精品解析：四川省成都市2025-2026学年高二上学期普职班期中考试数学试题

成都市2025—2026学年度上期 2024级普职班《数学》学科期中考试试题 班级： 姓名： 学号： 成绩： 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一 、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式求解. 【详解】复数，则. 故选：A 2. 集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集运算求解即可. 【详解】，，则. 故选：D 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 4. 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化曲线是一个三角函数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的部分图像得到或，并分别讨论或时的解析式 【详解】解：设该曲线对应的函数解析式为， 由图可知，或，，则， 当时，， 由，解得， 因为，所以，所以； 当时，， 由，解得， 因为，所以，所以； 故选：A 5. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，，，则或m，l异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误． 故选：C． 6. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对的情况下利用独立事件的乘法公式可得. 【详解】由题意可得在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对， 所以其概率为. 故选：A. 7. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. A，B为互斥事件 B. B，C为对立事件 C. C，D为互斥事件 D. D，E为对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 8. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过公式可得投影向量. 【详解】因为，，所以. 又， 所以，故在上的投影向量为 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的部分图象求出、、和的值，写出的解析式可判断A,B,C；再求出的解析式，由奇偶函数的定义可判断D． 【详解】由函数的部分图象知， ，，所以，所以，所以， 又，，， 所以，所以， 所以，因为， 所以，故A，B正确，C错误；所以 对于D，令， 所以，所以为奇函数，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，B选项，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解； C选项，利用线面角的向量求解公式进行求解； D选项，利用点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，平面，直线与平面所成角, ， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则，设直线与所成的角大小为，则， 故，A正确； B选项，设直线与所成的角大小为，则， 故，B正确； C选项， 可取为平面的法向量， 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角为，C正确；    因为四边形为正方形，所以⊥， 又平面，平面，故， 因为，平面， 所以⊥平面，故可取为平面的法向量， 故点到面的距离，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 高一（1）班李明在学习立体几何时，用铁皮制作了一个高为，体积为的圆锥模型（厚度忽略不计），则该圆锥模型的底面半径为_______，该圆锥模型的侧面积为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设该圆锥模型的底面半径为，由圆锥的体积求出，再求出其母线，最后根据侧面积公式计算可得. 【详解】设该圆锥模型的底面半径为，所以其体积为，解得（负值舍去）， 所以其母线长为， 所以该圆锥模型的侧面积. 故答案为：； 13. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设第五个值为，由该样本的平均数为2，根据平均数的计算公式求出，再根据方差的公式计算即可. 【详解】设第五个值为， 则由该样本的平均数为2，可知，解得. 则样本方差. 故答案为：4 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 考试是一种严格的知识水平的鉴定方法，通过考试可以检查学生的学习能力和其知识储备.为了检测学生对立体几何知识的掌握情况，某校高二年级组织一次立体几何单元测试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）根据样本数据，描述该校高二学生立体几何知识的掌握情况. 参考数据 分 分 分 分 未完全掌握 基本掌握 较好掌握 掌握 【答案】（1）； （2）84； （3） 由频率分布直方图得样本成绩的平均分为 ， 从平均成绩看，该校高二学生立体几何知识属基本掌握， 样本成绩的众数为75，从众数看，该校高二学生立体几何知识属基本掌握， 显然成绩在的频率为0.35，成绩在的频率为0.65，因此成绩的中位数在内， 从中位数看，该校高二学生立体几何知识属基本掌握， 有的学生掌握了立体几何知识，有的学生较好掌握立体几何知识，未完全掌握立体几何知识有， 显然有的学生都能基本掌握立体几何知识，所以绝大多数高二学生都能基本掌握、较好掌握及掌握立体几何知识. 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解. （2）由频率分布直方图求第p百分位数的计算公式即可求解. （3）利用频率分布直方图，求出各分数段的频率，平均成绩、众数、中位数即可分析说明. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 于是， 所以. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m，由，得， 所以样本成绩的第75百分位数为84. 【小问3详解】 略 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，有，，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， ，即． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法证明异面直线垂直即可； （2）由（1）求出平面与平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ，，， 设平面的法向量为， 则即令，即， 设平面的法向量为， 则即令，即， ． 平面与平面夹角的余弦值为． 17. 在中，角的对边分别为，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 【答案】（1）. (2) . 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由同角三角函数关系式由可得．由诱导公式和两角和差公式可得．（Ⅱ）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积． 试题解析：解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且， ∴， ∴ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴． ∴△ABC的面积 12分 考点：1诱导公式,两角和差公式;2正弦定理． 18. 已知向量，，，，. （1）求x，y，z的值； （2）求向量与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的平行以及垂直关系列出方程，求解方程组即可. （2）根据两个向量所成角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，，， ， 因为，设存在实数，使得， 所以，则. 因为，，则. ∴所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， ∴，， ∴， ，， ∴. ∴向量与所成角的余弦值为. 19. 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． （1）求证：； （2）为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 【答案】（1） 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，， ，，即. （2）存在，，理由如下： 设，其中，，则，，， 若面，则，解得，， 故存在点，当时，面. （3）定值为，理由如下： 因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以, 又因为，且、、不共面， 由空间向量的基本定理可得， 因此，为定值. 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示可证得结论成立； （2）设，其中，求出点的坐标，根据面得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值，即可得出结论； （3）由为的重心结合已知条件得出，再利用空间向量共面的基本定理得出，结合空间向量的基本定理可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市2025—2026学年度上期 2024级普职班《数学》学科期中考试试题 班级： 姓名： 学号： 成绩： 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一 、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. C. D. 2 2. 集合，，则（     ） A. B. C. D. 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 4. 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化曲线是一个三角函数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（   ） A. B. C. D. 7. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. A，B为互斥事件 B. B，C为对立事件 C. C，D为互斥事件 D. D，E为对立事件 8. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 为奇函数 10. 如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 11. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 高一（1）班李明在学习立体几何时，用铁皮制作了一个高为，体积为的圆锥模型（厚度忽略不计），则该圆锥模型的底面半径为_______，该圆锥模型的侧面积为___________． 13. 计算：__________. 14. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 考试是一种严格的知识水平的鉴定方法，通过考试可以检查学生的学习能力和其知识储备.为了检测学生对立体几何知识的掌握情况，某校高二年级组织一次立体几何单元测试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）根据样本数据，描述该校高二学生立体几何知识的掌握情况. 参考数据 分 分 分 分 未完全掌握 基本掌握 较好掌握 掌握 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在中，角的对边分别为，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 18. 已知向量，，，，. （1）求x，y，z的值； （2）求向量与所成角的余弦值． 19. 如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． （1）求证：； （2）为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $