专题05 对数运算与对数函数（期末真题汇编，江西专用）高一数学上学期

专题05 对数运算与对数函数 7大高频考点概览 考点01 对数运算 考点02 对数函数的定义域 考点03 对数函数的单调性 考点04 对数大小比较 考点05 对数函数的图像 考点06 对数函数的值域 考点07 对数的实际应用 地 城 考点01 对数运算 1．(23-24高一上·江西抚州·期末)若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 2．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，则 . 3．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知，若，则 . 4．(24-25高一上·江西吉安·期末)计算下列各式： (1) (2) 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)（1）化简：，（） （2）计算： 6．(24-25高一上·江西多校联考·期末)（1）若，求的值； （2）计算：. 7．(23-24高一上·江西抚州·期末)已知函数 为定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若，试用表示． 8．(24-25高一上·江西南昌·期末)（1）求值：； （2）已知，求的值. 地 城 考点02 对数函数的定义域 1．(24-25高一上·江西南昌·调研)下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江西景德镇·期末)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江西南昌·调研)（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B． C．在为减函数 D．不等式的解集为 4．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 5．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 6．(24-25高一上·江西九江·期末)已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，试比较的大小. 地 城 考点03 对数函数的单调性 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·江西宜春丰城第九中学·期末)“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 5．(24-25高一上·江西赣州·期末) （多选）若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 6．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知实数，满足，，则 . 7．(24-25高一上·江西九江·期末)已知正实数满足，则 . 8．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知，. (1)求函数在区间上的最小值. (2)对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 9．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知. (1)当时，方程恰有一个解，求的取值范围； (2)当时，解不等式 ； (3)当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围. 地 城 考点04 对数大小比较 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·江西抚州·期末)若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)设则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末) （多选）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 对数函数的图像 1．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．(22-23高一上·江西上饶·期末)函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)以下函数中满足，都有的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·江西上饶·期末)函数（且）图象恒过的定点坐标为 地 城 考点06 对数函数的值域 1．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·江西抚州·期末)若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 3．(24-25高一上·江西南昌·期末) （多选）已知符号函数下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B． C． D．函数在上单调递减 4．(24-25高一上·江西景德镇·期末) （多选）下列说法正确的有（    ） A．函数既是奇函数也是偶函数 B．函数为偶函数 C．函数是定义在上的奇函数且有最大值4 D．函数为偶函数且值域为 5．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 6．(23-24高一上·江西宜春丰城第九中学·期末)已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 7．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知. (1)当时，方程恰有一个解，求的取值范围； (2)当时，解不等式 ； (3)当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围. 地 城 考点07 对数的实际应用 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江西多校联考·期末)大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 3．(24-25高一上·江西南昌·调研)电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则 .（结果保留两位有效数字） 参考数据：. 4．(24-25高一上·江西景德镇·期末)现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 试卷第1页，共3页 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 对数运算与对数函数 7大高频考点概览 考点01 对数运算 考点02 对数函数的定义域 考点03 对数函数的单调性 考点04 对数大小比较 考点05 对数函数的图像 考点06 对数函数的值域 考点07 对数的实际应用 地 城 考点01 对数运算 1．(23-24高一上·江西抚州·期末)若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 2．(24-25高一上·江西赣州·期末)函数，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指、对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以 ,则， 故答案为：. 3．(24-25高一上·江西南昌·期末)已知，若，则 . 【答案】 【分析】先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可. 【详解】由得，所以， 所以或，解得. 故答案为： 4．(24-25高一上·江西吉安·期末)计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)（1）化简：，（） （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由指数幂的运算法则计算即可； （2）由对数运算法则和对数运算性质即可计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 6．(24-25高一上·江西多校联考·期末)（1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）（2）0 【分析】（1）对数式化为指数式，得到，故； （2）利用对数运算和对数运算法则化简，求出答案. 【详解】（1）因为，所以，则， 从而. （2）原式 . 7．(23-24高一上·江西抚州·期末)已知函数 为定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若，试用表示． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据，求得参数值，检验即可； （2）根据（1）中所求求得，再结合对数运算即可表示. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，； 经检验，满足题意，故. （2）由（1）可知， 根据，可得 则，故， 又，. 8．(24-25高一上·江西南昌·期末)（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算； （2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 地 城 考点02 对数函数的定义域 1．(24-25高一上·江西南昌·调研)下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于C，的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数. 故选：D 2．(24-25高一上·江西景德镇·期末)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式的形式，列出满足函数定义域的不等式，即可求解. 【详解】， 函数的定义域需满足不等式，得. 所以函数的定义域是. 故选：A 3．(24-25高一上·江西南昌·调研)（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B． C．在为减函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】对于A，求得函数定义域为即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断. 【详解】对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误； 对于B，因为， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，B正确； 对于C，令，则在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 所以在上为减函数，C正确； 对于D，，令， 当时，解得或，所以或， 当时，，所以无实数解， 所以不等式的解集为，D错误. 故选：BC. 4．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，运用复合函数得性质，结合二次函数图象性质列方程，求出即可；对于B，运用复合函数单调性判定，结合分类讨论，即可解题；对于C，因为的定义域为，分类讨论，得；对于D，因为的值域为R，和分类讨论，结合二次函数性质计算. 【详解】对于A，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数在区间上为增函数， 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，由复合函数单调性可知在单调递增， 则，且， 又在上恒成立， 联立，解得，故B错误. 对于C，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，由有意义，可得，显然不满足题意； 当时，则，解得，故C正确； 对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意； 当时，则解得， ∴．故 D错误. 故选：AC. 5．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 在中，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 6．(24-25高一上·江西九江·期末)已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，试比较的大小. 【答案】(1). (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据即可求解， （2）计算的值，即可根据中心对称的性质求解， （3）利用单调性的定义可得单调递减，即可根据对数复合函数的单调性求解. 【详解】（1）由，得① ，即①式恒成立，的定义域为. （2） 曲线是中心对称图形，对称中心为 （3）令，设任意，且， 则 ，又， 即，即. 在上单调递减，在上单调递减 地 城 考点03 对数函数的单调性 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性，即可求参数的取值范围. 【详解】函数为增函数，的对称轴为，开口向上， 若函数在区间上单调递增，则且， 解得：. 故选：C 2．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可. 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 3．(23-24高一上·江西宜春丰城第九中学·期末)“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性，结合充要条件定义判断即可. 【详解】设，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以内层函数在上单调递减，则， 且对任意的，恒成立，即恒成立，则，所以. 即“函数在区间上单调递增”的充要条件是. 故选：D 4．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，运用复合函数得性质，结合二次函数图象性质列方程，求出即可；对于B，运用复合函数单调性判定，结合分类讨论，即可解题；对于C，因为的定义域为，分类讨论，得；对于D，因为的值域为R，和分类讨论，结合二次函数性质计算. 【详解】对于A，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数在区间上为增函数， 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，由复合函数单调性可知在单调递增， 则，且， 又在上恒成立， 联立，解得，故B错误. 对于C，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，由有意义，可得，显然不满足题意； 当时，则，解得，故C正确； 对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意； 当时，则解得， ∴．故 D错误. 故选：AC. 5．(24-25高一上·江西赣州·期末) （多选）若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 又因为，即，当且仅当时等号成立， ，故的最大值为，故A正确； 因为， 当且仅当 且 ，即时等号成立，故B错误； 因为，所以， ， 当且仅当且 ，即，时，等号成立， 又实数，，可知等号不成立，故C错误； 因为， 当，时，的最小值为，故D正确. 故选：AD. 6．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知实数，满足，，则 . 【答案】2 【分析】同构：把化为与同构，由函数的单调性得，从而可得结论． 【详解】由题意，而 易知函数为单调增函数， 因为，所以，从而， 所以， 故答案为：2. 7．(24-25高一上·江西九江·期末)已知正实数满足，则 . 【答案】 【分析】根据题设均为方程的根，由解析式判断的单调性，利用零点存在性定理确定零点唯一性，结合对数运算性质求参数值. 【详解】， 均为方程的根， 在上单调递增，且， 有唯一零点，即， . 故答案为： 8．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知，. (1)求函数在区间上的最小值. (2)对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由指数函数值域以及基本不等式即可求解. （2）由题意将原问题转换为恒成立，首先由初步得出的一个范围，进一步利用对数函数单调性，得到对于任意恒成立，由此即可进一步求解. 【详解】（1）由题意当时，， 所以，等号成立当且仅当，即， 所以函数在区间上的最小值2. （2）对于任意，都有成立， 则只需，由（1）可知， 所以只需恒成立， 首先有，即， 由得，所以， 进一步可以化为， 所以恒成立，即， 即对于任意恒成立， 因为， 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 所以， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于第（2）问中双变量求解参数取值范围问题，由于双变量是针对不同函数而言，因此可以对不同函数分别求最值进行单独处理，不需要得出之间的关系式. 9．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知. (1)当时，方程恰有一个解，求的取值范围； (2)当时，解不等式 ； (3)当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）画出此时的函数图象，数形结合得到或； （2）得到，变形得到，求出不等式解集； （3）转化为在上至少有3个根，根据在上单调递增，则，因为，从而得到无解，令，由得或，而，只需，又，解得，当，即时，对应一个根，对应两个根，从而得到的取值范围. 【详解】（1）时，， 画出函数图象，如下： 数形结合可得：或； （2）， 由于，故， ，即， 变形为， 即， 故 解得，故， 又，故， 所以原不等式的解集为； （3）令，即，故， 当时，在上至少有3个零点， 故在上至少有3个根， 因为，所以在上单调递增， 故当时，， 又开口向上，对称轴为， 且时，，时，， 所以在上单调递增， 则， 因为， 当时，，故无解， 令，由，得， 解得或，而， 由于在R上至少有3个零点， 只需，又， 解得，此时，故至少对应一个根，满足要求， 当时，解得，负值舍去， 此时对应一个根，，对应两个根， 从而有3个根，符合题意， 因此. 所以的取值范围是. 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 地 城 考点04 对数大小比较 1．(24-25高一上·江西多校联考·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数与幂函数的单调性比较大小可得结果. 【详解】∵幂函数在上单调递增，∴. ∵对数函数在上单调递增，∴， ∴. 故选：B. 2．(23-24高一上·江西抚州·期末)若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数的性质、必要不充分条件的定义判断可得答案. 【详解】， 当时，，但不成立. 故选：B. 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)设则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】. 故选：A. 4．(24-25高一上·江西上饶·期末)已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数以及对数函数的单调性，即可得. 【详解】由于，，， 所以. 故选：C 5．(24-25高一上·江西景德镇·期末)在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“分段法”判断出的大小关系. 【详解】由于，所以. 故选：A 6．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期末)已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数和对数函数单调性性质即可判断AB；由三角函数诱导公式结和三角函数单调性即可判断CD. 【详解】对于：函数为R上的增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以， 当时，函数为上的增函数，所以， 当时，函数为上的减函数，所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故错误； 对于：， 在上单调递减，时， ，即，故错误. 故选：. 7．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末) （多选）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由的单调性得到A正确；BD选项，可举出反例；C选项，由指数函数的单调性得到C正确. 【详解】对于A，由函数在上单调递增知，故正确； 对于B，取，，所以，故错误； 对于C，因为在上单调递增且，所以，故正确； 对于D，当，时，，故错误. 故选：AC. 地 城 考点05 对数函数的图像 1．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【详解】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 2．(22-23高一上·江西上饶·期末)函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 因为， ，则函数为偶函数，排除CD选项， 又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项. 故选：A. 3．(23-24高一上·江西南昌选课走班调研·期末)以下函数中满足，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，取即可判断；对于D，画出图形，通过数形结合即可判断. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，如图所示： 函数的增长速度越来越慢，不妨取任取函数图象上两点， 点为线段中点，垂直于轴，点为与函数图象的交点， 所以，故D正确. 故选：D. 4．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出、所满足的关系式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数且， 由，可得，此时，，即点， 将点的坐标代入直线方程可得，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 5．(23-24高一上·江西上饶·期末)函数（且）图象恒过的定点坐标为 【答案】 【分析】由，令即可求解. 【详解】令，解得，所以， 所以函数（且）图象恒过的定点坐标为. 故答案为：. 地 城 考点06 对数函数的值域 1．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得的值域为，利用基本不等式可得的值域为，根据题意可知，根据包含关系列式求解即可. 【详解】因为，， 设，， 令，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 则，所以的值域为， 又因为，当且仅当时取等号， 可得，所以的值域为， 根据题意可知：，则， 即，解得且， 所以实数的取值范围． 故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 2．(23-24高一上·江西抚州·期末)若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 3．(24-25高一上·江西南昌·期末) （多选）已知符号函数下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B． C． D．函数在上单调递减 【答案】BCD 【分析】对于A，运用奇偶性定义判断即可；对于B，利用指数函数的值域结合新定义判断即可；对于C，利用对数函数的值域结合新定义判断即可；对于D，求出时的函数解析式，根据二次函数单调性判断即可. 【详解】对于A，，当时，， 则， 当时，，则， 当时，， 所以为偶函数，错误. 对于B，因为，所以，正确. 对于C，当时，，所以， 所以，正确. 对于D，当时，，则，开口向下， 对称轴为，所以函数在上单调递减，正确. 故选：BCD 4．(24-25高一上·江西景德镇·期末) （多选）下列说法正确的有（    ） A．函数既是奇函数也是偶函数 B．函数为偶函数 C．函数是定义在上的奇函数且有最大值4 D．函数为偶函数且值域为 【答案】AD 【分析】判断函数的奇偶性首先判断函数的定义域，再结合函数奇偶性的定义，即可判断. 【详解】A.函数的定义域需满足，得，此时，既满足，也满足，所以函数既是奇函数也是偶函数，故A错误； B.函数的定义域是，得，函数的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误； C. ，设，， ， 设，，， 所以函数是奇函数， 当时， 当时，， 所以函数的值域为，无最大值，故C错误； D. 函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以，所以函数的值域是， ，所以函数是偶函数，故D正确. 故选：AD 5．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，运用复合函数得性质，结合二次函数图象性质列方程，求出即可；对于B，运用复合函数单调性判定，结合分类讨论，即可解题；对于C，因为的定义域为，分类讨论，得；对于D，因为的值域为R，和分类讨论，结合二次函数性质计算. 【详解】对于A，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数在区间上为增函数， 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，由复合函数单调性可知在单调递增， 则，且， 又在上恒成立， 联立，解得，故B错误. 对于C，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，由有意义，可得，显然不满足题意； 当时，则，解得，故C正确； 对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意； 当时，则解得， ∴．故 D错误. 故选：AC. 6．(23-24高一上·江西宜春丰城第九中学·期末)已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，且，求实数n的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，利用对数运算法则将函数化为，根据二次函数性质求解值域即可； （2）换元法，设，，即可化为关于t的函数，再利用根与系数的关系，即可解出. 【详解】（1）当，令，所以， 则在上单调递减， 所以，，故的取值范围为； （2）设，，因为，所以，即， 则的两根为，，整理得， ，， 所以，，所以，则， 所以，则， 即实数的取值范围为. 7．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知. (1)当时，方程恰有一个解，求的取值范围； (2)当时，解不等式 ； (3)当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）画出此时的函数图象，数形结合得到或； （2）得到，变形得到，求出不等式解集； （3）转化为在上至少有3个根，根据在上单调递增，则，因为，从而得到无解，令，由得或，而，只需，又，解得，当，即时，对应一个根，对应两个根，从而得到的取值范围. 【详解】（1）时，， 画出函数图象，如下： 数形结合可得：或； （2）， 由于，故， ，即， 变形为， 即， 故 解得，故， 又，故， 所以原不等式的解集为； （3）令，即，故， 当时，在上至少有3个零点， 故在上至少有3个根， 因为，所以在上单调递增， 故当时，， 又开口向上，对称轴为， 且时，，时，， 所以在上单调递增， 则， 因为， 当时，，故无解， 令，由，得， 解得或，而， 由于在R上至少有3个零点， 只需，又， 解得，此时，故至少对应一个根，满足要求， 当时，解得，负值舍去， 此时对应一个根，，对应两个根， 从而有3个根，符合题意， 因此. 所以的取值范围是. 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 地 城 考点07 对数的实际应用 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算，再根据指对运算公式即可求解. 【详解】， 所以. 故选：D 2．(24-25高一上·江西多校联考·期末)大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 【答案】D 【分析】利用速度差为结合对数的运算性质可得结果. 【详解】设鲑鱼的游速为 时的耗氧量的单位数为，游速为 时的耗氧量的单位数为. 由，得，整理得. 故选：D. 3．(24-25高一上·江西南昌·调研)电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率与驱进速度之间的函数关系为，其中为烟气量，总除尘面积，若在烟气量与总除尘面积一定的情况下，除尘效率时，驱进速度为；除尘效率时，驱进速度为，则 .（结果保留两位有效数字） 参考数据：. 【答案】1.7 【分析】根据题意可得，结合指、对数运算求解即可. 【详解】由题意可得：，整理可得， 两式相比可得. 故答案为：1.7. 4．(24-25高一上·江西景德镇·期末)现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 【答案】(1)选模型②，且 (2) 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）根据（1）求出的模型进行计算. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，可得， 所以且； （2）令，则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. 试卷第1页，共3页 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $