专题02 不等式（期末真题汇编，江西专用）高一数学上学期

专题02 不等式 6大高频考点概览 考点01 不等式的基本性质 考点02 解一元二次不等式 考点03 一元二次不等式恒成立问题 考点04 基本不等式求最值 考点05 基本不等式中1的妙用 考点06 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 不等式的基本性质 1．(24-25高一上·江西九江·期末)下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)（多选）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江西上饶·期末)（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A．函数是倒函数 B．函数是倒函数 C．若是R上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D．若是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是增函数．记，则是的充要条件 5．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)（多选）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·江西吉安·期末)（多选）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 地 城 考点02 解一元二次不等式 1．（24-25高一上·江西抚州·期末）若集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西抚州·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西赣州·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西九江·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江西南昌·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江西上饶·期末）（多选）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 11．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知集合，. (1)若，求. (2)若，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·江西·期末）已知集合或，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 13．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 15．（24-25高一上·江西九江·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 16．（24-25高一上·江西宜春·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：. (1)已知，正数满足，求的最小值； (2)设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围. 17．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． (1)求此二次函数的解析式； (2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)函数满足条件：①是偶函数；②时，．已知函数有四个零点，求实数m的取值范围． 19．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)求不等式的解集. 20．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 地 城 考点03 一元二次不等式恒成立问题 1．(24-25高一上·江西吉安·期末)设，则“”是“，不等式恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·江西赣州·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．命题“，都有”的否定为“，使得” B．函数单调递增区间是 C．“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件 D．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 4．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 5．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． (1)求此二次函数的解析式； (2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 地 城 考点04 基本不等式求最值 1．(24-25高一上·江西九江·期末)若，则的最小值是（    ） A． B．2 C．3 D． 2．(23-24高一上·江西吉安·期末)已知函数与（）交于和两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(22-23高一上·江西上饶·期末)函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·江西赣州·期末)（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知正实数，满足，则的最小值是 ． 6．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)设二次函数的值域是，则的最小值是 . 7．(23-24高一上·江西新余·期末)已知 ，则的最小值为 ． 8．(23-24高一上·江西景德镇·期末)已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． 地 城 考点05 基本不等式中1的妙用 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知函数，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江西吉安·期末) （多选）若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为 C．的最大值为25 D．的最小值为8 3．(24-25高一上·江西赣州·期末)（多选）若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 4．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江西抚州·期末) （多选）已知、是正数，且，下列叙述正确的是（   ） A．最大值为 B．的最小值为 C．最小值为 D．最小值为 6．(23-24高一上·江西抚州·期末) （多选）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 7．(23-24高一上·江西吉安·期末) （多选）设，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 8．(23-24高一上·江西萍乡·期末)已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 9．(23-24高一上·江西部分学校·期末)若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是 . 10．(23-24高一上·江西部分学校·期末)设二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)若， ①，求的最小值，并指出取最小值时的值； ②求函数在区间上的最小值. 地 城 考点06 基本不等式的实际应用 1．(23-24高一上·江西上饶·期末)某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 2．(24-25高一上·江西抚州·期末)曾经的广告词“喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国．如今再次重新出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州．临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入元．设该公司一年内生产该款高端贡酒万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为万元．且． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式：（利润销售收入成本） (2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润． 3．(23-24高一上·江西景德镇·期末)芯片是现代科技发展的重要组成部分，它的出现和发展对科技领域产生了深远影响．芯片的应用非常广泛，从智能手机、电脑、平板电脑到汽车、医疗设备、航空航天等领域有着广泛的应用，为进一步激励国内科技巨头加大科技研发投入的力度．根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入10万元．若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完；平均每万部的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 4．(23-24高一上·江西吉安·期末)狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 试卷第1页，共3页 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式 6大高频考点概览 考点01 不等式的基本性质 考点02 解一元二次不等式 考点03 一元二次不等式恒成立问题 考点04 基本不等式求最值 考点05 基本不等式中1的妙用 考点06 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 不等式的基本性质 1．(24-25高一上·江西九江·期末)下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】解：对于A，若，则无法比较大小，故A错误； 对于B，若，则为正数，两边平方得，故B正确； 对于，若，则，故C错误； 对于D，若，满足，但是，故D错误. 故选：B. 2．(23-24高一上·江西上饶·期末)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 3．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)（多选）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由的单调性得到A正确；BD选项，可举出反例；C选项，由指数函数的单调性得到C正确. 【详解】对于A，由函数在上单调递增知，故正确； 对于B，取，，所以，故错误； 对于C，因为在上单调递增且，所以，故正确； 对于D，当，时，，故错误. 故选：AC. 4．(24-25高一上·江西上饶·期末)（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A．函数是倒函数 B．函数是倒函数 C．若是R上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D．若是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是增函数．记，则是的充要条件 【答案】ACD 【分析】对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断与之间的充分性和必要性. 【详解】对于A，对于定义域为R，显然定义域中任意实数，都有成立，又，所以是倒函数．故A正确． 对于B，定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数，故B错误． 对于C，令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以，要使有正整数解， 则，当时，； 当时，；所以没有正整数解，故C错误． 对于D，充分性：当时，且，因为是增函数， 所以，，即，， 所以． 必要性：当时， 有 因为恒大于0，所以，即， 所以，因为是增函数，所以，即； 综上可得是的充要条件，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 5．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)（多选）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据作差法判断AC的真假，利用指数函数、幂函数的单调性判断B的真假；利用特例验证D的真假. 【详解】对A：因为，所以 .故A正确； 对B：因为，且函数在上单调递减，所以， 又幂函数在上单调递增，所以，所以，故B正确； 对C：因为，所以，所以，故C正确. 对D：令，，则，，则，所以不一定成立，故D错误. 故选：ABC 6．(24-25高一上·江西吉安·期末)（多选）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对于A，取，，满足，而，A错误； 对于B，因为，所以，即，所以，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，，所以，D正确. 故选：BCD. 地 城 考点02 解一元二次不等式 1．（24-25高一上·江西抚州·期末）若集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，集合， 因此，. 故选：C. 2．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，得或，则，所以. 故选：C 3．（24-25高一上·江西抚州·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【详解】由题意可得，解得，则， 由可得，可得， 解得或， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式化简集合，根据集合交集的运算可得结果. 【详解】由题意得，，，∴. 故选：A. 5．（24-25高一上·江西赣州·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用列举法表示A，解出B，根据交集概念计算即可. 【详解】解：集合， 又， 则. 故选：D. 6．（24-25高一上·江西九江·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求得答案. 【详解】解不等式，即，解得， 则，所以. 故选：B 7．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解绝对值不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，再利用并集的定义求得答案. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 8．（23-24高一上·江西南昌·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，解一元二次不等式即可，利用指数函数单调性即可解. 【详解】设，则不等式可化为， 解得， 所以，解得. 故选：A 9．（23-24高一上·江西上饶·期末）（多选）下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 根据充分不必要条件与集合之间的关系可知，只需要找集合的子集， 对比选项可知，使不等式成立的充分不必要条件可以是或. 故选：BD. 10．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）分析可知、是方程的解，且，利用韦达定理求出、的值，然后利用二次不等式的解法解不等式，即可得出该不等式的解集； （2）由已知等式化简所求代数式得，利用基本不等式可求得该代数式的最小值； （3）由二次不等式恒成立可得出，可得出，令，则，且，可得出，结合基本不等式可得出所求代数式的最小值. 【详解】（1）由已知的解集为，则， 所以、是方程的解， 由韦达定理可得，解得， 所以不等式可化为，解得或， 故不等式的解集为或. （2）因为，所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为. （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，则， 令，则，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 11．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知集合，. (1)若，求. (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若，求得集合，利用交集的意义求解即可； （2）分，，三种情况求得集合，进而根据求得的取值范围. 【详解】（1）若，则 （2）①当时，， 此时，符合题意； ②当时，，要使，则有或，得. ③当时，，要使，则有或，解得. 综上，的取值范围是. 12．（24-25高一上·江西·期末）已知集合或，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式（组），综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，或， 故. （2）因为， 当时，， 解得，满足； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 13．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求得，解一元二次不等式得集合，利用并集运算求解即可. （2）由题意得，按照和分类讨论，利用子集关系列不等式组求解即可，注意最后求并集. 【详解】（1）当时，集合，所以或， ， 所以或． （2）由已知，由题意得， ①当时，，解得； ②当时，由得，解得：， 综上所述，． 14．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。 【详解】（1）由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根， 得解得，所以. （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 15．（24-25高一上·江西九江·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）化简集合，由集合的运算即可得解； （2）由题意得是的真子集，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）， . 或， 或. （2）“”是“”成立的充分不必要条件，是的真子集. 又. 等号不同时成立，即，解得，经检验“”满足题意. 的取值范围是. 16．（24-25高一上·江西宜春·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：. (1)已知，正数满足，求的最小值； (2)设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求的最小值； （2）解绝对值不等式、含参一元二次不等式求集合，注意讨论参数及集合的并集结果列不等式组求的范围. 【详解】（1）由题意，正数满足，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. （2），则，，即， 令 法一：当时，；当时，， 由，则，解得，即的范围是． 方法二：当时，，此时成立； 当时，，此时， 又，则，解得； 当时，，此时， 又，则，解得， 综上，，即； 17．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． (1)求此二次函数的解析式； (2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系可知和是关于的方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即可； （2）由题意可得对，不等式恒成立，令，，则，求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两个根且， 所以， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 又因为该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 所以，解得， 所以此二次函数的表达式为，即． （2）对不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，， 则，解得， 即实数的取值范围为． 18．（23-24高一上·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)函数满足条件：①是偶函数；②时，．已知函数有四个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集结合韦达定理求解参数即可. （2）将零点问题转化为函数图象与直线的交点问题，数形结合即得. 【详解】（1）由已知，的解集为． 则方程的两根为， 所以，解得． （2）由（1）， 因为，且是偶函数， 又因为，作出函数的图象， 由图可知，． 19．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意知道是函数的两个零点，由此即可求解. （2）首先因式分解二次式，进一步分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意若不等式的解集为，所以， 所以，解得. （2）由题意， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 20．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在 (2) 【分析】（1）设在恒成立，可得时不满足，当时，结合二次函数的开口方向、判别式可得答案； （2）由题意可设在上恒成立，分、、讨论，结合一元二次不等式恒成立可得答案． 【详解】（1）设在恒成立， 显然当，即时不满足在上恒成立； 当时， ， 综上，存在使得的解集为； （2）由题意可设在上恒成立， 当，即时，，满足在上恒成立； 当，即时， 在上恒成立； ，； 当，即时，可得，， 综上． 地 城 考点03 一元二次不等式恒成立问题 1．(24-25高一上·江西吉安·期末)设，则“”是“，不等式恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】按和分类讨论，解出不等式恒成立时的取值范围，再根据充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】由“，不等式恒成立”可得以下两种情况： ①当时，不等式即为：恒成立，满足条件； ②当时，则需满足解得， 综上可得，实数的取值范围是， 所以“”是“，不等式恒成立”的充分不必要条件， 故选：A. 2．(24-25高一上·江西赣州·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．命题“，都有”的否定为“，使得” B．函数单调递增区间是 C．“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件 D．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用复合函数法可判断B选项；利用分段函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用二次不等式恒成立求出实数的范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，命题“，都有”的否定为“，使得”，故A正确； 对于B选项，函数是由函数和复合而成， 由于函数单调递增，解得， 所以函数的单调递增区间为， 故函数单调递增区间是，故B错误； 对于C选项，因为， 所以，函数的增区间为， 若函数在区间单调递增，则，可得， 因为， 所以，“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，不等式对任意恒成立， 当时恒成立，合乎题意， 当时，则有，解得， 因此，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，故D错误， 故选：AC. 3．(23-24高一上·江西抚州·期末)已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在 (2) 【分析】（1）设在恒成立，可得时不满足，当时，结合二次函数的开口方向、判别式可得答案； （2）由题意可设在上恒成立，分、、讨论，结合一元二次不等式恒成立可得答案． 【详解】（1）设在恒成立， 显然当，即时不满足在上恒成立； 当时， ， 综上，存在使得的解集为； （2）由题意可设在上恒成立， 当，即时，，满足在上恒成立； 当，即时， 在上恒成立； ，； 当，即时，可得，， 综上． 4．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）分析可知、是方程的解，且，利用韦达定理求出、的值，然后利用二次不等式的解法解不等式，即可得出该不等式的解集； （2）由已知等式化简所求代数式得，利用基本不等式可求得该代数式的最小值； （3）由二次不等式恒成立可得出，可得出，令，则，且，可得出，结合基本不等式可得出所求代数式的最小值. 【详解】（1）由已知的解集为，则， 所以、是方程的解， 由韦达定理可得，解得， 所以不等式可化为，解得或， 故不等式的解集为或. （2）因为，所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为. （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，则， 令，则，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 5．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． (1)求此二次函数的解析式； (2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系可知和是关于的方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即可； （2）由题意可得对，不等式恒成立，令，，则，求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两个根且， 所以， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 又因为该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 所以，解得， 所以此二次函数的表达式为，即． （2）对不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，， 则，解得， 即实数的取值范围为． 地 城 考点04 基本不等式求最值 1．(24-25高一上·江西九江·期末)若，则的最小值是（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用基本基本不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为3. 故选：C 2．(23-24高一上·江西吉安·期末)已知函数与（）交于和两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意不妨设，从而利用对数函数性质可得，再利用函数的单调性求解. 【详解】由题意知：，不妨设，则，， 且，所以， 所以的取值范围是．故C正确. 故选：C. 3．(22-23高一上·江西上饶·期末)函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 因为， ，则函数为偶函数，排除CD选项， 又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项. 故选：A. 4．(23-24高一上·江西赣州·期末)（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】由已知条件，结合基本不等式，判断各选项的结论是否正确. 【详解】正数，满足，则有，，当且仅当，等号成立， ，A选项正确； ，，当且仅当，等号成立，B选项正确； ，，当且仅当，等号成立，C选项正确； ，当且仅当，等号成立，D选项正确. 故选：ABCD 5．(24-25高一上·江西南昌第二中学·期末)已知正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，构造函数，根据函数的单调性得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以，又因为 都是正数，所以 ，， 可构造函数 ， 因为与均在上单调递增，所以函数在上单调递增， 由 ，即 ， 根据函数单调性可得 ， 则 ， 当且仅当 ，，即 ，取等号， 因此 的最小值是 ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到，结合函数的单调性得到. 6．(23-24高一上·江西庐山第一中学·期末)设二次函数的值域是，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】由二次函数值域确定参数关系，结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意知，，，即， 所以，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值是2. 故答案为：2. 7．(23-24高一上·江西新余·期末)已知 ，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】化为，分别求出，，根据已知条件确定，确定原式满足基本不等式成立的条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以有，所以，即； 因为，即；又因为所以， 所以， 当且仅当时，解得，又因为，所以， 时等号成立，所以的最小值为； 故答案为： 8．(23-24高一上·江西景德镇·期末)已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式， （2）利用作差法判断化简可得，进而判断可得出结果. 【详解】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，则， 解得，． （2） ， 由于， 则，即． 地 城 考点05 基本不等式中1的妙用 1．(24-25高一上·江西景德镇·期末)已知函数，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则为奇函数且是增函数，由可得，即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】设 ，定义域为 ，关于原点对称， 且 ，故 为奇函数； 则 ， ，故 ； 因为为增函数，故 ，即 ， ，故与同号，显然它们都是正数 ； 当且仅当 ，即时等号成立； 故选： D. 2．(24-25高一上·江西吉安·期末) （多选）若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为 C．的最大值为25 D．的最小值为8 【答案】ABD 【分析】根据题意可得，可判断A，利用基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，因为关于的方程有两个正根， 所以解得.故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时取等号，即的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立， 但，所以等号不能成立，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立. 故正确， 故选：ABD 3．(24-25高一上·江西赣州·期末)（多选）若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 又因为，即，当且仅当时等号成立， ，故的最大值为，故A正确； 因为， 当且仅当 且 ，即时等号成立，故B错误； 因为，所以， ， 当且仅当且 ，即，时，等号成立， 又实数，，可知等号不成立，故C错误； 因为， 当，时，的最小值为，故D正确. 故选：AD. 4．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】因为正数，满足， 对于A：因为，则，当且仅当， 即，时取等号，故A正确； 对于B：， 当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C：由A可知，所以， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与，均为正数矛盾，故，故D错误． 故选：ABC 5．(24-25高一上·江西抚州·期末) （多选）已知、是正数，且，下列叙述正确的是（   ） A．最大值为 B．的最小值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式可判断ABC选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故最大值为，A对； 对于B选项，由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，则为，B对； 对于C选项，因为， 解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即最小值为，D对. 故选：ABD. 6．(23-24高一上·江西抚州·期末) （多选）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误． 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值. 7．(23-24高一上·江西吉安·期末) （多选）设，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用，逐项求解即得. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：运用基本不等式求最值，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 8．(23-24高一上·江西萍乡·期末)已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，由根与系数的关系可求出的值，进而可得，再由不等式“1”的代换即可求出答案. 【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集， 则a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，， 所以，且a，b是两个不同的正数， 则有 ， 当且仅当时即，等号成立， 满足，故的最小值是. 故答案为： . 9．(23-24高一上·江西部分学校·期末)若存在正实数满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，再利用能成立问题得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 若不等式有解，则，解得或， 则实数m的取值范围是. 故答案为：. 10．(23-24高一上·江西部分学校·期末)设二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)若， ①，求的最小值，并指出取最小值时的值； ②求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)①当时，取最小值 ；②答案见解析 【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，从而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）根据题意得，①利用基本不等式“1”的妙用即可得解；②利用二次函数的性质，分类讨论即可得解． 【详解】（1）因为的解集为， 又， 所以是方程的唯一实根，且， 所以，即，解得， 经检验，满足题意要求， 所以. （2）因为，， 所以，则，故， ①因为，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． ②因为，则， 显然函数的图象的对称轴为， 当时，在区间上单调递增， 则的最小值为； 当时，在区间上单调递减， 则的最小值为； 综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为. 地 城 考点06 基本不等式的实际应用 1．(23-24高一上·江西上饶·期末)某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 2．(24-25高一上·江西抚州·期末)曾经的广告词“喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国．如今再次重新出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州．临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入元．设该公司一年内生产该款高端贡酒万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为万元．且． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式：（利润销售收入成本） (2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元． 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本可得出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式； （2）利用二次函数的基本性质求出在时的最大值，利用基本不等式求出函数在时的最大值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）当时， 当时， 综上，. （2）当时，， 函数的对称轴是直线，则函数在上单调递增， 所以当时，取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为， 因为，所以当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元． 3．(23-24高一上·江西景德镇·期末)芯片是现代科技发展的重要组成部分，它的出现和发展对科技领域产生了深远影响．芯片的应用非常广泛，从智能手机、电脑、平板电脑到汽车、医疗设备、航空航天等领域有着广泛的应用，为进一步激励国内科技巨头加大科技研发投入的力度．根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入10万元．若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完；平均每万部的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当产量为40万部时，利润最大，最大利润为550万元 【分析】（1）由，再根据条件即可求出结果； （2）利用分段函数的最值，先求出和范围内的最值，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，， 当时，， 当时， 所以. （2）由（1）知当时，，开口向下， 对称轴，此时的最大值为万元， 当时，万元， 当且仅当时等号成立，又， 所以当产量为40万部时，利润最大，最大利润为550万元． 4．(23-24高一上·江西吉安·期末)狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元 【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式； （2）分段求函数的最大值，再进行比较. 【详解】（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时， ， 当时，， 故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为． （2）当时，，当时，取得最大值． 当时，． 当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值． ∵50＜54， ∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元. 试卷第1页，共3页 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $