湖北省圆创教育联盟2026届高三11月阶段性训练（期中）数学试题

2026届高三年级阶段训练 数学试卷参考答案与详解 题号 1 2 3 5 8 9 10 11 答案 A C B B D B BCD AC ABD 1.【详解因为1+2=4十3，所以文=士1-4士3D1二20-1051=2-i. Γ1+2i(1+2i)(1-2i)-5 故选A. 2.【详解】由x2-5.x-6<0,得(x-6)(x+1)<0,解得-1<x<6.所以A∩B={0,1,2,3,5}. 故选A 3.【详解】由题意，f'(x)=e(x2+ax+2+2x+a)=e[x2+(a+2)x+(a+2)], 所以△=(a十2)2-4(a+2)>0,所以(a+2)(a-2)>0,即a>2或a<-2.故选C 4.【详解】因为f(x)=4sinx cose-I sing+1-2/3 sinccosr-2sinz2+1=13 sin2.x +cos2r=2sin (2x+),所以f(x)的最大值为2，故选B, 5.【详解】因为f(x)=e-e4-x, 所以f(4-x)=e4-r一e',f(-4-x)=e4-r-e8+x. 所以f(-4-x)≠f(x),故A错误；f(一4-x)≠-f(x),故B错误；f(4一x)=一f(x),故C正确； f(4-x)≠f(x),故D错误.故选C. 6【详解器-瓷-会：-又1A1-6所以F-2故选R 7.【解析】分三种情况讨论，其一：x1十x2十x3十x4十x5=1,此时，从x1,x2,x3,x4,x5中任取一个让其 等于1，其余等于0，于是有C=5种情况；其二：x1十x2十x3十x4十x6=1,此时，从x1,x2,x3,x4,x5 中任取两个让其等于1任取一个让其等于一1其余等于0，于是有C号Cg=30种情况；其三：x1十x2十 x3十x4十x5=1,此时，从x1,x2,x3,x4,x5中任取三个让其都等于1，其余两个等于一1，于是有C号= 10种情况.由于5十30+10=45.故选D. 8.【详解】考察极限情况，当上底面是圆时，有小球的半径最大.此时由于柱体的高为1，所以半径的最大 值为故选B BC AC 【详解方法一由正弦定理得：A·所以6C sin45sinB,得BC-52 sinB 数学试卷参考答案与详解第1页（共10页） 又∠A+∠B+∠C=180°，所以∠B+∠C=135 则0°<∠B<135°. 在区间(0,3）内，sinB∈(0，. 当B→0+，sinB→0+，则BC→十o;当B=90°，BC=5√2（最小值）. 因此，BC的取值范围为[5√2，十o).故选BCD. 方法二：由图知：BC≥AC×sin45°=5√2.故选BCD. B 10.【详解】设g(t)=(a十2tb)2=4b2t+4a·bt十a2,则△≤0恒成立， 当t=-4a·b-lalcos0 时，g(t)取得最小值4. 8b4 2b 此时16a2.b13-16(a·b 161b2 -=4,化简得|a|2sin0=4. 所以0确定，a唯一确定，A正确，B错误； 45 当0=牙时，a= 3C正确， 当a-4时sm=士写面0E[0,,所以0-音或子，D错误放选AC 3 11.【详解】 A. 3 D D 2 2 N B D G A M 2 D G B 3 3 图① 图② 3 M 7 2 E 么 13 2 7 ---A √3 17 R E 图③ 图④ 数学试卷参考答案与详解第2页（共10页） 对于选项A: 如图①，设CE∩DA=G,连接GF并延长，记GF∩AA1=M,GF∩DD1=N;连接ME,NC,则经过 C、E、F三点的截面为四边形CEMN,∴.A选项正确， 对于选项B: 如图②，过点F作FH⊥AD于点H. 在R△A,AD中，F为A,D的中点.A,A=6FH=号A1A=3. 在△FHG中wA1-m-号AM-号FH=2 在△NDG中，AM为DN边上的中位线，∴.|DN|=2|AM=4, 六在R△MAE中，由勾股定理知ME=√AW+A-2+(》-. 在R△CBE中.CE=√BE+BC=,√》+5- 2 在Rt△CDN中，ICN|=√DC+DN2=√2+42=√17. 在R△GDN中，MN=2GN=2DG+DN=V23)P+4华=J7. 如图③，在梯形EMNC中，过点E作ERMN交CN于点R. )+四- 在△ECR中，由余弦定理知：cOs∠ECR 2.13.17 √13·√17 2 2 ∴.sin∠ECR= 2√55 13·√17 ·梯形EMNC的高为CE·sin∠ECR= ,255 55 2 13·1717 2 √17 3√/55 ∴.截面EMNC的面积为 ,∴B选项正确 2 4 对于选项C: 如图④，在三棱锥M一AGE中，设点A到平面MGE的距离为h, 在△GEM中，∠GEM=∠ECN=∠ECR, SBw-2·lEG1·EM·sSin∠GEM=}.B.7.2厉=V55 1 22 213·/17 4 数学试卷参考答案与详解第3页（共10页） 4 而V=Ve,即g·Sh= 1 ·SGA·2 ..h 2SAGAE 2.3 4 232 SAGEM √55 √55'√55 4 ∴C选项错误； 对于选项D: 长方体ABCD-AB1C1D1的体积为1·√3·6=65， .DA,CE,MN相交于同一点G, ∴.截面下方的几何体EAM一CDN为三棱台 11 1 S=SAe=2·2·2=2 1 S,=SacN=21·4=2 H=|AD|=3, ee-s,+6.+-/.)-号+经·28=g 1 6 又63-73_293、75 666 75 V 7 V 6 29329' 6 D选项正确. 综上，答案为ABD. 12.【详解】由a42=2(a3+a5+6)=4a4+12,得a42-4a4-12=(a4-6)(a4+2)=0. 因为a4>0,所以a4=6,所以a1十3d=6,可得d=1,所以a3=a1十2d=5.填：5. 13.【详解】P(-a,0),F(一c,0),设直线方程为y=x+c,联立双曲线方程，消去x,得(b2一a2)y2- 2cb2y+b4=0. 26c 6 设A(1y1),B(x2y2),则y1十y22-ay1y2=2-a2 2√2ab2 所以y-yz=√y1十y2)=4y1y262a2 数学试卷参考答案与详解第4页（共10页） 所以S△PB= 2PFy%=c-a)…22-6 b2-a2 化简得c-ac-a2=0.所以（仁）--1=0， a 所以后-中负位会放城：中 2 14.【详解】x)=+子为奇函数 x>0时，f'(x)=3x2- 22 fry=sr+0… ∴f(x)在第一象限为下凸函数， ∴f(x)的图象如图所示. y个 P(xy) M 记点Q(x2,y2)关于原点的对称点为Q'(一x2,一y2), M PQ的中点M,) 了Q'(-x,-y2) Q () 0 .P,Q',M都在第一象限. 连OM交f(x)第一象限内的图象于点M', .|PQ|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2 4。)+2汀-21oM≥21ow1 设M'(xx+）,(x>0) 0M=+(e+)-g g'x)=2x+2(+8x-x) =2x+2.x+1.3z-1 =2.x+(x+10(3x-1D 23 -是aar-i 令g'(x)=0有3.x8+3.x4-1=0 数学试卷参考答案与详解第5页（共10页） “x4=-3+V9+12 √21-3 2·3 6 即x,‘=2-3 6· 15.【解1K1P(X≤6)=p(X≤4-2a)=1-0,9545≈0.02 …(6分) 2 (2)每辆车是否更换相互独立，且概率p=0.02,故Y一B(100,0.02)…(8分) 由二项分布公式，知分布列数学期望E(Y)=p=100p=2 (10分) 分布列为P(Y=k)=C1(0.02)女(0.98)10-，k=0,1,2,…,100…(13分) 16.【解】(1)证：取AC中点记为M. 因为M与E分别是AC与CD中点，所以DA/ME. 又由DA⊥AC,则ME⊥AC.…(2分) 同理MF/BC且BC⊥CA,则MF⊥AC. …(4分) 所以AC⊥面MEF,从而AC⊥EF.… …(6分) (2)构造直棱柱，建立空间直角坐标系 ↑轴 y轴 B x轴 以C为原点，CB为x轴，垂直于CB的直线CG为y轴，CA为之轴建立空间直角坐标系.… …（7分)） CA为平面DAC与ACB的交线，同时MF⊥CA,ME⊥CA,因此二面角D一AC-B即为角EMF, 所以∠EMF=…（8分） 因为ME/CH,MF/CB.所以∠BCH=F 3· …(9分) 所以B(2,0,0),C(0,0,0),D(1,√3,1)，A(0,0,1).… (10分) 由于E,P分别是CD,AB的中点所以E号号，F10, 1 数学试卷参考答案与详解第6页（共10页） 进而E市三（之，0）. …(11分) 设平面BCD法向量为n=(xoyo,之o), 而BC=(-2,0,0),BD=(-1,3,1), 由于BC·n=0,BD·n=0, 1-2x0=0, 则 -x0+W3y0+z0=0, 从而n=(0,l,一√3).… …（13分) 所以直线EF与平面BCD所成线面角正弦值sia=|cosd= EF·n13 4 …（15分) 17.【解】 (1)a=1,f(x)=x+cosz-sinx, f'(x)=1-sinx-cosx=1-√2sin(x+x）月 4 …(1分) 当x0时a+e[匠 所以r'≥0时.1一En(+）≥0，即sm女+)<号 ………………(3分） 所以f()0时，同理，得x∈0，引 所以)在0，上单调递减，在x上单调递增， 所以f(x)=f(）-+cos受一-sim空- ππ (5分) 由f(0)=0+cos0-sin0=1,f(x)=π十cos元-sinπ=π-1>1，得 f(x）mx=f(π)=π-l. …(7分) (2)由题意得：f'(x)=1-sinx-在(0，受)上有且仅有一个变号零点. 因此可化为a= 1-sinx …(9分) cosx 设g(x)=1-sinx COS 数学试卷参考答案与详解第7页（共10页） g(x)=1-sinc (sin -cos) cos -sin2 1-tan 2 tan -tan 2 πx cos +sin2 1十tan2 -tan 4 1-tan itan 2 2 cos 2 x∈(o,）至-艺∈(o,年）am(乐-)(01D, 又g（x)在(0，）上单调递减.… (14分) 所以0a<1. (15分) 18.【解】(1)设M(2cos0,sin0),则T(2cos9,2sin0), 所以知 =2. …(5分) (2)设M(x1,y1),N(x2y2),直线MN:x=ny+. 设直线BM:y=k(x一2)，则y1=k(x1一2). 直线AN:y=2k(x十2)，则y2=2k(x2十2). 易知k≠0，则2y1(x2十2)=y2(x1一2). (7分) 由+=1，得好=-+2：-2 4 可得8y1y2=-(x1-2)(x2-2). 即(8十m2)y1y2十m(n-2)(y1十y2)+(n-2)2=0.①…(9分) 将x=y十n代人号+y=1,有m2+y+2my十n-4=0. 2mn 则y1十y2= n2-4 m2+4'y1y2= m2+4 代入①式：得(8+m2)(m2-4)-2m(n-2)mn十(n-2)2(m2+4)=0. 解得u=2(会去)m=一号，即直线MN过定点(-号0) 2 …（11分) (3)易知MN、PQ的斜率均存在，设MN中点为R(c,d). 设MN:y=t1(x-c)+d,设PQ:y=t2(x-c)+d. 将MN与椭圆方程联立，得 (1+4t)x2+(8t1d-8t斤c)x+(4tc2-8t1cd+4d2-4)=0. 8td-8tic 4tc2-8t1cd+4d2-4 则xM十xN= (13分) 1+4斤 1+4 则|RM|·RN|=1+(cw-c)w1+7(c-xw)=-1+)2+4-4 1+4t2 数学试卷参考答案与详解第8页（共10页） 同理RP·RQ=-1+)+4W-4 (15分) 1+42 PQ为MN中垂线，且PM⊥MQ,记PQ∩MN=R. 在Rt△PQM中，MR2=PR·QR. .MR·NR=PR·QR. ∴.四边形MPNQ四点共圆.且c2+4d2一4≠0. 则+=1+，化简得=. 1+4t号1+4t号 又t1t2=-1,于是t1=士1.…(17分) 19.【解】(1)S1=0,而S:∈N(i=1,2,3,…,2") S1<S,<S<…S-1<S,则 S2-S1≥1 S3-S2≥1 … S24-S4-1≥1 由以上各式相加：Sm一S1≥(2”-1)·1，S1=0 .S2≥2"-1. 当集合{a1,a2,…am}={2°，2，…2"}时，有S,=2”-1… …(4分) (2)记5= 十s++S2,方差为D=2(S,-5) 2 2 设x,=S,-S,其中i=1,2,…,2”,则x1十x2十…十xm=0 x:(1≤i≤2")为实数且满足|x:一x+1≥1(1≤i≤2”-1). ≥29，-1,92+1-2-2 12 当a:=2-1(i=1,2,…,n)时， D取到最小值为空：-（空 12 ………(10分) (3)对于n个元素的集合{a1,a2,…,an}共有2个子集，集合元素之和分别为 S1,S2,…,S2m… 如果取a1时，{a1,},出现a1的集合有C9-1十C-1十…十C”二}=21个 刀一1个元 数学试卷参考答案与详解第9页（共10页） $$\therefore S _ { 1 } + S _ { 2 } + \cdots + S _ { 2 ^ { n } } = 2 ^ { n - 1 } \left( a _ { 1 } + \cdots + a _ { n } \right)$$ ① 对于 $$S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + S _ { 2 ^ { 2 } }$$ 的解法 出现 $$a _ { 1 } ^ { 2 }$$ 项的次数为 $$C _ { n - 1 } ^ { 0 } + C _ { n - 1 } ^ { 1 } + C _ { n - 1 } ^ { 1 - 1 } = 2 ^ { n - 1 }$$ 个 出现 $$a _ { 1 } a _ { 2 }$$ 项时，即 $$\left( a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots \right) ^ { 2 }$$ ，共有 $$C _ { n - 2 } ^ { 0 } + C _ { n - 2 } ^ { 1 } + \cdots + C _ { n - 2 } ^ { n - 2 } = 2 ^ { n - 2 }$$ 个 一2个元 $$\therefore S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + S _ { 2 ^ { 2 } }$$ $$= 2 ^ { n - 1 } \left( a _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } \right) + 2 \left($$ $$a _ { i } a _ { j } \cdot { 2 ^ { n - 2 } }$$ $$2 ^ { n - 1 } \left[ \left( a _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } + \sum _ { 1 - 1 } ^ { 2 } + a _ { n } ^ { 2 } + \cdots ， a _ { j } a _ { n } ^ { 2 } ， \cdots + a _ { n } ^ { 2 } ， a _ { 2 } ，$$ $$D = \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \left( S _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + S _ { 2 0 ^ { 2 } } _ { 2 } \right) = \left( \frac { S _ { 1 } + S _ { 2 } + \cdots + S _ { 2 } } { 2 ^ { n } } \right) ^ { 2 }$$ 由① ② 代入 ③ 得到 $$D = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( a _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } \right) +$$ $$\sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } a _ { i } ， - \frac { 1 } { 4 } a _ { i } \left( a _ { 1 } + \cdots + a _ { n } \right) ^ { 2 }$$ $$= \frac { 1 } { 4 } \left( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } \right) \ge \frac { 4 ^ { n } - 1 } { 1 2 }$$ $$\therefore a _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } \ge \frac { 4 ^ { n } - 1 } { 3 }$$ -1 ..............................................................................(17分) 数学试卷参考答案与详解第10页(共10页) 2026届高三年级阶段训练 数 学 本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足(1+2i)z=4+3i，则z= A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i ．2．已知集合，则A∩B= A.{0,1,2,3,5} B.{1,2,3,5,6} C.{0,2,3,5,6} D.{1,2,3,5} 3．已知函数有极值，则a的取值范围是 A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪[2,+∞) 4．函数的最大值为 A.1 B.2 C.2 D.3 5．已知函数，则 A.f(x)的图象关于直线x=-2对称 B.f(x)的图象关于点（-2,0）对称 C.f(x)的图象关于点（2,0）对称 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 6．设抛物线的焦点为F，不经过F的直线与M交于A,B两点，与y轴交于点C.点A的坐标为（4,4)，且ΔBCF与、ΔACF的面积之比是1:4，则BF|= A.1 B.2 C.3 D.4 数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．设集合，那么集合A中满足条件的元素个数为 A.15 B.35 C.40 D.45 8．一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长32cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为 A. B.m C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在ΔABC中，，则BC的值可以是 A.6 B.8 C.10 D.5 10．设θ是两个非零向量a,b的夹角，若对任意实数t，|a+2tb的最小值为2，则下列结论中正确的是A.若θ确定，则｜a｜唯一确定 B.若|a|确定，则θ唯一确定 C.若，则 D.若，则 11．在长方体中，分别为AB、D的中点，经过C，E,F三点的平面将已知长方体分成两部分，则 A.截面的形状为四边形 B.截面面积为 C.点A到截面的距离为 D．截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7:29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列的各项均为正数，若，则 13．已知双曲线Γ：，P为Γ的左顶点，过Γ的左焦点F作斜率为1的直线交Γ于A、B两点，若ΔPA的面积为，则Γ的离心率为 14．已知函数，点在函数y=f(x)的图象上，且分别位于第一、三象限.设线段PQ的长度取最小值时点P的横坐标为，则 数学试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分） 已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布N(10,），其质保政策规定：电池寿命低于6年可免费更换． （1）求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到0.01)； （2）某出租车公司购买了100辆该品牌汽车，记Y为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求Y的分布列和数学期望. 附：若随机变量X服从正态分布，则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545. 16.(15分） 如图，在四面体ABCD中，，E,F分别为CD,AB的中点. （1）证明：EF⊥AC; （2）若二面角D-AC-B为，求直线EF与平面BCD所成角的正弦值. 17.(15分） 已知函数f(x)=x+cosx-asinx，其中a为常数. （1）当a=1时，求f(x)在区间［0，π］上的最值； （2）若f(x)在区间上有且仅有一个极值点，求a的取值范围. 数学试卷 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分） 已知A,B分别是椭圆Γ：的左，右顶点，动点T满足TA⊥TB，过T作TH⊥AB于H，线段TH交椭圆Γ于点M；过A作AN⊥AT，交椭圆Γ于点N. （1）设直线AN,BM的斜率分别为，求的值； （2）求证：直线MN过定点； （3）设线段MN的垂直平分线交椭圆Γ于P、Q两点，若MP⊥MQ，求MN的斜率. 19.(17分） 已知数列，为严格单调递增的正整数数列，的子集有个，分别计算每个子集的元素和得到（规定空集元素和为0)，已知 （1）求的最小值； （2）求方差的最小值； （3）求证： 数学试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $