湖北省圆创教育联盟2026届高三11月阶段性训练（二模）数学试题

2026届高三年级阶段训练 数 学 本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区战均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 1.若复数之满足(1十2i)z=4十3i,则z= A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i 2.已知集合A={0,1,2,3,5,6,7},B={x|x2-5x-6<0},则A∩B= A.{0,1,2,3,5} B.{1,2,3,5,6} C.{0,2,3,5,6》 D.{1,2,3,5} 3.已知函数f(x)=e(x2+ax+2)有极值，则a的取值范围是 A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞，-2)U(2,+∞) D.(-∞，-2)U[2,+∞) 4.函数f(x)=4 si(x+若)十1的最大值为 A.1 B.2 C.√2 D.5 5.已知函数f(x)=e一er,则 A.f(x)的图象关于直线x=一2对称 B.f(x)的图象关于点（一2,0）对称 C.f(x)的图象关于点(2,0)对称 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 6.设抛物线M:y2=4x的焦点为F,不经过F的直线与M交于A,B两点，与y轴交于点C.点A的坐 标为(4,4)，且△BCF与△ACF的面积之比是1：4，则|BF|= A.1 B.2 C.3 D.4 数学试卷第1页（共4页） 7.设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)x1∈{一1,0,1}，i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“x1十x2十 x3十x4十x5=1”的元素个数为 A.15 B.35 C.40 D.45 8.一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长3√2cm,宽1cm的矩形，容器 中放一小球，则该小球半径的最大值为 A号cm B.cm 3cm D 2cm 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在△ABC中，AC=10,A=45°，则BC的值可以是 A.6 B.8 C.10 D.52 10.设日是两个非零向量a,b的夹角，若对任意实数t,|a十2tb|的最小值为2，则下列结论中正确的是 A.若0确定，则|a唯一确定 B.若|a确定，则0唯一确定 C若0=5，则1a=43 3 ,则0 D,若1al=43 3 11.在长方体ABCD-A,B1C1D,中，AB=1,AD=√3，AA1=6,E,F分别为AB,A1D的中点，经过C, E,F三点的平面将已知长方体分成两部分，则 A.截面的形状为四边形 B截面面积为35质 4 C点A到截面的距离为2y⑤ 55 D.截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7：29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等差数列{an}的各项均为正数，若a1=3,a,2=2(a3十as十6)，则a3= 1&巴知双曲线r号茶=16>e>0),P为r的左顶点，过r的左焦点P作斜率为1的直镜交r于 A、B两点，若△PAB的面积为√2b2,则的离心率为 14已知函数fx)=x+士点P(x1).Q(x)在函数)=f:)的图象上，且分别位于第一三象 限.设线段PQ的长度取最小值时点P的横坐标为xo,则x。= 数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N(10,2),其质保政策规定：电 池寿命低于6年可免费更换。 (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到0.01）； (2)某出租车公司购买了100辆该品牌汽车，记Y为免费享受更换的车辆数，利用(1)的结果，求Y的 分布列和数学期望。 附：若随机变量X服从正态分布N(,o2),则P(4一2o≤X≤十2o)=0.9545. 16.(15分) 如图，在四面体ABCD中，DA=BC=2,AC=1,∠DAC=∠BCA=受，E,F分别为CD,AB的 中点。 (1)证明：EF⊥AC; (2)若二面角D-AC-B为餐，求直线EF与平面BCD所成角的正弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=x十cosx一asinz,其中a为常数， (1)当a=1时，求f(x)在区间[0，π]上的最值； (2)若f(x)在区间(o,牙)上有且仅有一个极值点，求a的取值范围。 数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 已知A,B分别是椭圆. 4十y=1的左，右顶点，动点T满足TA⊥TB,过T作TH⊥AB于H, 线段TH交椭圆Γ于点M;过A作AN⊥AT,交椭圆T于点N. (1)设直线AN,BM的斜率分别为1，k2,求会的值； k2 (2)求证：直线MN过定点； (3)设线段MN的垂直平分线交椭圆T于P、Q两点，若MP⊥MQ,求MN的斜率. 19.(17分) 已知数列a1,a2,…,an为严格单调递增的正整数数列，(a1,a2,…,an}的子集有2”个，分别计算每个 子集的元素和得到S1,S2,…,S(规定空集元素和为0)，已知S1<S2<<S (1)求S,。的最小值； (2)求S1,S2,…,S方差的最小值； （3)求证oi+a好+…+a≥"号 数学试卷第4页（共4页）2026届高三年级阶段训练 数学试卷参考答案与详解 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A A B C B D B BCD AC ABD 4+3i4+3D(1-22_10-5i=2-i, 1.【详解)因为(1+2i)x=4+3i,所以x=1+2-1+2D1-25 5 故选A 2.【详解】由x2-5.x-6<0,得(x-6)(x+1)<0,解得-1<x<6.所以A∩B={0,1,2,3,5}. 故选A 3.【详解】由题意，f'(x)=e(x2+ax+2+2x+a)=e[x2+(a+2)x+(a+2], 所以△=(a+2)2-4(a+2)>0,所以(a十2)(a-2)>0,即a>2或a<-2.故选C 4【详解因为f)=4nx(停ca-名r)+1=2w5ror-2snr2+1=5sn2x+o2x=2an (2x+),所以f(x)的最大值为2，故选B 5.【详解】因为f(x)=e-e, 所以f(4-x)=e-x-e,f(-4-x)=e-r-e+r. 所以f(一4一x)≠f(x),故A错误；f(一4一x)≠一f(x),故B错误：f(4一x)=一f(x),故C正确； f(4一x)≠f(x),故D错误.故选C 6【详解3二--要-号又1AP1-5所以1BF1-2故选B 7.【解析】分三种情况讨论，其一：c1十x:十x3十x,十=1，此时，从x+x2xx,x5中任取一个让其 等于1，其余等于0，于是有C=5种情况：其二：x1干x2十x3十x4十r5=1,此时，从x1,x2,x3,x4,x5 中任取两个让其等于1任取一个让其等于一1其余等于0，于是有CCg一30种情况；其三：x1+x2+ x3十x4十x5=1,此时，从x1,x2,x3x4x；中任取三个让其都等于1，其余两个等于一1，于是有C= 10种情况.由于5+30+10=45.故选D. 8.【详解】考察极限情况，当上底面是圆时，有小球的半径最大.此时由于柱体的高为1，所以半径的最大 值为分故选B 【译解方法一由正弦定理得，器一品所以品-品得议一品 sinB 数学试卷参考答案与详解第1页（共10页） 又∠A+∠B+∠C=180°，所以∠B+∠C=135° 则0°<∠B<135°. 在区间o,3）内，sinB∈(0，. 当B>0+,sinB-→0+，则BC→+o;当B=90°，BC=5V2(最小值). 因此，BC的取值范围为[5√2，十0).故选BCD, 方法二：由图知：BC≥ACXsin45°=5√2.故选BCD. 10.【详解】设g(t)=(a+2tb)2=4b2t2+4a·bt十a2,则△≤0恒成立， 当1=一4a·b=一as时，g(t)取得最小值4. 8b2 此时6la2,b2-二16a·b2=4,化简得1a?sim0=4. 161b12 所以0确定，a唯一确定，A正确，B错误： 当0=等时，la=45 ,C正确 当1al-4时n=土9而0∈[0，，所以0=号或号D错误故述AC 11.【详解】 A. 3 D 4 2 N B D M G 3 图① 图② 3 7 13 G √17 R 图③ 图④ 数学试卷参考答案与详解 第2页（共10页） 对于选项A: 如图①，设CE∩DA=G,连接GF并延长，记GF∩AA1=M,GF∩DD,=N;连接ME,NC,则经过 C、E、F三点的截面为四边形CEMN,∴.A选项正确. 对于选项B: 如图②，过点F作FH⊥AD于点H. 在R△A,AD中，F为A,D的中点，A,A=6FH=号1A1A|=3. 在△FHG中，MA作H,0--号AM=号1FH1=2 在△NDG中，AM为DN边上的中位线，.IDN|=2|AM|=4, 六在R△MAE中，由勾股定理知ME=VAW+AE-√2+（份-罗 在RACBE中，1CE1=√BE+BC=√()+5)- 2 在Rt△CDN中，ICN|=√DC2+DN=√+4=√I7. 在RAGDN中，MNI=lGNI=2DG+DN-7W2BP+F=7. 如图③，在梯形EMNC中，过点E作ERMN交CN于点R. )+)-w7 2 在△ECR中，由余弦定理知l:cos∠ECR 2.3.而 √13·√17 22 255 ∴.sin∠ECR= √13·√17 六梯形EMNC的高为CE·sin∠ECR.2质=V质 2√13·√17√7 +m) 2 .截面EMNC的面积为 7_355 B选项正确。 2 对于选项C: 如图④，在三棱锥M一AGE中，设点A到平面MGE的距离为h, 在△GEM中，∠GEM=∠ECN=∠ECR, Sea-立·BcEM·☑GEM-.压=质 1 2· 23而4 数学试卷参考答案与详解第3页（共10页） 4 而V4te=Vu-ee,即号·sav·h=}·So·2 2S△GAE」 2.3 .h= SAGEM V55 √55V55 4 C选项错误； 对于选项D: 长方体ABCD一A,B,C1D1的体积为1·3·6=6V3, ,DA,CE,MN相交于同一点G, .截面下方的几何体EAM一CDN为三棱台 8-8e-分·含g-号 1 S:=SAcN=2·1,4=2 H=ADI=3, Vue-x=号5，+5+5s)H=3号+2+合·2小5-7 又65-75-293、75 6 6 6 73 7 29√3 -29' 6 D选项正确。 综上，答案为ABD. 12.【详解】由a42=2(a3十a5十6)=4a4+12,得a12-4u4-12=(a4-6)(a4+2)=0. 因为a4>0,所以a4=6,所以a1+3d=6,可得d=1,所以a3=a1+2d=5.填：5. 13.【详解】P(-a,0),F(一c,0),设直线方程为y=x+c,联立双曲线方程，消去x,得(b2一a2)y2- 2cb2y+b=0. 2b2c 61 设A(x1y),B(x2y),则y1+y2=6-ayy2=2-a 所以y1-y2l=√(y1+y2)2-4y1y2= 2√2ab2 b2-a2 数学试卷参考答案与详解第4页（共10页） 所5w-2P1l-2c-a22g-2, 化简得c2-ac-a2=0.所以()°-名-1=0， 所以=1+5（负值舍去.故填，1+5 2 2 14.【详解f(x)=x3+上为奇函数. x>0时，f'(x)=3z2- 22 f=sr+导>0. ∴f(x)在第一象限为下凸函数， ∴.f(x)的图象如图所示. P(xuy) 入M 记点Q(x2y2)关于原点的对称点为Q'(一x2,一y2), PQ的中点M2,”2) Q'(-x,-y) 2 Q(y) P,Q',M都在第一象限， 连OM交f(x)第一象限内的图象于点M', .lPQl=√(x1-x2)2+(y1-y2)2 =429)+2=210M1≥210m1 设M'(,x2+2),(x>0) IOMr'1=x2+(x+2)=g(x) g'x)=2x+2(x+）3x2-x2 =2x+2.+1.3-1 x =2.+(x+1)3x-1) 导.8r*4axt- 令g'(x)=0有3x8+3x4-1=0 数学试卷参考答案与详解第5页（共10页） x=-3+9+12=2红-3 2·3 6 即x。'-②T-3 6 15.【解11)P(X<6)=P(X≤4-2a)=1-0,9545≈0.02 ……(6分） 2 (2)每辆车是否更换相互独立，且概率p=0.02,故Y一B(100,0.02)…(8分) 由二项分布公式，知分布列数学期望E(Y)=np=100p=2…(10分) 分布列为P(Y=k)=C10*(0.02)*(0.98)1o0-t,k=0,1,2,…,100…(13分) 16.【解】(1)证：取AC中点记为M. 因为M与E分别是AC与CD中点，所以DA/ME, 又由DA⊥AC,则ME⊥AC.…(2分) 同理MF//BC且BC⊥CA,则MF⊥AC. …(4分) 所以AC⊥面MEF,从而AC⊥EF.… (6分) (2)构造直棱柱，建立空间直角坐标系 :轴 G x轴 以C为原点，CB为x轴，垂直于CB的直线CG为y轴，CA为：轴建立空间直角坐标系.… …（7分) CA为平面DAC与ACB的交线，同时MF⊥CA,ME⊥CA,因此二面角D一AC-B即为角EMF, 所以∠EMF= 3· (8分) 因为ME/CH,MF/CB.所以∠BCH=T 3 (9分) 所以B(2,0,0),C(0,0,0),D(1,3,1),A(0,0,1).…(10分) 由于EF分别是CDAB的中点所以32.F1.o,2。 数学试卷参考答案与详解第6页（共10页） 进浙萨=（兮一 ,0).… …（11分) 设平面BCD法向量为n=(Zo-yo+2o), 而BC=(-2,0,0),BD=(-1,√5,1)， 由于BC·n=0,BD·n=0, 1-2x0=0, 则 -xo十V5y0十0=0， 从而n=(0,1,一√5).…（13分） 所以直线EF与平面BCD所成线面角正弦值sia=|cos0|=| …(15分) 17.【解】 (1)a=1,f(x)=x+cosz-sinx, f'(x)=1-sinx-cosx=1-2sin(x+牙） …(1分) 当xo时x+∈[匠 所以f'x≥0时.1一Esn(r+)≥0.即sinr+）s号 所以≤x+开<，即受<r≤x (3分) 所以f':)0时，同理，得x∈b,引 所以了(x)在0，引上单调递减，在[臣上单调递增。 所以fx)m=f(贷=+cos受-sn受-号-1. (5分) 由f(0)=0+cos0-sin0=1,f(x)=x十cosx-sinx=x-1>1,得 f(x）mx=∫（π）=π一l.…(7分) (2)由题意得：f'(x)=1一sinx一cs在(0，)上有且仅有一个变号零点. 因此可化为a= 1-sinx …（9分） cosx 设g(x)=1一sinx cosx 数学试卷参考答案与详解第7页（共10页） cos登-sin1一tam x g(x)=1-sing tan4-tan cOSZ x πx =tan 4 2 cos 2sin 2 1+tan 2 1+tan 4 tan2 :xe(o,）∴开-∈(o,)am(年-)eoD, 又g(x)在(0，)上单调递减。 ............8....0 (14分) 所以0<<1.… (15分) 18.【解】(1)设M(2cos0,sin0),则T(2cos0,2sin0), 所以心=C==2,… …(5分) (2)设M(x1y1),N(x2y2),直线MN:x=my+n. 设直线BM:y=k(x一2)，则y1=k(x1一2). 直线AN:y=2k(x+2),则y2=2k(x2+2). 易知k≠0，则2y1(x2十2)=y2(x1一2).…（7分) +好=1，得=-+2》c-2型 4 可得8y1y2=-(x1一2)(.x2-2). 即(8+m2)y1y2十m(n-2)(y1十y2）+(n-2)2=0.①…(9分) 将x=my+n代入+y2=1,有cm3+4y2+2my+n2-4=0 则y1+y2=- 2mn m2+4'y1y2= n2-4 m2+4 代入①式：得(8+m2)(n2-4)-2m(n一2)mn+(n-2)2(m2+4)=0. 解得n=2(舍去)n一号，即直线N过定点-号0). … (11分) (3)易知MN、PQ的斜率均存在，设MN中点为R(c,d), 设MN:y=t1(x-c)+d,设PQ:y=t2(x-c)+d. 将MN与椭圆方程联立，得 (1+4t)x2+(8t1d-8tc)x+(4tc2-81cd+4d2-4)=0. 则xM十xN=一 4w- 1+4 …(13分) RM·RN=√I+w-c)W1+(c-xN)=-(1+好)十48 数学试卷参考答案与详解第8页（共10页） 同理|RP·RQ1=-(1+g)+4-4 …（15分) 1+42 PQ为MN中垂线，且PM⊥MQ,记PQ∩MN=R. 在Rt△PQM中，MR2=PR·QR. ∴.MR·NR=PR·QR. ∴.四边形MPNQ四点共圆.且c2+4d2-4≠0. 则+品=1+，化简得好=. 1+4t21+43 又t1l2=一1，于是t1=士1.… (17分) 19.【解】(1)S1=0,而S,∈N(i=1,2,3,…,2") S1<S2<Sg<S-1<S则 S2-S1≥1 S3-S2≥1 S2-S2w-1≥1 由以上各式相加：Sm-S1≥(2"-1)·1.S1=0 .x≥2"-1. 当集合{a1,a2,…an}={2°，2，…2")时，有Sn=2"-1…(4分) ②记5-s,+5:++5:,方若为D-源c5,-5 2n 设x,=S,-5,其中i=1,2,…,2",则x1十x2十…+x=0 x,(1≤i≤2”)为实数且满足|x;一x+1≥1(1≤i≤2”-1). D=经r=+2如+lr ≥22引，-4小≥212+1-2-2 当a,=2-1(i=1,2,…,n)时， D取到银小值为时致-)-是 (10分) (3)对于n个元素的集合{a1,a2,…,an}共有2”"个子集，集合元素之和分别为 S1,S2,…,S2… 如果取a1时，a1i元，出现a,的集合有C9-+C-1+…+C=2-1个 数学试卷参考答案与详解第9页（共10页） .S1+S2十…+Sm=2m-1(a1+…+an)① 对于S+S号+…十S的解法 出现a子项的次数为C?-1十C,-1十Cm二=2”-1个 出现a1a2项时，即(a1十a2十：)2，共有Cg-2+Cw-2十…+Cm二号=2"-2个 -2个元 .S+S号+…+S =2-l(af+…+a)+2(∑aa,)·2"-2 =2-1[ai+…ta2)+1s3ca,ay1@ D=2s++s2)-(3+s++s)}°@ 2" 由①②代入③得到 D=2ai+u+a3)+是aa,小-a,++a, =宁ai+a++ai≥5侵 …af++a≥4"l 3 …(17分） 数学试卷参考答案与详解第10页（共10页）