精品解析：四川省凉山州西昌市2025-2026学年高二上学期期中学科素养监测数学试题

2025-2026学年度上期期中学科素养监测高二数学 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页．全卷满分为150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 3. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线和相互垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（ ） A. B. C. D. 7. 点到直线的最大距离为（ ） A. 2 B. C. D. 1 8. 如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分） 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，事件，事件，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 10. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（　　） A. 8 B. 6 C. 2 D. 11. 在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点满足，其中，则（　　） A. 平面平面 B. 对于任意，三棱锥的体积为定值 C. 周长的最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为_________． 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为___________． 14. 如图，“爱心”图案是由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图像上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为___________． 四、解答题（本题共3小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程． 17. 2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． （1）求甲队员通过测试的概率； （2）若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 18. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求面与面所成角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，为的中点．平面． （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在一点使得直线与面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期中学科素养监测高二数学 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页．全卷满分为150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】向量，，则. 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线的斜率公式为，先使用这个公式求出直线的斜率，再用公式，求出倾斜角即可. 【详解】， ， 设倾斜角为，， ， ， ， . 故选：A. 3. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项. 【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为， 故选：C. 4. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件. 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知直线和相互垂直，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程计算求参. 【详解】直线和相互垂直， 则，则. 故选：D. 6. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件求出的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出. 【详解】由题知三个社团都能进入的概率为， 即， 又因为至少进入一个社团的概率为， 即一个社团都没能进入的概率为， 即， 整理得. 故选：C. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算问题，属于基础题. 7. 点到直线的最大距离为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得直线恒过定点，题意所求最大距离即为点到定点的距离，结合两点求距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知， 直线即， 所以该直线恒过定点， 则点到直线的最大距离即为点到定点的距离， 即. 故选：C. 8. 如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律可求，故可求线线角的余弦值. 【详解】因为分别为棱的中点且正四面体的棱长为2， 故， 而，， 故 ， 故，故和夹角的余弦值为， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分） 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，事件，事件，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，利用和事件、积事件的定义及古典概率公式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 又，则，所以A错误， 对于B，因为，，则，所以，故B正确， 对于C，由题知，所以，又， 则，所以，故C错误， 对于D，因为，则，又， 则，所以，故D正确， 故选：BD. 10. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（　　） A. 8 B. 6 C. 2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别计算出直线的斜率即可求出结果. 【详解】如下图所示： 易知直线的斜率分别为， 结合图形可知当直线的斜率满足或时，满足题意； 因此直线的斜率可能是. 故选：ABD 11. 在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点满足，其中，则（　　） A. 平面平面 B. 对于任意，三棱锥的体积为定值 C. 周长的最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用正方体的性质结合已知条件，得出各点坐标和相应向量，再根据向量垂直、共线等性质，结合两点之间线段最短、正方体外接球的相关性质，以及点到平面距离公式、圆的面积公式等逐一分析判断选项． 【详解】以点为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 正方体是边长为2的正方体，点是线段的中点， ，， ， ， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则； ，令，则， ， 平面与平面的法向量， 平面平面，故A正确； ，， ， 与不垂直，即与平面不平行， 当在运动时，点到平面的距离不是定值，则三棱锥的体积不是定值，故B错误； 将平面沿旋转至与平面共面，如下图所示， ， ， 周长的最小值为，故C正确； 正方体的球心，球半径，， 当时，，，， 设平面法向量为，则，令，则， 球心到平面的距离， 设平面截正方体的外接球所得截面圆半径为，则 ， 平面截取正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0即可得出结果. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间距离的向量求法直接计算即可得出结果. 【详解】易知，则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 如图，“爱心”图案是由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点是该图案上一动点，是其图像上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析图案，得出的最大值为图象上的点到直线的最大距离的2倍，再求出值，构造直线的平行线与相切，求出直线方程进而求出图象上的点到直线的最大距离，从而求出的最大值． 【详解】“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成， 的最大值为图象上的点到直线的最大距离的2倍， 函数经过点，，解得， 设直线与函数相切，则，联立得， ，解得， 直线与直线间的距离， 的最大值为． 故答案为：． 四、解答题（本题共3小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标运算法则，列出关于的方程，从而求得的值； （2）根据向量垂直的坐标表示，求得的值. 【小问1详解】 由， 得，可得. 【小问2详解】 因为，所以. 即，解得. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点，再根据直线的两点式方程求解； （2）根据垂直求边上的高所在直线斜率，再根据点斜式方程求解. 【小问1详解】 因为，， 所以的中点为， 又边上的中线经过点， 所以边上的中线为，即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在直线斜率为， 又边上的高经过点， 所以边上的高所在直线为，即. 17. 2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． （1）求甲队员通过测试的概率； （2）若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 【答案】（1） （2）的情况：0，10，20；对应概率：，， 【解析】 【分析】（1）甲同学投中2次或3次通过测试分别求出概率即可； （2）分别求出甲、乙通过测试和没有通过测试的概率，分析出0，10，20，进而可以求出所对应的概率； 【小问1详解】 由条件知甲同学通过测试的概率为． 【小问2详解】 由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为， 根据题意乙同学通过测试的概率为， 所以乙同学没有通过测试的概率为， 则，10，20， 因， ， . 18. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求面与面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明： 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为侧面为正三角形， 所以， 因为侧面底面，且侧面底面， 而底面为矩形， 所以，且平面， 故平面，而平面， 所以，且，平面，平面， 所以平面， 又，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据几何性质证得，再通过线面垂直证明平面，从而得到平面. （2）取的中点，的中点，连接，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求解平面与底面的法向量，结合空间向量的坐标运算求解面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，， 因为为正三角形，所以， 因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面， 又，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系， 设，故，，， 故，，，，， 设平面的法向量为， 则即 解得，令，则，所以， 又底面的法向量为， 设侧面与底面所成角大小为， 所以， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，为的中点．平面． （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在一点使得直线与面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，GM， 与为等腰直角三角形且， ，.. E、F分别为BC、PD的中点 ，且. ， ，∴四边形FGMN为平行四边形， 平面PAB，平面PAB 平面PAB； （2） （3）存在；点为棱的中点.理由如下： 由（2）知， 平面PCD的一个法向量为. 设，则Q点坐标为：， 故， 设直线与面所成角为， 则， 解得，故. 故棱上存在一点使得直线与面所成角的正弦值为，此时点为棱的中点. 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PCD的一个法向量，再根据点到平面距离公式求解即可； （3）通过向量的方法将Q点坐标设为，再通过已知条件求出，即可判断点为棱的中点. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 点到平面的距离为：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $