专题1.3.2 基本不等式（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，从重要不等式推导入手，系统梳理成立条件、几何意义、“一正二定三相等”准则，延伸至和定积最大、积定和最小两类标准模型，拓展多元均值不等式及对勾函数应用，构建递进式学习支架。 资料特色在于知识点配套“即学即练”，10类题型含典例与变式，结合《几何原本》无字证明渗透几何直观，通过仓库建造等实际问题培养应用意识，助力教师课中分层教学，学生课后可借练习题查漏补缺，强化数学思维与知识应用能力。

专题3.2 基本不等式 教学目标 1.掌握基本不等式的推导、成立条件、几何意义； 2.熟记一正、二定、三相等使用准则； 3.拓展含多个变量的均值不等式；区分和定积最大、积定和最小模型。 4.能直接用基本不等式求最值；会配凑定值（拆项、乘系数、换元）；处理含参最值、恒成立问题； 教学重难点 1.重点 ① 基本不等式形式、适用条件、几何意义； ② “一正二定三相等” 三大使用前提； ③ 和定积最大、积定和最小两类标准最值模型； ④ 配凑定值求代数式最值。 2.难点 ① 无定值时灵活配凑常数、拆项构造和 / 积定值； ② 等号取不到时的替代解法（单调性、导数）； ③ 含负变量、分式、高次代数式的变形处理； ④ 基本不等式实际应用题建模与定义域限制； ⑤ 多个变量均值不等式拓展应用。 知识点 01 重要不等式（基本不等式推导源头） 对任意实数，平方重要不等式： 当且仅当时，等号成立。 推导：。 拓展变形： 【即学即练】 已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 知识点 02 基本不等式（均值不等式二元核心） 若，则 其中：算术平均数；：几何平均数； 文字表述：两个正数的几何平均数 算术平均数； 等号条件：当且仅当取等。 三大使用准则：一 、二 、三 ：均为正数； ：和为定值，或积为定值； ：存在实数能使。 【即学即练】 已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 知识点 03 基本不等式几何意义 直角三角形斜边上的中线≥斜边上的高： 设线段长，直径，半圆半径，垂线段长，直观验证。 【即学即练】 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 知识点 04 两类标准最值模型（核心应用） 积定和最小 若（定值），则； 当时，取得最小值 和定积最大 若（定值），则； 当时，取得最大值 【即学即练】 设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 知识点 05 基本不等式变形拓展（常用二级结论） 时： （调和 / 几何 / 算术 / 平方均值链） 含负变量变形：时令，转化正数再求解。 【即学即练】 若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点 06 三元均值不等式拓展（多变量） 若，则，当且仅当取等； 适用：三项式求最值，配凑三项和 / 积定值。 【即学即练】 若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 知识点 07 对勾函数 单调区间：递 ，递 ；递 ，递 作用：当基本不等式等号取不到时，利用单调性求最值。 【即学即练】 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 题型 01 利用基本不等式比较大小 【典例1】若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【变式1】若且，则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D．a 题型 02 利用基本不等式证明不等关系 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 题型 03 基本不等式求和的最小值（积定和最小） 【典例1】已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型 04 基本不等式求积的最大值（和定积最大） 【典例1】已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式2】已知，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【变式3】已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式4】已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 题型 05 条件等式约束下求最值 【典例1】已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【变式1】已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 题型 06 二次与二次（或一次）商式的最值 【典例1】函数(）的最大值为______． 【变式1】设，则的最小值为_____________． 【变式2】当时，则的最小值是______. 题型 07 基本不等式的恒成立问题 【典例1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【变式1】“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【变式3】若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 题型 08 对勾函数求最值 【典例1】已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【变式1】函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【变式2】求函数的最小值． 【变式3】当时，求函数的最小值； 题型 09 基本不等式的实际应用 【典例1】中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【变式1】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【变式2】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 题型 10 多元均值不等式拓展应用 【典例1】设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 1．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若，则函数的最小值为_____. 6．已知均为正数，，则的最大值为________． 7．若正实数满足，则的最小值为______． 8．已知实数，满足，则的最大值为_____． 9．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 10．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 1．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 7．下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 8．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 基本不等式 教学目标 1.掌握基本不等式的推导、成立条件、几何意义； 2.熟记一正、二定、三相等使用准则； 3.拓展含多个变量的均值不等式；区分和定积最大、积定和最小模型。 4.能直接用基本不等式求最值；会配凑定值（拆项、乘系数、换元）；处理含参最值、恒成立问题； 教学重难点 1.重点 ① 基本不等式形式、适用条件、几何意义； ② “一正二定三相等” 三大使用前提； ③ 和定积最大、积定和最小两类标准最值模型； ④ 配凑定值求代数式最值。 2.难点 ① 无定值时灵活配凑常数、拆项构造和 / 积定值； ② 等号取不到时的替代解法（单调性、导数）； ③ 含负变量、分式、高次代数式的变形处理； ④ 基本不等式实际应用题建模与定义域限制； ⑤ 多个变量均值不等式拓展应用。 知识点 01 重要不等式（基本不等式推导源头） 对任意实数，平方重要不等式： 当且仅当时，等号成立。 推导：。 拓展变形：。 【即学即练】 已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 知识点 02 基本不等式（均值不等式二元核心） 若，则 其中：算术平均数；：几何平均数； 文字表述：两个正数的几何平均数不大于算术平均数； 等号条件：当且仅当取等。 三大使用准则：一正、二定、三相等 一正：均为正数； 二定：和为定值，或积为定值； 三相等：存在实数能使。 【即学即练】 已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 知识点 03 基本不等式几何意义 直角三角形斜边上的中线≥斜边上的高： 设线段长，直径，半圆半径，垂线段长，直观验证。 【即学即练】 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 知识点 04 两类标准最值模型（核心应用） 积定和最小 若（定值），则； 当时，取得最小值。 和定积最大 若（定值），则； 当时，取得最大值。 【即学即练】 设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 知识点 05 基本不等式变形拓展（常用二级结论） 时： （调和 / 几何 / 算术 / 平方均值链） 含负变量变形：时令，转化正数再求解。 【即学即练】 若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确； 因为， 若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确； 因为，若，则，故C正确； 因为，若， 不一定大于1，例如，故D不正确． 知识点 06 三元均值不等式拓展（多变量） 若，则，当且仅当取等； 适用：三项式求最值，配凑三项和 / 积定值。 【即学即练】 若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 知识点 07 对勾函数 单调区间：递增，递减；递减，递增 作用：当基本不等式等号取不到时，利用单调性求最值。 【即学即练】 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 题型 01 利用基本不等式比较大小 【典例1】若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A 【变式1】若且，则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】由题干条件利用基本不等式求得及，再结合即可判断. 【详解】， 又，． ，， 且，， 又，所以， 最大． 故选：B 题型 02 利用基本不等式证明不等关系 【典例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用作差法比较代数式的大小判断A、B；由放缩及基本不等式判断C；应用特殊值举反例判断D. 【详解】A：由，则，则，对； B：由，则， 所以，则，对； C：由，则，对； D：若，则，错. 故选：ABC 【变式1】若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断充分性，利用基本不等式及不等式的性质判断必要性即可得解. 【详解】取，满足，此时，即推不出； 因为，，所以，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 【变式2】下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． 题型 03 基本不等式求和的最小值（积定和最小） 【典例1】已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 题型 04 基本不等式求积的最大值（和定积最大） 【典例1】已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先化简成同底数幂，再利用基本不等式（积定和最小）可判断A；先利用消元法，再利用基本不等式可判断B；利用基本不等式（和定积最大）、柯西不等式、二次函数单调性均可判断C；利用常数代换法、函数单调性均可判断D. 【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确； B.由得， =，当且仅当， 即时等号成立，B错误； C.法一：（基本不等式）由得，即， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 法二：（柯西不等式）， 同理时等号成立， 法三：（二次函数单调性）由得， ， 当时，函数有最小值，C正确； D. 法一：（常数代换法）由得， ==1， 当且仅当，即时取等号， 法二：（函数单调性）由得, =，令， 二次函数开口向下，对称轴，当时， 所以，当且仅当时取等号，D正确. 【变式1】若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 【变式2】已知，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】BCD 【详解】对于A，由， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6，故D正确. 【变式3】已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断A选项；由结合二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B正确； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，故的最小值为，C正确； 对于D选项， ， 当且仅当，该方程组无解，不符合题意，故等号不成立，D错误. 【变式4】已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 题型 05 条件等式约束下求最值 【典例1】已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 【变式1】已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式及不等式性质得到，注意等号成立条件，将条件变形为，再由基本不等式求的范围，注意等号成立条件. 【详解】由，解得，当且仅当时，等号成立， ，解得，当且仅当时，等号成立， 由，得， 由，得，解得， 当且仅当时，；当且仅当时，. 故选：ACD 【变式2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 【变式3】设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 题型 06 二次与二次（或一次）商式的最值 【典例1】函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 【变式1】设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 【变式2】当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 题型 07 基本不等式的恒成立问题 【典例1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 【变式1】“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 【变式2】已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 【变式3】若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 题型 08 对勾函数求最值 【典例1】已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 【变式1】函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 【变式2】求函数的最小值． 【答案】 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时，． 【变式3】当时，求函数的最小值； 【详解】由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. 题型 09 基本不等式的实际应用 【典例1】中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 【变式1】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【变式2】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 题型 10 多元均值不等式拓展应用 【典例1】设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 1．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 3．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 4．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 5．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 6．已知均为正数，，则的最大值为________． 【答案】 【分析】对式子进行整理化简，通过放缩和重要不等式计算最大值． 【详解】由题意得 当且仅当时等号成立，即． 7．若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 8．已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 9．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 10．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 1．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 2．下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合对勾函数性质判断①；结合基本不等式判断②③④. 【详解】①化简得：，令， 函数在时单调递增，因此最小值为， 等号取不到（等号成立条件不满足），①错误. ②展开得：，由基本不等式， 因此原式，等号成立条件为，因此最小值为9，②正确. ③已知，则，令，则， 由基本不等式，得，③正确. ④，要证，等价于证明：， 整理得，当且仅当时等号成立，④正确. 3．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 4．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】已知， 分子相同为1，正数分母越大，分数越小，，故A错误； ，已知， 则，故，即，故B正确； 指数函数，当时，函数单调递增，由得； 当时，函数单调递减，由得， 故无法确定大小关系，故C错误； ，已知， 由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，故D正确． 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由，利用的符号判断A、B，化并应用基本不等式判断C、D. 【详解】已知，， 由于均为正数，和也都大于0 ，则， 判断正负可以转为判断正负. ， 因为，，所以恒成立， 即，又，所以，B正确，A错误； ，因为均为正数，所以， 将分子和分母同时除以：， 对于分母，由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故，C正确，D错误. 6．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 7．下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 8．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $