专题01 相似形 8个题型（期中专项训练）九年级数学上学期北京版

专题01相似形 题型1 比例线段 题型5 相似三角形的判定 题型2 黄金比例 题型6 相似三角形的性质 题型3 平行线分线段成比例 题型7 相似三角形性质判定综合（难点） 题型4 相似多边形 题型8 相似三角形实际应用 题型一 比例线段（共3小题） 1．如果，那么的值是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入约分即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 3．线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）设，则，，， 由得：，解得， 所以，，， 所以． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 题型二 黄金比例（共3小题） 4．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点，进行判断即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点（）， ∴； 故选A． 5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 6．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】/ 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 题型三 平行线分线段成比例（共3小题） 7．如图，在中，，. 若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故选：C ． 8．如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．根据题意先过D作的平行线，交边于G，得出，再根据D为中点可得出，；同理求得，从而得出，即可得出的值． 【详解】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示： ∵D为中点，， ∴，即：， 又E为的中点，的延长线交于F，， ∴，即：， ∴， ∴． 9．已知，和都是等腰直角三角形，(如图1)，为的中点，连接，并延长交于点． (1)在图1中，按要求补全图形，并证明； (2)将图1中的绕点旋转，当落在图2所示的位置时，点，，恰好在同一条直线上．连接，交于点F．判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形和证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）依题意补全图形，由是等腰直角三角形，为的中点，可得，故，又，从而可得； （2）延长至，使，连接，，证明，可得，，即知，有，可证，故，得，则，进而根据平行线分线段成比例得出结论． 【详解】（1）补全图形如图： 证明：是等腰直角三角形，为的中点， ， ， ， ， ； （2）．证明如下： 延长至，使，连接，， 是等腰直角三角形，， ，， 为的中点， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形． 题型四 相似多边形（共3小题） 10．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 11．北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF)为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB)为 丈． 【答案】72 【分析】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得： x：40=9：5， 解得：x=72． 故答案为：72． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解答本题的关键． 12．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1)70 (2)， 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题． （1）由相似多边形对应角相等，可得，再根据四边形内角和为即可求解； （2）根据相似多边形对应边长成比例，可得，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； （2）解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 题型五 相似三角形的判定（共3小题） 13．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 14．如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】分别计算两个三角形三条边的长，再根据三边成比例的两三角形相似可得结论． 【详解】解：根据网格可知： 三边的长分别为：，，， 三边的长分别为：，，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键．注意：三边对应成比例的两个三角形相似． 15．如图，，点B、C分别在AM、AN上，且． （1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答； （2）根据三角形外角的性质及角平分线的性质证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图： （2）∵， ∴， ∵BD平分∠MBC， ∴， ∵是△ADB的一个外角， ∴， ∴. ∵， ∴△ABC∽△ADB． 【点睛】此题考查了角平分线的作图，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 题型六 相似三角形的性质（共3小题） 16．两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”确定两个三角形的相似比，然后根据“相似三角形的周长比等于相似比”，即可获得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形面积比是， ∴这两个三角形的相似比，也即周长比为， ∵面积较小的三角形的周长为， ∴另一个三角形的周长是． 故答案为：60． 17．如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ． ， ， ， ． 18．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（）根据两三角形相似，对应边成比例，得，结合已知条件，从而得到的长，再根据勾股定理即可求解； （）根据相似三角形对应角相等，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，； （2）证明：∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 题型七 相似三角形性质判定综合（共5小题） 19．如图，． (1)与是否相似？请说明理由． (2)设，，求的值． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）相似，由平行线的性质得，结合可证明; （2）根据相似三角形列式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：相似，理由如下： ∵ ∴， 又， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴． 20．如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，所以，又因为，进而可证明； （2）由（1）可知：，得出，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 21．如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长． 【详解】（1）∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵在中，，，， ∴， 由（1）已证：∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 22．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.    (1)求证：； (2)如果，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形对角相等可得，又，等量代换可得，再结合公共角，即可证明； （2）根据（1）的结论，列出比例式代入数值计算可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．如图，已知平分∠，． (1)求证：∠E=∠C； (2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合已知条件得出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据列出比例式，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分∠， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ， , 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型八 相似三角形实际应用（共3小题） 24．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 25．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为1.8米，他的影长为0.9米，同时测得旗杆的影长为6米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A，此时旗杆底端到点的距离为9米，小丽的眼睛点到地面的距离为1.6米． 【答案】旗杆高度为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 26．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，如图（1）所示，如图（2），若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立时像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x cm， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是4cm． 故答案为：4 2 / 21zxxk.com 1 / 21zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相似形 题型1 比例线段 题型5 相似三角形的判定 题型2 黄金比例 题型6 相似三角形的性质 题型3 平行线分线段成比例 题型7 相似三角形性质判定综合（难点） 题型4 相似多边形 题型8 相似三角形实际应用 题型一 比例线段（共3小题） 1．如果，那么的值是 ． 2．若，则 ． 3．线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 题型二 黄金比例（共3小题） 4．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 6．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米． 题型三 平行线分线段成比例（共3小题） 7．如图，在中，，. 若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．9 8．如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 9．已知，和都是等腰直角三角形，(如图1)，为的中点，连接，并延长交于点． (1)在图1中，按要求补全图形，并证明； (2)将图1中的绕点旋转，当落在图2所示的位置时，点，，恰好在同一条直线上．连接，交于点F．判断线段与的数量关系，并证明． 题型四 相似多边形（共3小题） 10．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   11．北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF)为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB)为 丈． 12．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 题型五 相似三角形的判定（共3小题） 13．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有和，求证：． 15．如图，，点B、C分别在AM、AN上，且． （1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB． 题型六 相似三角形的性质（共3小题） 16．两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 17．如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 题型七 相似三角形性质判定综合（共5小题） 19．如图，． (1)与是否相似？请说明理由． (2)设，，求的值． 20．如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 21．如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求和的长． 22．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.    (1)求证：； (2)如果，，求的值. 23．如图，已知平分∠，． (1)求证：∠E=∠C； (2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长． 题型八 相似三角形实际应用（共3小题） 24．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 25．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为1.8米，他的影长为0.9米，同时测得旗杆的影长为6米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A，此时旗杆底端到点的距离为9米，小丽的眼睛点到地面的距离为1.6米． 26．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，如图（1）所示，如图（2），若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立时像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm． 2 / 37zxxk.com 2 / 37zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $