精品解析：福建省龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

2025-2026学年第一学期高二数学月考 （满分150分） 一、单选题（共8题，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 已知等比数列中，，是方程的两根，则（　　） A. 3 B. 64 C. 256 D. ±64 4. 设等差数列的前项和是，若，则必定有（　　 ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 5. 直线的法向量可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A. B. C. D. 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 等比数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 数列的公比为8 B. 数列的公比为2 C. D. 10. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 线段长的最大值为6 C. 线段长的最小值为4 D. 面积的最大值为 11. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l被圆C截得的最长弦长为10 C. 当时，直线l被圆C截得的弦长最短 D. 当时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 在等差数列中，前m项（m为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且，则的值为____． 13. 已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 14. 写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 四、解答题（5题，共77分） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． （1）求边BC所在直线的方程； （2）M为外接圆的圆心，求圆M的方程； （3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 17. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且，点为的中点． （1）求点的轨迹方程和点的轨迹方程； （2）若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围． 19. 已知圆的圆心为，半径为3，是过点的直线． （1）求圆的方程，并判断点是否在圆上，证明你的结论； （2）若圆被直线截得的弦长为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二数学月考 （满分150分） 一、单选题（共8题，每小题5分，共40分） 1. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得. 故选:B. 【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式的运算应用,属于基础题. 2. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再根据可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得q＝2，所以. 故选：A. 3. 已知等比数列中，，是方程的两根，则（　　） A. 3 B. 64 C. 256 D. ±64 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到，再由等比数列的性质，即可得出结果. 【详解】由题意得，，∴， 又∵，∴，∴. 故选：B． 4. 设等差数列的前项和是，若，则必定有（　　 ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以. 故选：A 5. 直线的法向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可. 【详解】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线的方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确. 故选：D. 6. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线恒过定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 7. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题． 分析：先求出y=2x+11与y=x的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X轴的交点（1，0），然后两点确定直线． 解答：解：直线y=2x+1与y=x的交点为（-1，-1）， 又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：= 即 y=x- 故选B． 点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 等比数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 数列的公比为8 B. 数列的公比为2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据通项公式求出，再根据求和公式求出. 【详解】显然，因为，即，解得，故A错误，B正确； 所以，故C错误，D正确； 故选：BD 10. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 线段长的最大值为6 C. 线段长的最小值为4 D. 面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由直线系方程求得直线恒过定点判断A，当直线过圆圆心时，线段最长，判断B，当直线AB与过原点和点的直线垂直时，弦长AB最短，判断C，的面积取得最大值时，判断D. 【详解】直线即直线， 联立，解得，，所以直线过定点，故A正确； 当直线过圆圆心时，线段最长，为圆的直径，等于6，故B正确； 当直线AB与过原点和点的直线垂直时，弦长AB最短， 因为原点C到点的距离为， 此时，故C正确； 因为，所以的面积取得最大值时， 此时，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l被圆C截得的最长弦长为10 C. 当时，直线l被圆C截得的弦长最短 D. 当时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4 【答案】AB 【解析】 【分析】直线的方程变形为：，令的系数等于零，即可判断A；当直线过圆心时，弦长最长，即可判断B；当时，弦长最短，即可判断C；计算出当时，圆心到直线的距离即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程变形为：， 令，解得， 所以直线l恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 当直线过圆心时，弦长最长为，故B正确； 对于C，当时，弦长最短， 此时，解得，故C错误； 对于D，当时，直线：， 此时圆心到直线的距离， 而， 所以当时，圆C上有4个点到直线l的距离等于4，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 在等差数列中，前m项（m为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且，则的值为____． 【答案】101 【解析】 【详解】偶数项的和，奇数项的和为，设公差为， ∵奇数项的和-偶数项的和为， 又，∴，∵，∴，， ∵，∴，∴ ， ∴，故答案为. 13. 已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 14. 写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果. 【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 四、解答题（5题，共77分） 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）由和的关系，求数列的通项公式； （2）错位相减法求数列前n项和. 【小问1详解】 由，当时，，. 当时，，所以，得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故． 【小问2详解】 令，则，①　 ，② ①－②，得， 整理得. 16. 如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． （1）求边BC所在直线的方程； （2）M为外接圆的圆心，求圆M的方程； （3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，又，则，即可求得BC所在直线的方程； （2）由BC的直线方程，可得，则得圆心，又，即可求得圆M的方程； （3）由已知，可得是该圆的半径，因为动圆N与圆M内切，可得，则点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，即可由待定系数法求椭圆方程. 【小问1详解】 因为点，点， 则，又，所以， 所以边BC所在直线的方程为， 即． 【小问2详解】 因为边BC所在直线的方程为， 令，得， 所以圆心，又因为， ∴圆M的方程为． 【小问3详解】 因为点P为线段OA的中点所以， 又，且圆N过点， 所以是该圆的半径， 因为动圆N与圆M内切，所以， 即， 所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且， 所以，，， 所以圆心N的轨迹方程为． 17. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量平行的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可. 【小问1详解】 由得, 所以，解得； 【小问2详解】 因为，且， 所以，化简得， 解之得. 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且，点为的中点． （1）求点的轨迹方程和点的轨迹方程； （2）若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用直接法和相关点代入法求轨迹方程. （2）借助几何性质，根据代数式的几何意义，应用数形结合思想求解与圆有关的最值问题. 【小问1详解】 设，．则， 化简得：，所以点的轨迹方程为； 设，因为点为的中点，所以点的坐标为， 将代入中，得到， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 因为点在（1）的轨迹上运动，所以， 变形为，即点为圆心为，半径为的圆上的点， 则，表示的几何意义为圆上一点到的距离的平方加上，当、、三点共线时，取到最值， 又，所以， 所以，， 故的取值范围是． 19. 已知圆的圆心为，半径为3，是过点的直线． （1）求圆的方程，并判断点是否在圆上，证明你的结论； （2）若圆被直线截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） 圆C的方程为： 点P不在圆上．证明如下： ∵， ∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上； （2）或． 【解析】 【分析】（1）圆心到点的距离与半径比较即可； （2）分直线l的斜率不存在与存在两种情形讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l为，即， 又∵，解得，此时直线l为， 综上所述：直线l的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $