专题06 函数的应用（期末真题汇编，江西专用）高一数学上学期

专题06 函数的应用 4大高频考点概览 考点01 函数的零点 考点02 函数零点存在性定理 考点03 函数零点的分布 考点04 函数模型的应用 地 城 考点01 函数的零点 1．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【详解】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 2．(21-22高一上·江西景德镇第一中学·期末)已知函数为奇函数，则下列叙述错误的是（ ） A． B．函数在定义域上是单调增函数 C． D．函数所有零点之和大于零 【答案】D 【分析】根据是奇函数，求得参数的值，再求该函数的单调性、值域、以及零点，即可求得判断和选择. 【详解】因为为奇函数，且其定义域为，故， 即，解得，又当时，， 因为， 又定义域为，故为上的奇函数，故正确； 因为是单调增函数，为单调减函数，故为单调增函数，故正确； 又，，则，故正确； 又的定义域为，且为奇函数，也为奇函数，故的零点之和为零，故错误； 综上所述，正确的是. 故选：. 3．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)（多选）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ） A．是以4为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有3个零点 【答案】ABD 【分析】首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，再结合图像逐个判断即可； 【详解】依题意，为偶函数， 且，有，即关于对称， 则 ， 所以是周期为4的周期函数，故A正确； 因为的周期为4，关于对称， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 因为的周期为4，则，， 所以，故C错误； 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点， 所以函数有3个零点，故D正确. 故选：ABD. 4．(24-25高一上·江西宜春中学·期末) （多选）若（其中、为非零常数），则对于函数，以下结论正确的是（ ） A．若，则为偶函数 B．若，则函数的最小值为 C．若，，则函数的零点为和 D．若为奇函数，且使成立，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接由偶函数定义判断即可；对于B，令即可判断；对于C，令结合指数对数互换即可判断；对于D，将不等式等价转换为在时有解，结合基本不等式即可得解. 【详解】对于A，若，定义域为，关于原点对称， 且此时，即为偶函数，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，，则， 令，解得或，即或， 所以函数的零点为和，故C正确； 对于D，若为奇函数，则，即，经检验符合题意， 由题意不等式在上有解， 而当时，有，所以在上有解， 不妨设，则， 所以在上有解， 由基本不等式得， 等号成立当且仅当时，即当时，即时等号成立， 则，则，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：D选项的关键是首先将不等式转换为在时有解，由此即可顺利得解. 5．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期末) （多选）已知是定义在上的奇函数，当时，，则有（    ） A．当时， B．有个解，且 C．是奇函数 D．的解集是 【答案】BD 【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解解析式，可判断A选项；数形结合以及奇函数的性质可判断B选项；利用函数奇偶性的定义可判断C选项；利用函数的单调性以及图象解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则，A错； 对于B选项，因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象有五个交点，不妨设， 因为函数与都为奇函数，则， 点、关于原点对称，点、关于原点对称， 所以，，，故，B对； 对于C选项，令，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，C错； 对于D选项，令，则，且，则， 由图可知，函数在上为增函数，由，可得，即， 结合图象可知，不等式的解集为，D对. 故选：BD. 6．(24-25高一上·江西九江·期末)已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【详解】（1）依题意，得，即 即恒成立，得. （2）令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 地 城 考点02 函数零点存在性定理 1．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知函数的零点为，函数的零点为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，根据零点的存在性定理即可判断；对于C，令，从而可得，再结合单调性即可判断；对于D，根据的单调性可得，从而可判断. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又， 且在上是连续函数， 又当时，， 所以在上存在唯一零点，即，A正确； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又， 且在上是连续函数， 又当时，， 所以在上存在唯一零点，即，B正确； 对于C，，令， 则，， 又，所以，即， 又在上单调递增，所以，C错误； 对于D，因为在上单调递增，且， 所以，D正确. 故选：C. 2．(24-25高一上·江西九江·期末)函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质及零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】当时，，此时无零点； 当时，在上单调递增，且，， 所以上存在一个零点； 综上，零点所在区间为. 故选：D 3．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·调研) （多选）已知函数，函数的一个零点为a，的一个零点为b，则以下说法正确的是（    ） A．与的图象关于直线对称 B．的图象通过平移变换可以得到一个奇函数的图象 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，说明与是否互为反函数即可；对于B，通过分离常数即可判断；对于CD，由函数单调性以及零点的定义即可判断求解. 【详解】对于A，由，得，即是函数的反函数， 所以与的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，，若将函数的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位即可得反比例函数的图象， 而函数是奇函数，满足题意，故B正确； 对于C，，由复合函数单调性可知单调递增， 又指数函数也单调递增，所以在定义域内单调递增， 但时，，且，故的零点不在区间内，故C错误； 对于D，，由复合函数单调性可知单调递增， 又指数函数也单调递增，所以在定义域内单调递增， 因为，所以，，所以， 由C选项分析可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是结合函数单调性以及零点的定义，由此即可顺利得解. 4．(23-24高一上·江西上饶·期末)定义：如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知在上存在均值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得，由此列方程，再利用换元法以及零点存在性定理求得的取值范围. 【详解】根据题意，函数，则， 函数在上存在均值点， 则在区间上有解，设，则， 则有在区间上有解，而二次函数的对称轴为， 故有，即，解得，则m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 5．(24-25高一上·江西九江·期末)已知正实数满足，则 . 【答案】 【分析】根据题设均为方程的根，由解析式判断的单调性，利用零点存在性定理确定零点唯一性，结合对数运算性质求参数值. 【详解】， 均为方程的根， 在上单调递增，且， 有唯一零点，即， . 故答案为： 6．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)已知函数，且时，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解. 【详解】    ， 结合图形可得，，， ∵，∴，∴， ∴，∴. 故答案为：. 7．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)已知函数，. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若， ①求证： ②求的值； (3)令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②； (3). 【分析】（1）由，利用二次函数即可求解； （2）①，代入即可得证； ②设，则，两式相加由即可求解； （3）设，函数等价于，若函数在区间上有零点，即在区间上有解，即，设，则，则，令，最后利用双勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1） ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为； （2）若，则， ， 设+ ， 则， 两式相加得，由即得， 故. + ； （3）， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点， 则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则，令， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 地 城 考点03 函数零点的分布 1．(23-24高一上·江西上饶·期末)若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，首先结合图象分析，结合图象判断整数解为、、，联立，求出，从而得到，解得即可. 【详解】令，， 当时，画出与的图象如下所示： 则不等式的整数解有无数多个，不符合题意； 当或时，画出与的图象如下所示： 则不等式无解，不符合题意； 当时，画出与的图象如下所示： 则不等式的整数解有无数多个，不符合题意； 所以； 当时，，， 画出与的图象如下所示： 要使关于的不等式恰好有个整数解，则整数解为、、， 联立，解得， 则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B 2．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知，若有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，把问题转化为方程在上有两个不等根求解. 【详解】当时，由，得，而函数在上单调递增， 又有三个零点，因此方程在上有两个不等根， 于是，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 3．(24-25高一上·江西赣州·期末)给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点;若实数使得，则称为函数的次不动点.若函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中定义，结合对数与指数互化公式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】解：由于函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点， 所以以及，都有且仅有1个零点， （1）由，即，即在有且仅有1个零点， 函数是上的增函数， 所以有，即， （2）由，即， 即在有且仅有1个零点， 函数在上单调递增， 则，即， 综合（1）、（2）可知，， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义，利用指数函数的单调性进行解题. 4．(23-24高一上·江西抚州·期末) （多选）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】转化为在上有解，利用配方法求出的值域可得答案. 【详解】由题意在上有解， . 故选：BCD． 5．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题设得到的大致图象，再由零点的个数且，数形结合有在上有两个解，根据对勾函数的性质求参数范围. 【详解】令，可得，则或， 结合一次函数、二次函数性质，易知，大致图象如下，    令，则，要使原函数有六个不同的零点， 结合图象知在区间上有两个解，所以在上有两个解， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，且时趋向正无穷， 所以. 故答案为： 6．(23-24高一上·江西抚州·期末)已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，令，等价于，分别求出或，要使有5个零点，即方程有四个不同的实数根，结合图形从而可求解. 【详解】当时，， 当单调递增，当单调递减，． 当时，， 当单调递减，当单调递增，． 令，即， 或，如图可知，要使有个零点，则方程有四个不同的实数根， 结合函数的图象可得. 故答案为：. 7．(24-25高一上·江西抚州·期末)设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出图象，利用换元法，结合韦达定理，分类讨论得到方程在和内各有一个实数根，，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程化为， 由韦达定理可知该方程的两根之积为3， 要使关于的方程恰好有有5个零点， 则方程有5个不同的实数解， 结合图象可知，，，此时方程有4个不同的实数解，不合题意； ，，此时方程有6个不同的实数解，不合题意； 当，，虽说满足方程有5个不同的实数解，但是无解； 所以，， 此时方程在和内各有一个实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或 令，解得或 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根，，，， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为，，，， 则， 对于，，则， 可得，所以； 对于，，则，，，可得 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 9．(24-25高一上·江西宜春中学·期末)已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】在同一直角坐标系下画出函数与的图象，可知方程有三个实根，故方程有且仅有一个实数根.结合图象即可求解. 【详解】由方程可知或. 在同一直角坐标系下画出函数与的图象如下图： 可知方程有三个实根. ∵关于的方程恰有个不同的实数根， ∴方程有且仅有一个实数根. 所以由函数的图象可知或. 故答案为：或. 10．(24-25高一上·江西南昌·调研)已知. (1)当时，求证：在上为减函数； (2)若方程有且仅有一个实数根，求的最小值； (3)若存在使得在上恒成立，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3)证明见解析 【分析】（1）根据单调性的定义，按照步骤证明即可； （2）先利用定义法判函数的单调性，然后利用基本不等式求出的最小值，由题意，将化为，利用基本不等式求最小值即可； （3）结合（2）利用基本不等式得求出的最小值，，根据消去a即可证明. 【详解】（1）当时，， 设，且. 则， 因为，所以，所以. 所以， 所以在为减函数； （2）因为，所以， 任取，，且， 则， 因为，，且，所以，， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为，当且仅当时等号成立， 因为方程有且仅有一个实数根， 所以，即， 则，当且仅当即时取等， 所以的最小值为4； （3）因为当时，，当且仅当时等号成立， 由题意知，， 所以，即. 地 城 考点04 函数模型应用 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 【答案】D 【分析】利用速度差为结合对数的运算性质可得结果. 【详解】设鲑鱼的游速为 时的耗氧量的单位数为，游速为 时的耗氧量的单位数为. 由，得，整理得. 故选：D. 2．(24-25高一上·江西南昌·调研)电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则 .（结果保留两位有效数字） 参考数据：. 【答案】1.7 【分析】根据题意可得，结合指、对数运算求解即可. 【详解】由题意可得：，整理可得， 两式相比可得. 故答案为：1.7. 3．(24-25高一上·江西吉安·期末)地球表面的水储量大约有140亿亿立方米，但淡水资源只有3.5亿亿立方米，在有限的淡水资源中，仅有0.34%是人类可以利用的，水是人类赖以生存的宝贵资源，节约用水，利在当代，功在千秋.为了提高居民节约用水的意识，某城市对居民采用“阶梯水价”的计费方式，其计价规则如下： 每户每月用水水量 水价 不超过10m3的部分 2.0元/m3 超过10m3但不超过20m3的部分 4.0元/m3 超过20m3的部分 8.0元/m3 (1)写出用户居民每月所需要缴纳的水费y（单位：元）与用水量x（单位：m3）之间的函数关系. (2)某小区的物业公司为提高居民节约用水的积极性，将每月给缴纳水费不超过35元的用户评定为“节水榜样用户”，被评为“节水榜样用户”的居民可参加物业举办的抽奖活动，抽奖规则如下：一个不透明的箱子中装有两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3的小球，这5个小球除编号外其余均相同，用户从箱子中依次取出两个小球，若小球的编号之和为3的倍数，则代表中奖，问： ①“节水榜样用户”的月用水量不能超过多少m3? ②参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率是多少? 【答案】(1) (2)①用水量不超过13.75m3；② 【分析】（1）由题意，可得分段函数的解析式； （2）①由题意可解不等式得解； ②列出基本事件空间，根据古典概型求解即可. 【详解】（1）依题，当时，； 当时，； 当时，. 综上： （2）①由，得， 因此，月用水量不超过13.75m3的用户可被评为“节水榜样用户”. ②记两个编号为1的小球为，，两个编号为2的小球为，， 编号为3的小球为c，则该次抽奖活动的样本空间 ， 共20个样本点. 其中中奖的情况有，，，，，，，共8个， 因此，参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率为. 4．(23-24高一上·江西上饶·期末)某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 5．(24-25高一上·江西抚州·期末)曾经的广告词“喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国．如今再次重新出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州．临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入元．设该公司一年内生产该款高端贡酒万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为万元．且． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式：（利润销售收入成本） (2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元． 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本可得出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式； （2）利用二次函数的基本性质求出在时的最大值，利用基本不等式求出函数在时的最大值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）当时， 当时， 综上，. （2）当时，， 函数的对称轴是直线，则函数在上单调递增， 所以当时，取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为， 因为，所以当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元． 6．(24-25高一上·江西景德镇·期末)现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 【答案】(1)选模型②，且 (2) 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）根据（1）求出的模型进行计算. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，可得， 所以且； （2）令，则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. 7．(24-25高一上·江西上饶·期末)近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【答案】(1)选择模型③，，100千人． (2)4． 【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值. 【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适， 由表格中的数据可得，解得 所以，函数模型的解析式为， 令，预测2024年年末的会员人数为100千人． （2）由题意可得， 令，则， 令，，则函数的定义域上单调递增， 又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，， 即．所以的最小值为4． 8．(24-25高一上·江西赣州·期末)近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮，年中国新能源汽车产销突破万辆.现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示. 为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择，，. (1)当时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由;并求出相应的函数解析式； (2)当时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量（单位：）最小?并计算出该最小值. 【答案】(1)选，理由见解析， (2)当，该电动汽车的电池所需的最小容量为. 【分析】（1）根据题意，得到 ，结合提供的数据，列出方程组，求得、的值 ，即可求解； （2）设车速为 ，得到 ，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）对于 ，当 时，它无意义，所以不符合题意； 对于 ，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选 ． 根据提供的数据，则有 ，解得 ， 当 时， ． （2）设车速为 ，行驶时百公里所用时间为 ， 所耗电量， 要使耗电量达到最小，即 ． 该电动汽车的电池所需的最小容量为. 9．(23-24高一上·江西师范大学附属中学·期末)某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)70台，最大利润是1760万元. 【分析】（1）分、两种情况分别求出函数解析式； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意可得：当时，， 当时，， 所以． （2）当时，， 所以当时（万元）； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时万元. 综上可知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元. 10．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)已知某产品市场供应量P满足关系式（其中t为关税的税率，x为市场价格（单位：千元），k，m为常数）．研究表明，当关税税率时，市场供应量曲线如图所示： (1)求k，m的值； (2)若市场对此产品的需求量Q满足关系式（其中t为关税的税率，x（单位：千元）为市场价格）．规定“供求比”为供给与需求的比例．根据市场调查，当产品的供求比在0.8到1.2之间时（含0.8和1.2），供求关系较为平衡：当供求比小于0.8时，会出现供不应求的现象：当供求比大于1.2，会出现供过于求的现象，则当关税税率为时，市场价格应在什么范围的时候，供求关系较为平衡？（参考数据：） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合图象计算即可得； （2）由题意计算出及时的的范围即可得. 【详解】（1）因为的图象关于直线对称，而由图可得， 所以关于直线对称，即， 又因为当时，，所以， 解得； （2）当时，， 令，则，即， 所以，即，解得①； 令，则，即， 所以，即， 由①知，所以， 所以， 即当时，恒成立，恒成立， 综上，当时，供求关系较为平衡． 11．(23-24高一上·江西抚州·期末)临川菜梗是江西临川的传统民间特产，以“不怕辣”而著称，相传宋神宗熙宁年间王安石出任平章事（宰相），平时爱以家乡菜梗招待同僚进餐，美誉传至宋神宗，于是命（再想）家乡进贡来，尝后大悦御批为“天下一绝”．近日，临川一家食品店的店员对每天的莱梗销售情况盘点后发现：该商品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 170 175 180 175 170 (1)给出以下四种函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该店临川菜梗的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)选择函数模型②， (2)1681元 【分析】（1）由表中的数据知，当时间变化时先增后减，所以选择函数模型②，根据表格数据解得，从而求出； （2）求出，当时，利用基本不等式求出最小值，当时，根据的单调性求出最小值，再比较大小可得答案. 【详解】（1）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减， 而函数模型①；③；④都是单调函数， 所以选择函数模型②， 根据表格数据可知，解得， 所以； （2）， 即， 当时，， 当且仅当时等号成立， 当时，单调递减， 最小值为， ，所以的最小值为1681元. 试卷第1页，共3页 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06函数的应用 ☆4大高频考点概览 考点01函数的零点 考点02函数零点存在性定理 考点03函数零点的分布 考点04函数模型的应用 目 考点01 函数的零点 1.(24-25高一上·江西宜丰中学等多校期末)已知函数 f(x)=2+2x+1,g(x)=logx+2x+1,h(x)=x3+2x+1的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大 小关系为() A.a>c>b B.b>a>c C.b>c>a D.a>b>c 2.(21-22高一上江西景德镇第一中学期末)已知函数f8)=1+朵（m∈R为奇函数，则下列叙述错误 的是( ) A.m=-2 B.函数fx)在定义域上是单调增函数 C.fx)e(-1,1 D.函数Fx)=f(x)-x所有零点之和大于零 3.(24-25高一上江西宜春第一中学期末)（多选）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R,有 f(1-x)=-f(1+x),当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x-2,则() A.f(x)是以4为周期的周期函数B.点(-3,0)是函数f(x)的一个对称中心 C.f(2025)+f(2026)=-2 D.函数y=f(x)-log2(x+1)有3个零点 4.(24-25高一上江西宜春中学期末)（多选）若f(x)=aex+bex(其中a、b为非零常数)，则对于 函数y=f(x),以下结论正确的是() A.若a=b,则y=f(x)为偶函数 B.若ab=1,则函数y=f(x)的最小值为2 C.若a=2,b=3,则函数y=f(x)-7的零点为-ln2和1n3 D.若f(x)为奇函数，且x∈(-∞，0)使e2x+e2x+f(x)≤0成立，则a-b的最小值为4y2 5.(23-24高一上江西九江浔阳区九江一中期末)（多选)己知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)=2+x,则有() 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.当x<0时，f(x)=-2-x B.f(x)=3x有5个解x(i=1,2,3,4,5),且x1+X2十X3+84+X5=0 C.xf(x)是奇函数 D.f(f(x))<-3的解集是(-∞，0) 6.(24-25高一上江西九江期末)已知函数f(x)=2+是-1(a∈R) (1)若f(x)为偶函数，求a的值； (2)讨论f(x)的零点个数 目目 考点02 函数零点存在性定理 1.(24-25高一上江西南昌期末)已知函数(8)=2*1-京+1的零点为x1,函数g(8)=2-京的零点为x2, 则下列结论中错误的是（) A.x1∈（克1） B.x2e(克1) C.X1>X2 D.g(x1)<1 2.(24-25高一上江西九江期末)函数f(x)=x+意-1零点所在区间为（) A.(1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.（-2,-1) 3.(23-24高一上·江西南昌选课走班调研调研)（多选）已知函数 f8)=2x>g=log,x>2=音，函数Fx=f(x)-hx的-个零点为a, G(x)=gx)-(x)的一个零点为b,则以下说法正确的是() A.fx)与g(x)的图象关于直线y=x对称 B.(x)的图象通过平移变换可以得到一个奇函数的图象 c.1<a< D.a+b>4 4.(23-24高一上江西上饶期末)定义：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在xo∈(a,b)满足 f(x)=@,则x称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的-个均值点.已知f(x)=48-21+m在 ba [0,1]上存在均值点，则实数m的取值范围是。 5.(24-25高一上江西九江·期末)已知正实数%，B满足a+1na=lnB+1n(1nB)=2,则 a3= 2/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 |1gx,0<x≤10 6.2324高-上江西庐第中学别闲已知医发f()-{击(X2-14x+13),x>10,且 a<b<c时，f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 7.(24-25高一上江西宜春中学期末)已知函数f(x)=1+1ogX,g(x)=2, (1)若F(x)=f(g(x))g(f(x)),求函数F(x)在区间[1,2]上的值域： 2诺H(x)- 8+2， ①求证：H(x)+H(1-x)=1 ②求H(0)+H()+H()+H()++H(器)+H(8器)的值： (3)令G(x)=[f(x)-1]+(4-k)f(x)+2,已知函数G(x)在区间[1,8]上有零点，求实数k的取 值范围 目目 考点03 函数零点的分布 1.(23-24高一上江西上饶期末)若关于x的不等式kx>x-2恰好有3个整数解，则实数k的范围为() A.(0,] B.(3] c.(得] D.(31] x2+2x+a,x≤1 2.(24-25高一上江西南昌·期末)已知 =1 1n(x-),x>1，若fx)有三个零点，则a的取值范围为 () A.-3<a<1 B.-3≤a<1 C.-3<a≤1 D.-3≤a≤1 3.(24-25高一上江西赣州期末)给定函数y=f(x),若实数xo使得f(o)=o,则称xo为函数f(x)的 不动点；若实数xo使得f(xo)=~xo,则称xo为函数f(x)的次不动点若函数g(x)=log,(4-m·2) 在区间[0,1]上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数m的取值范围是() A.[0,1] B.（0,1) c.[0,] D.[1,] 4.(23-24高一上江西抚州期末)（多选)若方程x2+3x+入=0在区间(-2,0)上有实数根，则实数7的 取值可以是() A.0 B.青 c. D. 5.(24-25高一上江西宜春第一中学期末)设min{x,y}表示实数x,y中的最小值，若函数 3/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(x)=min{2x2+4x+2,2-x},函数g(x)=[f(x)]2-af(x)+1有六个不同的零点，则a的取 值范围是 6.2324商-上江西抚州期和已知丽数(x)-,a2然十3X≤1·函数 (1n(x-1),x>1 g(x)=2[f(x)]+(12m)f(x)-m,若函数g(x)有5个零点，则实数m的取值范围是 8x+1,x≤0 7.2425高-一上江西抚州期未设函数f(x)={10g。,x>0,若关于x的函数 g(x)=f2(x)-(a+2)f(x)+3恰好有5个零点，则实数a的取值范围是一 31ogA,0<x≤2 8.(24-25高一上·江西赣州期末)函数 x2-8x+15,x>2,若函数y=f(x)-m有四个不同的 零点x1,2,X3,x4x<x2<X<X,则s2的取值范围是」 X12: -x2-4x+1X≤0 9.(2425高一上江西宜春中学期末已知函数={ 2-(佳)x>0,若关于x的方程 (fx)-8器)((x)-m)=0恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是 10.(2425高一上江西南昌·调研已知f(x)=ax+(a>0) (1)当a=时，求证：fx)在(0,2上为减函数； ②若方程x)=b(b>0)有且仅有一个实数根，求器的最小值， (3)若存在xo>0使得fx≥f(x)=b在(0，+∞上恒成立，求证：bxo=2 目目 考点04 函数模型应用 1.(2425高一上·江西多校联考期末)大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科 学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为V=log3,其中0表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑 鱼的游速每增加1ms,则它的耗氧量的单位数是原来的() A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.9倍 2.(24-25高一上江西南昌·调研)电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排 放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质 量的重要环保设备其除尘效率门与驱进速度ω之间的函数关系为)=1-e六“，其中qv为烟气量，A总除尘 面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率)=50%时，驱进速度为ω1：除尘效率)=70% 4/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时，驱进速度为ω2，则岩= 一（结果保留两位有效数字） 参考数据：lg2≈0.3010,1g3≈0,4771 3.(24-25高一上江西吉安期末)地球表面的水储量大约有140亿亿立方米，但淡水资源只有3.5亿亿立方 米，在有限的淡水资源中，仅有0.34%是人类可以利用的，水是人类赖以生存的宝贵资源，节约用水，利在 当代，功在千秋为了提高居民节约用水的意识，某城市对居民采用“阶梯水价”的计费方式，其计价规则如 下： 每户每月用水水量 水价 不超过10m3的部分 2.0元/m3 超过10m3但不超过20m3的部分 4.0元/m3 超过20m3的部分 8.0元/m3 (1)写出用户居民每月所需要缴纳的水费y(单位：元)与用水量x(单位：m3)之间的函数关系 (2)某小区的物业公司为提高居民节约用水的积极性，将每月给缴纳水费不超过35元的用户评定为“节水榜 样用户”，被评为“节水榜样用户”的居民可参加物业举办的抽奖活动，抽奖规则如下：一个不透明的箱子中 装有两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3的小球，这5个小球除编号外其余均相同，用户从箱子中 依次取出两个小球，若小球的编号之和为3的倍数，则代表中奖，问： ①“节水榜样用户”的月用水量不能超过多少m3? ②参加抽奖活动的“节水榜样用户”中奖的概率是多少？ 4.(23-24高一上·江西上饶期末)某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品. 己知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元， 2x2+60x,0<X≤40， 且G(x)= 201x+3600-2100,40<x≤100(x∈N4),由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完， (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入一成本）； (②)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 5.(24-25高一上江西抚州期末)曾经的广告词喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国.如今再次重新 出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州.临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川 贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为120万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入380元.设该公司 一年内生产该款高端贡酒x万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为w万元.且 5/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 500-2x,0<x≤20 W= 370+240.2x>20· (1)写出年利润$(x)(万元)关于年产量x(万瓶)的关系式：（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润. 6.(24-25高一上·江西景德镇期末)现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C 的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到 最佳饮用口感的放置时间， 每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 2 4 5 水温/C 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过xmin后温度变为yC,现给出以下三种函数模型： ①y=cx+b(c<0,x≥0)： ②y=cax+b(c>0,0<a<1,x20); 3y=l0g(x+c)+b(a>1,c>0,x20) (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式： (2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据： 1g2≈0.301,1g3≈0.4771)； 7.(24-25高一上·江西上饶期末)近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱.某平台从2021年 初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加.已知从2021到2024年，该平台会员每年年.末 的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）》 建立平台第x年 2 3 会员人数y(千人) 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台x(x∈N)年后平台会员 人数y(千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①y=贵+c(b>0,②y=dlog,x+e(r>0且r≠1)，③y=tax+s(a>0且a≠1)： (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过k·4k>0)千人，请根据(1)中你选择的函 数模型求k的最小值. 8.(24-25高一上江西赣州期末)近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展 浪潮，2024年中国新能源汽车产销突破1000万辆现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电 6/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 量Q(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示 0 10 30 70 Q 0 1320 3240 7560 为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择Q(V)=录v3+bv2+cv, Q(v)=100·(号)+a,Q(v)=1000 log v+b (1)当0≤ⅴ<80时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由，并求出相应的函数解析 式 (2)当0≤V<80时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量M(V)(单位：Wh)最小？并 计算出该最小值 9.(23-24高一上江西师范大学附属中学期末)某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术 生产某产品.己知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本 x2+120x,0<x≤50 G(x)万元，且G()= 201x+4-2100,50<x≤100，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完。 (I)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 10.(23-24高一上江西南昌选课走班调研期末)已知某产品市场供应量P满足关系式P8)=2kxm(其 中t为关税的税率，x为市场价格（单位：千元），k,m为常数)·研究表明，当关税税率t=言时，市场 供应量曲线如图所示： (1)求k,m的值； (2)若市场对此产品的需求量Q满足关系式Q(8)=2-2s(其中t为关税的税率，x(单位：千元)为市场价 格).规定“供求比”为供给与需求的比例.根据市场调查，当产品的供求比在0.8到1.2之间时（含0.8和1.2）， 7/8 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 供求关系较为平衡：当供求比小于0.8时，会出现供不应求的现象：当供求比大于1.2，会出现供过于求的 现象，则当关税税率为时，市场价格应在什么范围的时候，供求关系较为平衡？（参考数据： l1og20.8≈-3,1og1.2≈章) 11.(23-24高一上江西抚州期末)临川菜梗是江西临川的传统民间特产，以“不怕辣”而著称，相传宋神宗熙 宁年间王安石出任平章事（宰相），平时爱以家乡菜梗招待同僚进餐，美誉传至宋神宗，于是命（再想） 家乡进贡来，尝后大悦御批为“天下一绝”.近日，临川一家食品店的店员对每天的莱梗销售情况盘点后发现： 该商品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函 数关系近似满足P(x)=10+袁，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表 所示： X 10 15 20 25 30 Q(x) 170 175 180 175 170 (I)给出以下四种函数模型：①Q(x)=ax+b;②Q(x)=ax-m+b;③Q(x)=a·b;④ Q(x)=a·log,x.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时 间x的变化关系，并求出该函数的解析式： (2)设该店临川菜梗的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值. 8/8