专题01 相似形 2大高频考点（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期北京版

专题01 相似形 2大高频考点概览 考点01 相似图形的概念及性质 考点02 相似三角形 地 城 考点01 相似图形的概念及性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京昌平区·期末)如果，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故符合题意； B．因为，所以，故不符合题意； C．因为，所以，故不符合题意； D．因为，所以，故不符合题意； 故选：A． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：， 直线被所截得线段， 直线被所截得线段， ，，， 无法证明A成立，故A选项符合题意， 故选： A． 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，在中，，. 若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故选：C ． 5．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：A． 二、填空题 6．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，直线，分别交，于点E，F．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为： ． 7．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，直线，相交于点，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 相似三角形 一、单选题 1．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据、是等边三角形，得出， ，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断②；根据题意得出当点重合时，最大，此时 ，当时， 最小，证明，根据相似三角形的性质得出，结合点D是边上一点（不与点B、点C重合），即可判断③； 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故①正确； ∵ 故当时，， ∵是变化的， ∴不一定相似，故②错误； 当点重合时，最大，此时 ， 当时， 最小， 此时， ∵， ， ∴， ∴， ∵点D是边上一点（不与点B、点C重合）， ∴，故③正确； 故选：B． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的面积之比等于相似比的平方的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要分别求出线段和线段的长度，进而求出相似比，得到两个三角形的面积之比，根据的面积为1，即可求解的面积； 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵，, ∴， ∵的面积为1， ∴的面积为5； 故选：D； 二、填空题 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，身高米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子长2米，则路灯的高为 米． 【答案】8 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出是解决问题的关键．根据，得出，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ∵， ∴， ∴，即， 解得（米）， 即路灯的高为8米． 故答案为：8． 5．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，，交于点E，，，，则 ． 【答案】5 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 由，证明，则，而，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：5． 6．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图一块矩形铁板，其中，现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状，且需要以为斜边，直角顶点在上，则长为 m． 【答案】和 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，以为直径作圆，交于， 四边形是矩形， ， 为直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：和． 7．(24-25九上·北京顺义区·期末)物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，设与交于点，过作于点，延长，交于点，由题意得，，，，则，，然后由相似三角形的性质即可求解，解题的关键掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】解：如图，设与交于点，过作于点，延长，交于点， 由题意得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴小孔到火焰的像的距离为， 故答案为：． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 9．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中，，中线与高线相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形进行判定即可． 【详解】解：，为中线， 为高线， ； ， ； ； ，为中线， 为角平分线， ； 故答案为：或或或． 三、解答题 10．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，在中． 求作：正方形，两个顶点在上，另两个顶点分别在和上． 作法： ①在上任取一点，作，交于点； ②在上截取，过点和分别作和的垂线，交于点； ③作射线交于点； ④过点作交于点，过点作交于点， ⑤过点作于点． 则正方形为所求作正方形． (1)补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． ， ． （______）（填写依据）． 同理可得：． ______． ． ． 同理可得：四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)相似三角形对应边成比例， 【分析】（1）根据平行线的作法以及垂线的作法补全图形即可； （2）证明矩形是正方形．根据相似三角形对应边成比例推出．从而得出从而可推出结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． ， ． （相似三角形对应边成比例）（填写依据）． 同理可得：． ． ． ． 同理可得：四边形为正方形． 故答案为：相似三角形对应边成比例，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，作图复杂作图，平行线的作法，垂线的作法，正方形的判定，矩形的判定等知识，熟记各性质定理是解题的关键． 11．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，在矩形中，E为上一点，F为矩形外一点，． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，直接写出的长为 ，的长为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)4； 【分析】本题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质昨，因为，所以，则，即可证明； （2）连接交于点G，由相似三角形的性质得，，则，所以，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，E为上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接交于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，． 12．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，在四边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”即可得证； （2）根据三角形相似的性质，对应边成比例即可求解； 【详解】（1）证明：，，， ．． ． 又， ． （2）解：， ． ， ． ． 13．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，四边形是平行四边形，于点E，点E恰为中点，于点F，当，时，求的长． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明得，再由中点的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，E是中点， ∴， ∴， ∴． 14．(24-25九上·北京房山区·调研)如图，在中，，分别为，边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据公共角，已知，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，证明，根据“相似三角形的对应边成比例”，即可得证 【详解】证明：∵，分别为，边上的点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15．(24-25九上·北京通州区·期末)在矩形中，，点G为边上一点，，于点E， (1)求证； (2)求证E是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，进而可证明； （2）根据相似三角形的性质求出的长是解答本题的关键． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴E是的中点． 16．(24-25九上·北京门头沟区·期末)已知，如图，是等边三角形． (1)如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； (2)如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 【答案】(1)①见解析；②；③见解析 (2) 【分析】（1）①根据要求画出图形即可； ②证明，，再利用三角形的外角的性质即可解决问题； ③结论：．作交于K，连接．证明，即可解决问题； （2）结论：．过点A作，交的延长线于点F（如图3），利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②如图1中， ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，． ∴，， ∴， ∴； ③结论：． 理由：作交于K，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论：． 理由：过点A作，交的延长线于点F（如图3）． ∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似形 2大高频考点概览 考点01 相似图形的概念及性质 考点02 相似三角形 地 城 考点01 相似图形的概念及性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京昌平区·期末)如果，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京石景山区·期末)若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，在中，，. 若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．9 5．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，直线，分别交，于点E，F．若，，则的值为 ． 7．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，直线，相交于点，．若，，，则 ． 地 城 考点02 相似三角形 一、单选题 1．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　）    A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 2．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 二、填空题 4．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，身高米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子长2米，则路灯的高为 米． 5．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，，交于点E，，，，则 ． 6．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图一块矩形铁板，其中，现需要将此铁板裁剪为直角三角形形状，且需要以为斜边，直角顶点在上，则长为 m． 7．(24-25九上·北京顺义区·期末)物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为 ． 8．(24-25九上·北京石景山区·期末)中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 9．(24-25九上·北京通州区·期末)如图，在中，，中线与高线相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 三、解答题 10．(24-25九上·北京昌平区·期末)如图，在中． 求作：正方形，两个顶点在上，另两个顶点分别在和上． 作法： ①在上任取一点，作，交于点； ②在上截取，过点和分别作和的垂线，交于点； ③作射线交于点； ④过点作交于点，过点作交于点， ⑤过点作于点． 则正方形为所求作正方形． (1)补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． ， ． （______）（填写依据）． 同理可得：． ______． ． ． 同理可得：四边形为正方形． 11．(24-25九上·北京石景山区·期末)如图，在矩形中，E为上一点，F为矩形外一点，． (1)求证：； (2)连接交于点G，若，直接写出的长为 ，的长为 ． 12．(24-25九上·北京顺义区·期末)如图，在四边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 13．(24-25九上·北京平谷区·期末)如图，四边形是平行四边形，于点E，点E恰为中点，于点F，当，时，求的长． 14．(24-25九上·北京房山区·期末)如图，在中，，分别为，边上的点，．求证：． 15．(24-25九上·北京通州区·期末)在矩形中，，点G为边上一点，，于点E， (1)求证； (2)求证E是的中点． 16．(24-25九上·北京门头沟区·期末)已知，如图，是等边三角形． (1)如图1，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，的平分线交于点E，连接． ① 依题意补全图1； ② 求的度数； ③ 求证：； (2)如图2，将线段绕点A顺时针旋转，得到，连接，的平分线交的延长线于点E，连接，直接用等式表示线段间的数量关系．（不用证明） 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $