专题01 分式 6大高频考点（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期新教材北京版

专题01 分式 6大高频考点概览 考点01 分式的概念及性质 考点02 分式加减法运算 考点03 分式加减乘除混合运算 考点04 分式化简求值 考点05 解分式方程 考点06 分式方程的实际应用 地 城 考点01 分式的概念及性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京昌平区·期末)下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 4．(24-25八上·北京怀柔区·期末)若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·北京延庆区·期末)分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·北京平谷区·期末)如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·北京石景山区·期末)若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 8．(24-25八上·北京延庆区·期末)若分式的值为0，则x的值等于（    ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·北京顺义区·期末)如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的4倍 二、填空题 10．(24-25八上·北京平谷区·期末)分式和的最简公分母是 ． 11．(24-25八上·北京怀柔区·期末)约分： . 12．(24-25八上·北京顺义区·期末)若分式的值为0，则x的值为 ． 13．(24-25八上·北京昌平区·期末)在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器的任务．小明了解到三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义．“三分损一”是指将原有长度作3等分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中1份．我们可以利用三分损益法制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长a为标准，经“三分损一”得“徵”，徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”．若a为18，则商管的管长为 ；小明用长度为b的发声管制作了若干个微管，小红用长度为c的发声管制作了同样数量的角管，则的值为 ． 地 城 考点02 分式加减法运算 一、解答题 1．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算：． 2．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： ． 3．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)计算：． 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 6．(24-25八上·北京门头沟区·期末)老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： (1)在“接力游戏”中，从____同学开始出现计算错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确解答过程． 7．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学：     ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 8．(24-25八上·北京燕山·期末)阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 地 城 考点03 分式加减乘除混合运算 一、填空题 1．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： ． 2．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： 二、解答题 3．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算：． 4．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算∶ 5．(24-25八上·北京燕山·期末)计算： 6．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算： 7．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 8．(24-25八上·北京昌平区·期末)2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． (1)当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； (2)请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 9．(24-25八上·北京燕山·期末)课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：         第一步                      第二步                      第三步                      第四步 乙同学：      第一步                第二步                   第三步                           第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 地 城 考点04 分式化简求值 一、解答题 1．(24-25八上·北京延庆区·期末)先化简，再求值：，其中． 2．(24-25八上·北京平谷区·期末)已知，求代数式的值． 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)已知，求代数式的值． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)已知，求的值． 5．(24-25八上·北京燕山·期末)已知，求代数式的值． 6．(24-25八上·北京通州区·期末)化简求值：，其中． 7．(24-25八上·北京通州区·期末)化简求值：，其中． 8．(24-25八上·北京房山区·期末)先化简，再求值：，其中a＝2． 9．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知：，求代数式的值． 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． (1)下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ①    ②    ③    ④ (2)当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t的值，______．②t的取值范围是_____． (3)关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 地 城 考点05 解分式方程 一、填空题 1．(24-25八上·北京顺义区·期末)对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为 ；若，则的值为 ． 2．(24-25八上·北京通州区·期末)方程的解为 ． 二、解答题 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)解分式方程： 4．(24-25八上·北京昌平区·期末)解方程：． 5．(24-25八上·北京延庆区·期末)解分式方程： (1)； (2) 6．(24-25八上·北京门头沟区·期末)解分式方程：． 7．(24-25八上·北京怀柔区·期末)解分式方程： 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)解分式方程：． 9．(24-25八上·北京石景山区·期末)解分式方程：． 10．(24-25八上·北京顺义区·期末)解方程：． 11．(24-25八上·北京房山区·期末)解方程：． 地 城 考点06 分式方程的实际应用 一、填空题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 . 二、解答题 2．(24-25八上·北京燕山区·期末)某中学组织学生到离家的郊区体验农耕劳动，一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发50分钟后乘汽车前往，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达郊区，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价． 4．(23-24八上·北京海淀区·期末)列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 5．(24-25八上·北京门头沟区·期末)列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 6．(24-25八上·北京延庆区·期末)乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米． 7．(24-25八上·北京昌平区·期末)学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有90分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，A馆的文物比B馆多25个，B馆平均每个文物的讲解语音时长是A馆的1.5倍，两组同学认真地听完了馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前30分钟结束参观，求A馆平均每个文物的讲解语音时长． 8．(24-25八上·北京燕山·期末)列方程解应用题． 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少． 9．(24-25八上·北京平谷区·期末)2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 10．(24-25八上·北京房山区·期末)研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用，体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳克所需的种植面积是垂柳一天固碳克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，求洋槐一天单位面积固碳量是多少克？ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式 6大高频考点概览 考点01 分式的概念及性质 考点02 分式加减法运算 考点03 分式加减乘除混合运算 考点04 分式化简求值 考点05 解分式方程 考点06 分式方程的实际应用 地 城 考点01 分式的概念及性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京昌平区·期末)下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，利用分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项变形不正确，则A不符合题意； B. ，原选项变形错误，则B不符合题意； C. ，变形正确，故选项C符合题意； D. ，原选项变形错误，则D不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·北京门头沟区·期末)下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质，根据分式的性质逐项计算即可得出正确的选项 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项错误，不符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数（非零），分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 4．(24-25八上·北京怀柔区·期末)若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得 故选：C． 5．(24-25八上·北京延庆区·期末)分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 6．(24-25八上·北京平谷区·期末)如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为零，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分式的分母不为零且分子为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：． 故选：B． 7．(24-25八上·北京石景山区·期末)若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：B． 8．(24-25八上·北京延庆区·期末)若分式的值为0，则x的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为零，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选A． 9．(24-25八上·北京顺义区·期末)如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的同时扩大为原来的2倍可得，即该分式的值不变， 故选：A． 二、填空题 10．(24-25八上·北京平谷区·期末)分式和的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母，先整理，，得出分式和的最简公分母是，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴分式和的最简公分母是， 故答案为：． 11．(24-25八上·北京怀柔区·期末)约分： . 【答案】 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．把分子分母都约去公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 12．(24-25八上·北京顺义区·期末)若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【来源】 北京市顺义区2024-2025学年八年级上学期期末数学测试试卷 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．直接利用分式的值为零分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：． 13．(24-25八上·北京昌平区·期末)在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器的任务．小明了解到三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义．“三分损一”是指将原有长度作3等分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中1份．我们可以利用三分损益法制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长a为标准，经“三分损一”得“徵”，徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”．若a为18，则商管的管长为 ；小明用长度为b的发声管制作了若干个微管，小红用长度为c的发声管制作了同样数量的角管，则的值为 ． 【答案】 16 /0.84375 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．根据题意可得商管的管长为，再把代入计算即可；根据题意分别求出b、c，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得，商管的管长为， 当时，， 根据题意，得 ， ， ∴． 故答案为：16，． 地 城 考点02 分式加减法运算 一、解答题 1．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用分式的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 2．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式的减法法则是解答本题的关键． 根据异分母分式的减法法则计算化简即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算：． 【答案】 【分析】首先把两分式通分化为同分母分式后，再按照分母不变，分子相加减的法则计算． 【详解】解：原式 . . . 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题关键． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 5．(24-25八上·北京石景山区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把两个分式合并，再把分子分解因式，然后约分即可得到答案． 【详解】解： ． 6．(24-25八上·北京门头沟区·期末)老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： (1)在“接力游戏”中，从____同学开始出现计算错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确解答过程． 【答案】(1)甲，分子分母没有同乘以 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算：一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． （1）甲在通分时，分子没有乘； （2）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：在“接力游戏”中，从甲同学开始出现计算错误，错误的原因是分子分母没有同乘以； 故答案为：甲，分子分母没有同乘以； （2）解： ． 7．(24-25八上·北京昌平区·期末)计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学：     ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 【答案】（1）甲（或乙）；（2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母；（3）详见解析. 【分析】甲的错误是第②步通分时，分子没有乘，乙的错误是第③步直接去掉了分母，任选一个作答即可，按照通分，合并的步骤写出正确过程即可. 【详解】解：（1）甲（或乙）； （2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母； （3）正确解答过程如下：    . 【点睛】本题考查分式的计算，注意通分时不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程区分开. 8．(24-25八上·北京燕山·期末)阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 地 城 考点03 分式加减乘除混合运算 一、填空题 1．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，约分．先计算分式的乘方，再约分即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．(24-25八上·北京房山区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算．先计算分式的乘方运算，然后计算乘法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 先把前面括号内通分和中括号内的除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算转化为乘法运算，最后约分即可． 【详解】解： ． 4．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算∶ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先将除法变为乘法，同时分解因式，再约分，然后计算分式的加减． 【详解】解： ． 5．(24-25八上·北京燕山·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键； 根据分式计算法则计算即可求解； 【详解】解： 6．(24-25八上·北京怀柔区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 7．(24-25八上·北京平谷区·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及二次根式的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 8．(24-25八上·北京昌平区·期末)2024年10月昌平区举办了第二十一届苹果文化节活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是m元/千克和n元/千克，小聪每次买a元钱的苹果，小明每次买b千克的苹果． (1)当时，小聪两次购买苹果的总质量为_____（请用含m、n的式子表示）； (2)请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低（平均价格）． 【答案】(1) (2)小聪两次购买苹果的平均价格更低，见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式以及异分母异分子的大小比较，分式的混合运算的应用． （1）由费用单价数量分别表示小聪两次购买苹果的质量，再相加即可； （2）小聪两次购买苹果的平均价格：，小明两次购买苹果的平均价格：，然后作差，化简比较． 【详解】（1）解：当时，小聪两次购买苹果的总质量为（千克）， 故答案为：； （2）解：小聪两次购买苹果的平均价格： 小明两次购买苹果的平均价格： ． ，，， ，． ． ∴， ∴， 小聪两次购买苹果的平均价格更低． 9．(24-25八上·北京燕山·期末)课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：         第一步                      第二步                      第三步                      第四步 乙同学：      第一步                第二步                   第三步                           第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； (2)请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算， （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【详解】（1）解：选甲：一，理由合理即可，如：第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘； 选乙：二，理由合理即可，如：与等式的性质混淆了，丢掉了分母； （2） 地 城 考点04 分式化简求值 一、解答题 1．(24-25八上·北京延庆区·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握混合运算的运算法则． 先对括号里进行通分、合并同类项，然后进行乘除运算化为最简，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 2．(24-25八上·北京平谷区·期末)已知，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，得，因为，所以，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)已知，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出，再把所求分式小括号内的式子通分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 4．(24-25八上·北京顺义区·期末)已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算括号内的分式减法，然后计算分式的除法，由此即可得． 【详解】解：由得：， 则 ． 5．(24-25八上·北京燕山·期末)已知，求代数式的值． 【答案】，2 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则，整体代入法求代数式的值，是解题关键． 先计算括号里的分式，再与括号外的约分相乘，化简，再将代入化简结果求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 6．(24-25八上·北京通州区·期末)化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 7．(24-25八上·北京通州区·期末)化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先计算括号内的，再将除法变为乘法，同时分解因式，然后约分化为最简，最后代入数值计算即可． 【详解】原式 ． ∵， ∴， ∴原式． 8．(24-25八上·北京房山区·期末)先化简，再求值：，其中a＝2． 【答案】 【分析】先计算括号内的加法、将除式的分子、分母因式分解后，把除法转化为乘法，再约分即可化简原式，最后将a的值代入计算可得． 【详解】解：原式 当a＝2时，原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 9．(24-25八上·北京昌平区·期末)已知：，求代数式的值． 【答案】， 【来源】北京市昌平区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 【分析】根据分式的运算法则对原式进行化简，再把已知条件变形为化简算式可以利用的形式后代入求解即可 ． 【详解】解：原式 . 由已知可得：， 把上式代入经化简后的原式可得原式. 【点睛】本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算方法与整体代入的思想方法是解题关键． 10．(24-25八上·北京昌平区·期末)在代数式的学习中，在一定范围内当x的值变化，含x的代数式的值也在变化，给出如下定义：若x值增大时，代数式值也增大，我们叫做“增值代数式”，若x值增大时，代数式值减小，我们叫做“减值代数式”． (1)下列代数式中，当是“增值代数式”的是_____． ①    ②    ③    ④ (2)当时，代数式是“减值代数式”， ①写出一个t的值，______．②t的取值范围是_____． (3)关于x的代数式，若时，代数式M是“增值代数式”，时，代数式M是“减值代数式”，求t的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)1（答案不唯一）， (3) 【分析】本题考查了新定义下的完全平方公式的运用，理解新定义，并熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键. （1）根据“增值代数式”的定义判断即可; （2）根据“增值代数式”的定义，确定t的范围即可: （3）将M整理为，再根据（2）的思路求解即可 【详解】（1）解：①，x的值越大，的值越小，故①不是“增值代数式”； ②，当时，的值随x值增大而增大，所以，②是“增值代数式”； ③，当时，的值随x值增大而增大，所以，③是“增值代数式”； ④，当时，的值随x值增大而减小，所以，④是“增值代数式”； 故答案为：②③； （2）解：， 所以，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵代数式是“减值代数式”， ∴， ∴， ∴可以取1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一），； （3）解： 对于，当时是“增值代数式”，当时是“减值代数式”， 所以，当时是“减值代数式”，当时是“增值代数式”， 又当时，代数式M是“增值代数式”， ∴， 解得，， 当时，代数式M是“减值代数式”， ∴， 解得，， 综上，的取值范围是 地 城 考点05 解分式方程 一、填空题 1．(24-25八上·北京顺义区·期末)对于任意不相等的实数，，定义运算“*”如下：．计算的结果为 ；若，则的值为 ． 【答案】 3 2或8 【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，新定义运算，解题的关键是理解题意，弄清新定义运算法则．根据新定义运算，列出算式计算即可． 【详解】解：， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解； 综上，的值为8或2； 故答案为：3；2或8． 2．(24-25八上·北京通州区·期末)方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法，先方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得， 解得：， 检验，把代入， 所以是分式方程的解， 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25八上·北京石景山区·期末)解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．先去分母把分式方程化为整式方程，然后再解答，最后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母，得， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 4．(24-25八上·北京昌平区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母化为整式方程，解整式方程求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得，， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 5．(24-25八上·北京延庆区·期末)解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可； （2）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得， ， ， ， ， ， 检验：当时，方程左右两边相等． 所以原分式方程的解为． （2）解：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ； 检验：当时，最简公分母，原方程中的分式无意义； 所以原方程无解． 6．(24-25八上·北京门头沟区·期末)解分式方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：    ， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴原方程的解是． 7．(24-25八上·北京怀柔区·期末)解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 8．(24-25八上·北京石景山区·期末)解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键． 先去分母化为整式方程，再进行去括号合并，最终进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是． 9．(24-25八上·北京石景山区·期末)解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 10．(24-25八上·北京顺义区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法．其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，． 所以原方程的解是． 11．(24-25八上·北京房山区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先给原方程去分母转化为整式方程，然后解分式方程即可，注意计算结果要检验． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 解得， 经检验，是原分式方程的解． 地 城 考点06 分式方程的实际应用 一、填空题 1．(24-25八上·北京怀柔区·期末)我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 二、解答题 2．(24-25八上·北京燕山区·期末)某中学组织学生到离家的郊区体验农耕劳动，一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发50分钟后乘汽车前往，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达郊区，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度 【答案】自行车的速度是16千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑车和乘骑车两种交通方式所需时间之间的关系，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：自行车的速度是16千米/小时． 3．(24-25八上·北京顺义区·期末)为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价． 【答案】A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元 【分析】本题考查的是分式方程的应用. 设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元，再利用购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的倍，列方程，解方程即可. 【详解】解：设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元， 依题意，得， 解得， 经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义， 所以， 答：A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元． 4．(23-24八上·北京海淀区·期末)列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 5．(24-25八上·北京门头沟区·期末)列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】边衬的宽度为 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键． 设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：边衬的宽度为． 6．(24-25八上·北京延庆区·期末)乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米． 【答案】200米 【分析】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原来每天修建道路200米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7．(24-25八上·北京昌平区·期末)学校组织同学们参观博物馆，并为每位同学租了讲解器，同学们只要带着讲解器靠近文物，讲解器中就会自动播放讲解语音．同学们有90分钟的时间选择自己感兴趣的展馆参观，甲组和乙组同学分别选择参观A馆和B馆，A馆的文物比B馆多25个，B馆平均每个文物的讲解语音时长是A馆的1.5倍，两组同学认真地听完了馆内所有文物的语音讲解，甲组同学按时结束参观，乙组同学提前30分钟结束参观，求A馆平均每个文物的讲解语音时长． 【答案】馆平均每个文物的讲解语音时长为2分钟． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟，则馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟，根据A馆的文物比B馆多25个建立方程即可． 【详解】解：设馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟， 则馆平均每个文物的讲解语音时长为分钟， 根据题意，得，解得：， 经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． 答：馆平均每个文物的讲解语音时长为2分钟． 8．(24-25八上·北京燕山·期末)列方程解应用题． 为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的1.5倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是多少． 【答案】第二批跳绳每根的进价是15元 【分析】本题考查了分式方程的应用． 关键是根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量列方程． 设第一批体育用品每件的进价是x元，则第一批进的数量是：件，第二批进的数量是：件，再根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量可得方程． 【详解】解：设第二批跳绳每根的进价是x元． 根据题意，得． 解之，得． 经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． 答：第二批跳绳每根的进价是15元． 9．(24-25八上·北京平谷区·期末)2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 【答案】300米 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米，列出方程求解即可． 【详解】解：设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义， 答：小明乐跑活动后每分钟跑300米． 10．(24-25八上·北京房山区·期末)研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用，体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳克所需的种植面积是垂柳一天固碳克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，求洋槐一天单位面积固碳量是多少克？ 【答案】洋槐一天单位面积固碳量是克 【分析】题目主要考查分式方程的应用，设洋槐一天单位面积固碳量是x克，则垂柳一天单位面积固碳量为克，根据题意列出方程求解、检验即可． 【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克，则垂柳一天单位面积固碳量为克， 根据题意得：， 解得：， 检验：经检验：是原分式方程的解， ∴洋槐一天单位面积固碳量是克． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $