第十八章 相似形（复习课件）数学北京版九年级上册

单元复习课件 第十八章 相似形 北京版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析/针对训练 4 6 课堂总结 热考模型突破 1.理解相似图形/相似多边形的概念，能识别相似图形与全等图形的区别与联系。 2.掌握相似三角形的定义及表示方法。 3.熟练运用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似。 4.理解相似三角形的性质，并能解决计算问题。 5.能运用相似形知识解决实际问题。 1.准确识别 “对应角”“对应边”，并根据已知条件（角的关系或边的比例）选择恰当的判定定理. 2.通过作平行线、延长线段等方式构造相似三角形， 辅助线添加的目的性和多样性是难点. 1.能根据已知条件选择合适的定理证明三角形相似. 2.灵活运用相似三角形的性质求线段长度、角度、周长比、面积比等 3.能构建 “一线三垂直”“A 字模型”“8 字模型” 等常见相似模型，解决测量、影子、镜面反射等实际问题 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），若满足________________，那么称点B为线段AC的黄金分割点，___________（或____________）的比成为黄金比，它们的比值为_______________，近似值为_______. 成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比_______，如________________________，我们就说这四条线段成比例，简称比例线段. 比例中项：如果比例线段的内项是两条_______的线段，即_______________ ，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 比例的性质： 1）基本性质： 2 ）合比性质： 3 ）分比性质： 4 ）等比性质: 考点一 比例线段 相等 相同 AB与AC BC与AB 0.618 考点串讲 题型一 比例线段 类型一 成比例线段的判断 例1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【学会总结】判断成比例线段的“三步骤” 1）统一单位.将四条线段___________. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于__________的比； ②方法二：前后两个的积是否等于__________的积. 单位统一 后两个 中间两个 解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D符合题意． 故选D． 题型剖析 1．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【思路】比例线段中的四条线段有一定的顺序性 D 2．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段． 易错分析：默认这四条线段的长短顺序，只讨论其中一种情形. 解：设这条线段长xcm， ①若四条线段的长度大小为：x，1，，2时，，解得：； ②若四条线段的长度大小为： 1，x，，2时，，解得：； ③若四条线段的长度大小为： 1，，x，2时，，解得：； ④若四条线段的长度大小为： 1，，2 ，x时，，解得：； 综上所述，线段长度为cm、cm或cm． 针对训练 题型一 比例线段 类型二 成比例线段在地图中的应用 例2．一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位） 【详解】解：，∴比例尺为：；故选A． 1．在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ，解得：，经检验是原分式方程的解，故答案为：． 题型剖析 2．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 针对训练 题型一 比例线段 类型三 利用比例的性质求解 例3．已知，求的值． 【详解】解：设， ∴． 【思路】利用设参法解决此类问题，根据比例设，然后代入进行计算即可得解． 1．已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 【详解】解：设，则， ∵，∴，解得：， ∴， ∴． 题型剖析 2．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； （2）解：∵线段是线段的比例中项，∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； 针对训练 题型一 比例线段 类型四 黄金分割（热考） 例4．人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是，小明同学的最佳身高是（   ）． A． B． C． D． B 1．大自然是美的设计师，既使是一片小小的银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，若A、P、B三点共线，点为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． B 题型剖析 2．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为． 依题意，得解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵，∴．故选：C． 针对训练 3．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 针对训练 考点二 相似三角形 相似图形：我们把_____________的图形叫做相似图形. 相似多边形：两个边数________的多边形，如果它们的角分别__________，边________，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形_________的比叫做相似比. 相似三角形：三个角对应________，三条边对应_______的两个三角形叫做相似三角形. 记法：相似用符号“_____”表示，读作“相似于”. 确定相似三角形的对应角、对应边的方法：____________与______________对应，__________与______________对应. 【易错】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 形状相同 相同 相等 成比例 对应边 相等 成比例 ∽ 最大（小）角 最大（小）角 最长（短）边 最长（短）边 考点串讲 考点二 相似三角形 判定两个三角形相似的定理   判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似．   ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似三角形的性质： 考点串讲 题型二 相似三角形 类型一 相似图形的识别 例1．下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题妙招：判断两个图形是否相似， 应从两方面进行考虑： 一是看对应角是否相等， 二是看对应边的比是否相等， 二者缺一不可. 【详解】解：①对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形； ②对应角度数相等，对应边成比例，是相似图形； ③对应边的比、对应角的度数不一定相等，不一定是相似图形； ④对应边的比、对应角的度数一定相等，是相似图形； ⑤锐角不一定相等，不一定是相似三角形； ⑥对应边的比不一定相等，不一定是相似图形； ⑦边的比一定相等，且对应角一定对应相等，是相似图形； ∴有3个相似图形．故选：C． 题型剖析 1．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 2．如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）． A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 C A 针对训练 题型二 相似三角形 类型二 利用相似多边形的性质求解 例2．如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（    ） A． B．六边形的周长等于六边形的周长的倍 C． D．六边形的面积等于六边形的面积的2倍 【思路】本题考查的是相似图形，熟知相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似图形的性质解答即可． C 1．如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． C 题型剖析 题型二 相似三角形 类型三 利用相似三角形的性质求面积 例3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是，∴，∴， 故选：． 题型剖析 1．如图，的三个顶点D，E，F分别为三边的中点，若的面积，则的面积（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 2．如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为 ． 3．已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为，则较小的三角形的面积为 ． C 24 32 针对训练 题型二 相似三角形 类型四 相似三角形在动态几何中的应用 例4．如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 解题方法：对于动态相似图形问题， 一般是已知结论，求使结论成立的条件， 可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分， 再结合已有的条件和图形进行分析、探究， 便可得到所需的条件. 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ，解得， 当与是对应边时，则， ，解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 题型剖析 1．如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ①当时，．解得．故经过秒时，． ②当时，．解得．故经过秒时，． 故答案为：或． 【易错点】未分类讨论而导致结果缺失 针对训练 1．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（   ） A．1 B． C． D．5 题型二 相似三角形 类型五 平行线分线段成比例的定理及推论 例5．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． B C 题型剖析 2．如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．4.5 3．如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． A 解题方法：当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 【详解】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示： ∵D为中点，，∴，即：， 又E为的中点，的延长线交于F，， ∴，即：，∴，∴． 针对训练 4．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【详解】解：过点 作 交于点 ． ∵是的中点，∴， ， （平行线分线段成比例定理）．， ，,设，则 ，， ，且， ，解得， ∴ 故答案为： ． 针对训练 题型二 相似三角形 类型六 选用合适的方法证明两个三角形相似 例6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． D 题型剖析 1．如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④，其中一定使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 2．如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ，． 针对训练 3．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 证明：由图知：，，， ，，． ， ． 证明：， 则，， ，， ， ． 4．如图，在与中，，，求证：． 【技巧】可利用勾股定理求出网格中三角形的三边长. 针对训练 题型二 相似三角形 类型七 利用相似三角形的性质与判定解决实际问题 例7．在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 解题方法：将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据相似三角形的对应边成比例，求出物体的宽度. 【详解】解：如图：根据光的反射定律得： ， 又∵，∴，∴， ∴，，，∴，∴，故选：D. 题型剖析 1．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． 【详解】解：由题意，得：， ∴，∴， ∴，∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 针对训练 2．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，，即，， 则，解得：， 故，解得： 答：路灯高米． 解题方法：一些复杂的实际问题涉及两个基本图形.并且未知线段过多，此时需要运用两次相似三角形的性质，有时还需要借助方程(组)这一工具来帮忙解决. 针对训练 考点三 热考模型 考点串讲 考点三 热考模型 考点串讲 考点三 热考模型（一线三等角模型） 考点串讲 考点三 热考模型（半角模型） 考点串讲 考点三 热考模型（手拉手模型） 考点串讲 1．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，，∴ ，∴ ， ，，∴ ， ∴ ．故选：A． 针对训练 2．如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【详解】解：过C作CE⊥x轴于E， ∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO， ∵，∴△BCE∽△ABO，∴， ∵∴AB=， ∵AB=2BC，∴BC=AB=4， ∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2 ∴C（4+2，2），故选：D． 针对训练 3．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝， ∴, ∵∴BC＝， 故答案为：． 针对训练 4．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． （1）证明：在中， ，， ， ，． （2）解：∵，，∴， ∵，∴， ∴，即，解得：或， ∴的长为2或4． 针对训练 5．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形，，， 是的高，，四边形是矩形，， ，（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，，，解得：， ． 针对训练 一、核心知识梳理 相似图形：形状相同的图形，对应角相等，对应边成比例（相似比 k）,全等形是特殊的相似形（k=1）。 相似三角形判定： AA（两角对应相等）；SAS（两边成比例且夹角相等）；SSS（三边成比例）；HL（直角三角形斜边和直角边成比例）。 相似三角形性质： 对应边、对应高 / 中线 / 角平分线的比等于 k；周长比等于 k；面积比等于k2。 二、关键技能与思想 模型应用：识别 “A 字模型”“8 字模型”“一线三垂直” 等常见相似模型，快速构建比例关系。 辅助线技巧：遇中点连中位线、作平行线构造相似；证比例式时 “横找竖看” 定对应。 数学思想：类比（与全等对比）、转化（复杂图形→基本模型）、分类讨论（动态相似问题）。 课堂总结 三、常见误区警示 写相似符号 “∽” 时务必注意顶点对应顺序； 面积比是相似比的平方，勿与周长比混淆； 课堂总结 感谢聆听! 对应线段成比例的应用方式： ① （等号的左、右两边各在一条直线上）. ② （等号的左、右两边各在两条直线上）. $$