的延长线于点，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 24. 图（1），在平面直角坐标系中，点，，且满足，连接，，，且，于点E，交直线于点P． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）求证：； （3）如图（2），点M在上，连接，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 25. （1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $