精品解析： 上海市杨浦区2025--2026学年七年级数学上学期期中考数学试卷

2025学年第一学期七年级数学学科期中质量调研卷 （时间：90分钟 满分：100分） 2025年11月 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 直接计算每个选项的表达式，根据幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）和同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）进行判断． 【详解】解：选项A：，符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方的逆运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂乘法及积的乘方得逆运算法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 故选：C． 3. 如果A是一个七次整式，B也是一个七次整式，那么一定是（ ） A. 十四次整式 B. 七次整式 C. 不高于七次的整式 D. 六次整式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，两个七次整式相加，最高次项可能因系数互为相反数而抵消，因此和的次数不高于七次． 【详解】解：∵ A和B都是七次整式， ∴ A和B的最高次项次数均为7， 当A和B相加时，最高次项可能抵消，导致次数降低；若未抵消，则次数仍为7， ∴的次数不高于7， 即是不高于七次的整式． 故选：C． 4. 如果，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，易错点是符号的变化规律，以及偶次方和奇次方的性质．通过计算每个等式的左右两边，发现选项A、B、D在时均不成立，而选项C恒成立． 【详解】解：A、，故本选项错误，不合题意； B、，故本选项错误，不合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 5. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，属于因式分解，符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，右边含有分式，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：AD． 6. 已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴ 多项式为， ∴． 即因式分解结果为． 故选：B． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 化简：________________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，通过合并同类项法则进行化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 8. 简便计算： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 若是关于x、y的六次单项式，则a＝__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式．根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的六次单项式， ∴， 解得：， 当时，系数，符合题意． 故答案为：1． 10. 如果单项式和是同类项，那么的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，从而列出关于m 和 n 的方程，并求解． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为：． 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以多项式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． 12. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再运用同底数幂的除法法则（指数相减）计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解，先将原式变形，然后提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为： ． 15. 如果整式是一个整式的平方，那么的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式得出，即可求出的值． 【详解】解：∵整式 是一个完全平方式， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 计算：_________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，将看成一个整体是解题关键．通过观察表达式，发现和，从而将看作整体，再应用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 已知，的值是_________． 【答案】或0或 【解析】 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，方程成立需考虑三种情况：底数为1；指数为0且底数不为0；底数为且指数为偶数，即可求解． 【详解】解：当底数时， 解得，此时指数为，得到，等式成立； 当指数时， 解得，此时底数为，得到，等式成立； 当底数时， 解得，此时指数为，为偶数，得到，等式成立； 其他情况均不满足等式， 故答案为：或0或． 18. 1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第个数是_________（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，观察第3条斜线上的数为从1开始的连续的整数的和，进行求解即可． 【详解】解：由题意和图可知： 从左边数第3条斜线的第1个数是：1； 从左边数第3条斜线的第2个数是：； 从左边数第3条斜线的第3个数是：； 从左边数第3条斜线的第4个数是：； 依次类推： 从左边数第3条斜线的第个数是：； 故答案为：． 三、简答题（共40分，19~22题每题4分，23~26题每题6分） 19. 在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 【答案】乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则和乘法运算律，正确掌握相关运算法则和运算律是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律得出答案． 【详解】解：……………………（乘法交换律和结合律） ……………………（乘法结合律） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘． 故答案为：乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂． 20. 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 21. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 22. 已知，求的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．化简已知式子，得的值，所求式子利用完全平方公式变形后，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 23. 以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 【答案】 小明做得不正确，从第③步出错， 小明在步骤③中错误地将加法运算视为乘法运算，并且错误地改变了因式，导致因式分解错误． ． 【解析】 【分析】题目主要考查利用提公因式法和公式法分解因式，根据题意，将原式分组，然后利用完全平方公式和平方差公式公式因式分解即可． 【详解】略 24. 先因式分解再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】先利用提公因式法、公式法因式分解，然后代入求值即可. 【详解】解： 把代入上式， 则原式 【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法、公式法因式分解是解决此题的关键. 25. 已知，要求的值，有以下两种方法： （法一）把代入，得： 原式 （法二）把整体代入，得： 原式 根据以上材料，已知，求的值． 【答案】2017 【解析】 【分析】题目主要考查已知式子的值，求代数式的值，理解题意是解题关键． 利用已知条件推导出，进而求出，然后代入原表达式化简求值即可． 【详解】解：由，得， 则， 将代入，得 ∴原式 ． 26. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，整式混合运算的化简求值等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，求出，，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ， 所以， 解得， ∴． 四、解答题（共18分，其中第27题9分；第28题9分） 27. 如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． （1）分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； （2）如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； （3）分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； 【小问3详解】 解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 28. 阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， （1）请判断是否是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； （3）请尝试将整式进行因式分解． 【答案】（1）是 （2）； （3） 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解，理解题意是解题关键． （1）根据题意，将代入整式计算即可判断； （2）根据题意将代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将、、代入整式计算，然后求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ， ∴是整式的一个因式； 【小问2详解】 当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级数学学科期中质量调研卷 （时间：90分钟 满分：100分） 2025年11月 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如果A是一个七次整式，B也是一个七次整式，那么一定是（ ） A. 十四次整式 B. 七次整式 C. 不高于七次的整式 D. 六次整式 4. 如果，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 化简：________________． 8. 简便计算： ______________． 9. 若是关于x、y的六次单项式，则a＝__________． 10. 如果单项式和是同类项，那么的值是_________． 11. 计算：_________． 12. 计算：_________． 13. 因式分解：_______． 14. 因式分解：_________． 15. 如果整式是一个整式的平方，那么的值是_________． 16. 计算：_________．（结果用幂的形式表示） 17. 已知，的值是_________． 18. 1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第个数是_________（用含的代数式表示） 三、简答题（共40分，19~22题每题4分，23~26题每题6分） 19. 在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 20. 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 21. 因式分解：． 22. 已知，求的值． 23. 以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 24. 先因式分解再求值：，其中． 25. 已知，要求的值，有以下两种方法： （法一）把代入，得： 原式 （法二）把整体代入，得： 原式 根据以上材料，已知，求的值． 26. 已知，求的值． 四、解答题（共18分，其中第27题9分；第28题9分） 27. 如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． （1）分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； （2）如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； （3）分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 28. 阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， （1）请判断是否是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； （3）请尝试将整式进行因式分解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $