第5章 一元一次方程（知识清单）数学浙教版2024七年级上册

第5章 一元一次方程 1．方程：含有未知数的 叫做方程．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 2.等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减) ，结果仍 ．即：若a=b，则 ； 等式的性质2：等式两边乘 ，或除以 ，结果仍 ．即若a=b，则 ，或 ； 3.一元一次方程：只含有 未知数（元），未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程． 4.求方程的解的过程叫做 ． 5.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 ．依据是等式的 . (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．依据是等式的 . (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数项的 得到方程的解(a≠0)．依据是等式的 . (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 6.解决实际问题的一般步骤： （1）审：根据题意，审清已知条件与问题，审清题中数量及其关系； （2）设：设立适当的未知数表示题中的量； （3）列：表示出其他题中的量，并列出符合题意的一元一次方程的等式； （4）解：解一元一次方程； （5）验：验证方程的解是否符合题意； （6）答：根据方程的解和题意回答问题。 7.常见的实际应用： （1）和差倍分问题； （2）几何周长与面积问题，常常考查长方形、正方形等图形的周长，面积；也可能考查三角形、长方形和正方形等图形等面积法。 （3）体积、容积问题，尤其是容积问题，常常考查等体积法。 （4）行程问题，路程= ，以及考查相遇与追赶问题、顺水逆水行船问题、火车进隧道等小学时候已学过的各类行程问题。 （5）工程问题，工作总量= 。总量也可以设为“1”，此时如果这项工程在n天（或者n小时）完成，则每天（或每小时）完成总量的 . （6）分配问题，分配已知总量使得满足“和差倍分”，比如第一组过去n个人到第二组，使得第一组人数是第二组的一半。只要抓住“和差倍分”关系列式即可。如：（第一组新的人数）=（第二组新的人数） （7）经营问题，销售额= ，其中售价按照实际卖出价计算，因此可能考虑打折和促销，数量有关于个数的也有关于重量的。 （8）利润率问题， 。毛利润=销售额－总成本=售价×数量－ =（ ）×数量； （9）分段计费问题。根据题意先求出每个分段的计费方式和计费单价，再根据所问求出不同分段下的结果。 （10）其他问题：比如数字问题，古代数学问题还有韦恩图问题等。 1.根据题意列式 错误：不能结合简单的数量关系的描述列式 注意：先设未知数，再用未知数表示其他的未知量，最后根据题意的等量关系，将不同的未知量列在等式中。 例1 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个数x与2的和的4倍等于28． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 2.已知方程的解解决问题 错误：不能根据已知的方程的解代入，对题目进行探究。 注意：在已知方程的解时，可以尝试将这个方程的解代入到方程中去，得到关于字母参数的其他等量关系，进而进行探究即可。 例2 （25-26七年级上·重庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 3.用等式的性质变形或求方程 错误：不能根据等式的性质1和性质2对等式进行变形，或通过移项和系数化为1来求解简易方程。 注意：根据等式的性质，我们可以对等式进行如下操作： （1）移项，根据等式的性质1，等式两边同时加上或者减去一个数，达到移项的效果。 （2）根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立。 （3）根据等式的性质2，可以将等式左边带系数的未知数的系数化为1，使得变成x=a的形式，即成为方程的解。 例3 （24-25七年级上·全国·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则 ；( ) （3）已知，则 ；( ) （4）已知，则 ．( ) 4.认识一元一次方程 错误：在没有整理前就根据定义判断是否为一元一次方程。 注意：判断一个等式是不是一元一次方程，要同时满足：①整理后等式中存在x；②等式两边均为整式；③未知数仅有一个；④未知数的最高次为一次。 例4 （25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 5.解一般的一元一次方程 错误：“﹣”号在解一元一次方程时非常重要。在解一般方程时，去括号时括号前是“﹣”号的，对括号中的所有单项不变号；或在利用等式的性质1移项时没有变号，在利用等式的性质2将未知数系数化为1时，遇到同乘或除以一个负数时，漏掉“﹣”号。 注意：遇到有“﹣”号时，要格外注意： ①去括号时，遇到括号前是“﹣”号的，去括号后，括号中的每一项都要变号，或乘以括号前的系数时，每一项都要乘以“﹣”号； ②移项使用的是等式的性质1，效果是每一单项从左边移到右边（或从右边移到左边）时，单项要变号。 ③在合并同类项后，要将左边关于微指数的一次单项式的系数化为1，则需要两边同时除以这个系数，当系数为负数时，注意右边同样要除以这个负数，每一项的结果同样要变号。 例5 （25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 6.解带分母的一元一次方程 错误：一元一次方程中的去分母是难点，常见的错误有两处： ①在等式两边同乘一个数时，常数项没有乘； ②混淆分子分母同乘一个相同的数的化简，导致在对分母有小数的分数进行化简时，其他项也跟着乘除。 注意：①等式两边同时乘以一个各分母的最小公倍数时，主要常数项也要乘，也就是每个单项都要乘； ②遇到分母有小数的化简时，要区分分子分母同乘一个数与等式两边同乘一个数的区别，前者是分数的性质，分子分母同乘一个相同的数，分数的大小不变，意味着与整个方程的其他项无关；而后者是等式两边同乘一个数，每一项都要乘。 例6 （25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 (1) (2) 7.根据新定义或规则列式解决问题 错误：对新定义运算的运算法则和运算顺序理解不够。 注意：新定义问题，首先要理清楚新的运算法则，以及运算顺序，尤其是括号不能省略。 例7 （25-26七年级上·安徽合肥·期中）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 例8 （2024七年级上·全国·专题练习）一个“数值转换机”按如图所示的程序计算，若输入的数是，则输出的结果为，要使输出的结果为，则输入的最小正整数是 ． 8.已知一元一次方程的解探究字母参数 错误：遇到一元一次方程中，存在表示常数的字母参数时，不能根据方程的解的作用进行探究。 注意：学会将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的等式，进而求出字母参数的值，或进行其他探究。 例9 （22-23七年级下·福建泉州·期中）小李在解方程时，误将看作，解得方程的解，则 ． 例10 （25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 9.解决一元一次方程的实际问题的基本步骤 错误：在实际问题中常见的错误：①不能用所设的未知数x表示题中其他数量；②不能根据题目描述，或根据实际问题中的等量关系列式；③解得的方程的解不进行验算，也不检验是否符合题意。 注意：解决实际问题要遵循：①审②设③列④解⑤验⑥答，具体注意回顾知识清单中的第6点。 例11 （25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． (1)求参加研学的学生人数； (2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 10.等面积、等体积法的使用 错误：不能根据题目隐含的面积不变或者体积/容积不变来列等式。 注意：注意运用等面积法和等体积法列一元一次方程，解决问题。 例12 （24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，高分别为和．先在右侧容器中倒满水然后将其倒入左侧容器中．倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米？小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有．列方程．解得． (1)通过计算比较容器大小，并对小刚的结果作出合理的解释． (2)为避免出现通过小刚的方式操作后左侧容器中的水面离容器口距离为负数，若将右侧容器中的水倒入到左侧容器中后，恰好使得左侧容器倒满，此时右侧容器中的水离右侧容器口有多高？ 11.相遇问题与追及问题 错误：不能根据相遇问题或者追及问题列出正确的关于路程的等量关系。 注意：相遇问题的等量关系：A的路程+B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度+B的速度）×时间=AB之间的距离；追及问题的等量关系：A的路程（速度快的）－B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度－B的速度）×时间=AB之间的距离。 例13 （25-26七年级上·全国·课后作业）一条公路上A，B，C三地的位置如图所示．已知B，C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米． (1)求A，B两地之间的距离； (2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围． 12.分配问题中的配套 错误：搞反配套问题中比的关系，比如A和B的数量是2:3的关系，会列成2A=3B； 注意：要注意，比如当A和B的数量是2:3的关系时，要将比例写成A的数量：B的数量=2:3，根据比例的性质，得到的是3A=2B。 例14 （2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 13.毛利率的算法 错误：公式错误认为： 注意： 例15 （24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 14.分段计费问题中的分类讨论 错误：不同数量时的计费方式是不同的，在未知具体数量的情况下没有分类讨论，就只能得到一种结果。 注意：此类问题一定首先要确定每次计费所在的计费分段。如果没有具体说明，一定要每种情况都进行讨论。 例16 （24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京·期中）若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 5．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）如图是今年本月的日历表，图中的“Z”字形可以在表中移动，并且始终可以框住日历表中的7个数．以下数中，是可以框住的7数之和的是（    ） A．116 B．140 C．133 D．112 8．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱体容器中，实验开始时圆柱体容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与时间的数据： 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到时是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）小明在解方程时，不小心将方程中一个常数污染了导致看不清楚，被污染的方程是：，怎么办？小明想了想，然后翻开书后的答案一看，此方程的解为，很快小明补好了这个常数，这个常数为 ． 11．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，那么 ． 12．（18-19七年级上·全国·单元测试）新华书店举行购书优惠活动 ①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书200元以上一律打七折小丽在这次活动中，两次购书总共付款240.87元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 15．（25-26七年级上·重庆·期中）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，学以致用 一般情况下，不成立，但有些数可以使它成立，如，时，成立．我们称使得成立的一对数如m，n为“全面数对”，记作． (1)以下数对中“全面数对”是_____．（填选项） A．    B．    C． (2)若是“全面数对”，求的值． (3)是“全面数对”，求代数式的值． 18．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形A的边长为．    (1)设正方形的边长为，则正方形的边长为 （用含x的式子表示）， (2)求这个长方形色块图的面积． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程 1．方程：含有未知数的等式叫做方程．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 2.等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．即：若a=b，则a±c=b±c； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即若a=b，则ac=bc，或； 3.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 4.求方程的解的过程叫做解方程． 5.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．依据是等式的性质2. (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．依据是等式的性质1. (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数项的系数得到方程的解(a≠0)．依据是等式的性质2. (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 6.解决实际问题的一般步骤： （1）审：根据题意，审清已知条件与问题，审清题中数量及其关系； （2）设：设立适当的未知数表示题中的量； （3）列：表示出其他题中的量，并列出符合题意的一元一次方程的等式； （4）解：解一元一次方程； （5）验：验证方程的解是否符合题意； （6）答：根据方程的解和题意回答问题。 7.常见的实际应用： （1）和差倍分问题； （2）几何周长与面积问题，常常考查长方形、正方形等图形的周长，面积；也可能考查三角形、长方形和正方形等图形等面积法。 （3）体积、容积问题，尤其是容积问题，常常考查等体积法。 （4）行程问题，路程=时间×速度，以及考查相遇与追赶问题、顺水逆水行船问题、火车进隧道等小学时候已学过的各类行程问题。 （5）工程问题，工作总量=工作时间×工作效率。总量也可以设为“1”，此时如果这项工程在n天（或者n小时）完成，则每天（或每小时）完成总量的. （6）分配问题，分配已知总量使得满足“和差倍分”，比如第一组过去n个人到第二组，使得第一组人数是第二组的一半。只要抓住“和差倍分”关系列式即可。如：（第一组新的人数）=（第二组新的人数） （7）经营问题，销售额=售价×数量，其中售价按照实际卖出价计算，因此可能考虑打折和促销，数量有关于个数的也有关于重量的。 （8）利润率问题，。毛利润=销售额－总成本=售价×数量－进价×数量=（售价－进价）×数量； （9）分段计费问题。根据题意先求出每个分段的计费方式和计费单价，再根据所问求出不同分段下的结果。 （10）其他问题：比如数字问题，古代数学问题还有韦恩图问题等。 1.根据题意列式 错误：不能结合简单的数量关系的描述列式 注意：先设未知数，再用未知数表示其他的未知量，最后根据题意的等量关系，将不同的未知量列在等式中。 例1 （25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个数x与2的和的4倍等于28． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据数学语言描述列式即可； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 2.已知方程的解解决问题 错误：不能根据已知的方程的解代入，对题目进行探究。 注意：在已知方程的解时，可以尝试将这个方程的解代入到方程中去，得到关于字母参数的其他等量关系，进而进行探究即可。 例2 （25-26七年级上·重庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 根据方程解的定义，将代入方程求出的值，再代入计算． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以将代入方程，得， 因此，． 故答案为 3． 3.用等式的性质变形或求方程 错误：不能根据等式的性质1和性质2对等式进行变形，或通过移项和系数化为1来求解简易方程。 注意：根据等式的性质，我们可以对等式进行如下操作： （1）移项，根据等式的性质1，等式两边同时加上或者减去一个数，达到移项的效果。 （2）根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立。 （3）根据等式的性质2，可以将等式左边带系数的未知数的系数化为1，使得变成x=a的形式，即成为方程的解。 例3 （24-25七年级上·全国·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则 ；( ) （3）已知，则 ；( ) （4）已知，则 ．( ) 【答案】 等式的基本性质1 等式的基本性质1 等式的基本性质2 等式的基本性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，①等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式，②等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为)所得结果仍是等式． 【详解】解： ，根据等式的基本性质1，方程两边同减去1，得； ，根据等式的基本性质1，方程两边同减去，得； ，根据等式的性质，方程两边同乘以，得； ，根据等式的性质，方程两边同除以，得． 故答案为： 等式的基本性质1 等式的基本性质1 等式的基本性质2 等式的基本性质2． 4.认识一元一次方程 错误：在没有整理前就根据定义判断是否为一元一次方程。 注意：判断一个等式是不是一元一次方程，要同时满足：①整理后等式中存在x；②等式两边均为整式；③未知数仅有一个；④未知数的最高次为一次。 例4 （25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【答案】(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 5.解一般的一元一次方程 错误：“﹣”号在解一元一次方程时非常重要。在解一般方程时，去括号时括号前是“﹣”号的，对括号中的所有单项不变号；或在利用等式的性质1移项时没有变号，在利用等式的性质2将未知数系数化为1时，遇到同乘或除以一个负数时，漏掉“﹣”号。 注意：遇到有“﹣”号时，要格外注意： ①去括号时，遇到括号前是“﹣”号的，去括号后，括号中的每一项都要变号，或乘以括号前的系数时，每一项都要乘以“﹣”号； ②移项使用的是等式的性质1，效果是每一单项从左边移到右边（或从右边移到左边）时，单项要变号。 ③在合并同类项后，要将左边关于微指数的一次单项式的系数化为1，则需要两边同时除以这个系数，当系数为负数时，注意右边同样要除以这个负数，每一项的结果同样要变号。 例5 （25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤，确保每一步变形符合等式的基本性质． （1）先将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）先移项使含未知数的项集中在左边、常数项在右边，再合并同类项，最后系数化为1； （3）先去括号消除括号结构，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 6.解带分母的一元一次方程 错误：一元一次方程中的去分母是难点，常见的错误有两处： ①在等式两边同乘一个数时，常数项没有乘； ②混淆分子分母同乘一个相同的数的化简，导致在对分母有小数的分数进行化简时，其他项也跟着乘除。 注意：①等式两边同时乘以一个各分母的最小公倍数时，主要常数项也要乘，也就是每个单项都要乘； ②遇到分母有小数的化简时，要区分分子分母同乘一个数与等式两边同乘一个数的区别，前者是分数的性质，分子分母同乘一个相同的数，分数的大小不变，意味着与整个方程的其他项无关；而后者是等式两边同乘一个数，每一项都要乘。 例6 （25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 7.根据新定义或规则列式解决问题 错误：对新定义运算的运算法则和运算顺序理解不够。 注意：新定义问题，首先要理清楚新的运算法则，以及运算顺序，尤其是括号不能省略。 例7 （25-26七年级上·安徽合肥·期中）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为1等过程，即可求得的值． 【详解】解：由题意得：将可化为：， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：3． 例8 （2024七年级上·全国·专题练习）一个“数值转换机”按如图所示的程序计算，若输入的数是，则输出的结果为，要使输出的结果为，则输入的最小正整数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清程序中的运算过程是解本题的关键． 根据输出的结果确定出的所有可能值，然后作答即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； ∴输入的最小正整数是， 故答案为：． 8.已知一元一次方程的解探究字母参数 错误：遇到一元一次方程中，存在表示常数的字母参数时，不能根据方程的解的作用进行探究。 注意：学会将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的等式，进而求出字母参数的值，或进行其他探究。 例9 （22-23七年级下·福建泉州·期中）小李在解方程时，误将看作，解得方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查由看错方程某一项求参数值的问题，熟记一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法是解决问题的关键．先由题意，得到方程的解，将代入方程得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：小李在解方程时，误将看作， 小李解的方程为， 解得方程的解， ， 解得， 故答案为：． 例10 （25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 9.解决一元一次方程的实际问题的基本步骤 错误：在实际问题中常见的错误：①不能用所设的未知数x表示题中其他数量；②不能根据题目描述，或根据实际问题中的等量关系列式；③解得的方程的解不进行验算，也不检验是否符合题意。 注意：解决实际问题要遵循：①审②设③列④解⑤验⑥答，具体注意回顾知识清单中的第6点。 例11 （25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中） 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． (1)求参加研学的学生人数； (2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 【答案】(1)学生人数人 (2)租45座更合算 【分析】本题考查一元一次方程实际应用，有理数乘法计算，有理数比较大小等． （1）根据题意设租45座车辆，则学生人数为，租60座车辆，人数为，继而列方程计算即可得到本题答案； （2）通过题意分别计算花费，再进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租45座车辆，则学生人数为， 租60座车辆，人数为， 列方程： ， 解得： ， ， ， 学生人数： （人）； （2）解：租45座：5辆，费用元， 租60座：4辆，费用元， ∵：1500 < 1600， ∴租45座更合算． 10.等面积、等体积法的使用 错误：不能根据题目隐含的面积不变或者体积/容积不变来列等式。 注意：注意运用等面积法和等体积法列一元一次方程，解决问题。 例12 （24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，高分别为和．先在右侧容器中倒满水然后将其倒入左侧容器中．倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米？小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有．列方程．解得． (1)通过计算比较容器大小，并对小刚的结果作出合理的解释． (2)为避免出现通过小刚的方式操作后左侧容器中的水面离容器口距离为负数，若将右侧容器中的水倒入到左侧容器中后，恰好使得左侧容器倒满，此时右侧容器中的水离右侧容器口有多高？ 【答案】(1)见解析 (2)右侧容器中的水离右侧容器口有高 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）求出两个圆柱体的容积，进行解释即可； （2）设右侧容器中的水离右侧容器口高，根据水的体积不变，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，左侧容器的容积为：， 右侧容器的容积为：， ∴右侧容器的容积大于左侧容器的容积，， ∴把右侧容器中的水倒入左侧容器中，水会溢出相当于左侧容器高水的容积，故解出的的值为； （2）设右侧容器中的水离右侧容器口高，由题意，得： ， 解得：； 答：右侧容器中的水离右侧容器口有高． 11.相遇问题与追及问题 错误：不能根据相遇问题或者追及问题列出正确的关于路程的等量关系。 注意：相遇问题的等量关系：A的路程+B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度+B的速度）×时间=AB之间的距离；追及问题的等量关系：A的路程（速度快的）－B的路程=AB之间的距离，若A与B同时出发，则只要：(A的速度－B的速度）×时间=AB之间的距离。 例13 （25-26七年级上·全国·课后作业）一条公路上A，B，C三地的位置如图所示．已知B，C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米． (1)求A，B两地之间的距离； (2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)105千米 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，解方程． （1）设A、B两地之间的距离为x千米，根据货车速度匀速行驶列方程，解方程即可； （2）根据路程与时间和速度的关系，列出m的一元一次方程，解方程即可， 【详解】（1）解：设A，B两地之间的距离为x千米，根据题意得：，解得：． 答：A，B两地之间的距离为105千米； （2）解：货车的速度为（千米/小时）． 当两车在距C地60千米相遇时，， 解得：； 当两车在距C地30千米相遇时，， 解得：， ∴m的取值范围为． 12.分配问题中的配套 错误：搞反配套问题中比的关系，比如A和B的数量是2:3的关系，会列成2A=3B； 注意：要注意，比如当A和B的数量是2:3的关系时，要将比例写成A的数量：B的数量=2:3，根据比例的性质，得到的是3A=2B。 例14 （2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 13.毛利率的算法 错误：公式错误认为： 注意： 例15 （24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 【答案】50 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设A商品每千克的售价为x元，根据毛利率为列方程求解即可． 【详解】解：设A商品每千克的售价为x元， 根据题意，得， 解得， 答：A商品每千克的售价为50元， 故答案为：50． 14.分段计费问题中的分类讨论 错误：不同数量时的计费方式是不同的，在未知具体数量的情况下没有分类讨论，就只能得到一种结果。 注意：此类问题一定首先要确定每次计费所在的计费分段。如果没有具体说明，一定要每种情况都进行讨论。 例16 （24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 【答案】(1)109 (2)250度 (3)7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【分析】（1）根据收费标准，根据第二档计算即可求出小明家5月份应交电费； （2）先判断小明家用电量处于第二档，根据第二档收费标准列方程求解； （3）设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度，分、和三种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为109． （2）解：， 所以小明家用电超过200度但不超过400度． 设小明家去年6月份的用电量为a度．根据题意得： ， 解得：． 答：小明家去年6月份的用电量为250度． （3）解：设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度． 由题意得, ∴ 分三种情况讨论： ①当时， ， 解得：， 故不符合题意； ②当时， 有， 解得：， ； ③当时， 有， 方程无解． 答：小明家去年7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A：含有两个未知数x和y，故选项不符合题意； B：方程中含分式，不是整式方程，故选项不符合题意； C：只含未知数x，且x的次数为1，等式两边均为整式，符合定义，故选项符合题意； D：未知数x的最高次数为2，故选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质．解题的关键是等式的基本性质：等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的基本性质判断即可． 【详解】解：若，则或，原写法错误，不符合题意； B、若，则，原写法错误，不符合题意； C、若，当时，不成立，不符合题意； D、若，则，那么，故，正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 4．（25-26七年级上·北京·期中）若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 5．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 6．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 7．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）如图是今年本月的日历表，图中的“Z”字形可以在表中移动，并且始终可以框住日历表中的7个数．以下数中，是可以框住的7数之和的是（    ） A．116 B．140 C．133 D．112 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设中间数为，根据日历表可知7数之和为，再逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：设中间数为，则另六个数可表示为，，，，，， 则7数之和为， A、若，则，不是整数，舍去，故此选项不符合题意； B、若，则，则最大数为，此时“Z”字形不能框住对应的7数，故此选项不符合题意； C、若，则，此时“Z”字形可以框住对应的7数，故此选项符合题意； D、若，则，则最小数为，此时“Z”字形不能框住对应的7数，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱体容器中，实验开始时圆柱体容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与时间的数据： 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到时是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意． 根据表格中的数据，可知与的关系为一次函数关系，利用待定系数法可得，将代入解析式，求出相应的值即可． 【详解】解：设与的关系式为， 点，在该函数上， ， 解得：， 与的函数表达式为； 当时，即， 解得：， 即当圆柱体容器液面高度达到时是． 故选：B． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． 根据等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么； （2）如果，那么． 故答案为：，． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）小明在解方程时，不小心将方程中一个常数污染了导致看不清楚，被污染的方程是：，怎么办？小明想了想，然后翻开书后的答案一看，此方程的解为，很快小明补好了这个常数，这个常数为 ． 【答案】1 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 设这个常数为，将代入方程中求解关于的方程即可． 【详解】解：设这个常数为 ，将代入方程中得：， 解得： ， 故答案为：1． 11．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，．根据绝对值的意义得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：，， 故答案为：4或． 12．（18-19七年级上·全国·单元测试）新华书店举行购书优惠活动 ①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书200元以上一律打七折小丽在这次活动中，两次购书总共付款240.87元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元． 【答案】260.4或310.8 【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元， 根据题意得：当,即时， 解得：x=60.2175(舍去)； 当,即时，x+0.9×3x=240.87， 解得：x=65.1， ∴x+3x=260.4； 当3x>200且,即时，x+0.7×3x=240.87， 解得：x=77.7， ∴x+3x=310.8； 当x>100时，0.9x+0.7×3x=240.87， 解得：x=80.29(舍去). 故答案为260.4或310.8 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （4）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 原方程可变形为： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 14．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 【答案】(1)经过两车第一次相遇； (2)经过两车第二次相遇； (3)两车恰好相距时，行驶了或或或或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得，解方程即可求解； （2）根据题意得，解方程即可求解； （3）设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】（1）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第二次相遇； （3）解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： ①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有：， 解得． 综上所述，两车恰好相距时，行驶了或或或或． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)10；0 (2)或 【分析】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，解一元一次方程，整式的运算． （1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据绝对值的非负性可知，由且，整理得到，分类讨论求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10；0； （2）解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴； 当时，则，舍去； 当时，则， 解得， ∴， ∴， 解得或； ∴综上所述，所有满足条件的x的值为或． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)用钢材做部件，用钢材做部件 (2)当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；                                            （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； 【详解】（1） 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，学以致用 一般情况下，不成立，但有些数可以使它成立，如，时，成立．我们称使得成立的一对数如m，n为“全面数对”，记作． (1)以下数对中“全面数对”是_____．（填选项） A．    B．    C． (2)若是“全面数对”，求的值． (3)是“全面数对”，求代数式的值． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，等式的性质，整式的加减—化简求值． （1）根据“全面数对”的定义逐项分析即可； （2）根据“全面数对”的定义列方程求解即可； （3）由是“全面数对”得，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】（1）A．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；   B．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；     C．∵，， ∴， ∴是“全面数对”． 故选C； （2）∵是“全面数对”， ∴ 解得； （3）∵是“全面数对”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 18．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形A的边长为．    (1)设正方形的边长为，则正方形的边长为 （用含x的式子表示）， (2)求这个长方形色块图的面积． 【答案】(1) (2)143 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，结合图形，正确建立方程是解题关键． （1）先求出正方形的边长为，再根据正方形的边长比正方形的边长大1即可得； （2）设正方形的边长为，则正方形的边长为，先求出长方形的宽为，长方形的长（下面）为，再求出正方形的边长为，则可得长方形的长（上面）为，建立方程，解方程可得的值，然后利用长方形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：设正方形的边长为，则正方形的边长为， 由（1）已得：正方形的边长为，正方形的边长为， ∴长方形的宽为，长方形的长（下面）为， ∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∴长方形的长（上面）为， ∴， 解得， ∴这个长方形色块图的长为，宽为， ∴这个长方形色块图的面积为， 答：这个长方形色块图的面积为143． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $