专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题强化练习（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 2 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 3 题型四、分式方程的增根问题 5 题型五、分式方程的无解问题 6 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 8 题型七、分式方程的解新定义问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，首先将分式方程转化为整式方程，求解得到关于的表达式，再根据解为正数及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解：原方程为． 方程化简为： ． ． 两边同乘得： ． ∵，即， ∴； ∵，即， ∴． 综上，的取值范围为且， 故选D． 2．分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后根据分式方程的解为正数且原方程不能有增根列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：B． 3．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程． 利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可，注意分式方程无解的情况． 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， ， 由题意得，该分式方程有解，且解为正数， 即且， 且． 故选：． 4．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的方程的解是正数， 且， 解得：且． 故选：A． 5．已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，然后求出方程的解，根据方程的解为正数列出不等式求出a的取值范围，再根据方程不能有增根进一步求出a的取值范围即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵原方程的解为正数， ∴， ∴， ∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 6．若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围． 【详解】解：分式方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 方程有正数解， ， ， 解得， ，， ， ∴且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 7．已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 8．（1）解方程：． （2）关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围 【答案】（1）原方程无解（2）且 【分析】本题考查的是解分式方程及分式方程的解为正数，熟记“注意分式方程要检验，分母不为0”是解本题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可； （2）先解分式方程可得，再根据解为正数可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）方程两边都乘得： ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的增根， 所以，原方程无解； （2）， ， ， 关于的分式分程的解为正数， ， 解得：且． 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 9．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 10．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：C． 11．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为非负数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得， ∵x为非负数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：A． 12．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非负数求出的范围即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 由方程的解是非负数，得到，且， 解得：且． 故选：． 13．关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为负数列出关于a的不等式，求出a的取值范围，最后根据分式方程不能有增根即可求出答案． 【详解】解； 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， 故答案为：且． 14．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 15．若关于x的分式方程的解为负数，求字母a的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．解分式方程得，由题意可知，结合，即，即可解答． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴且． 16．关于的分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】，且 【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可． 本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， 去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是负数，且方程的增根为的解， ∴，且， 解得，且， 故的取值范围，且． 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 17．关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【分析】解：方程两边同时乘以得： ， ， ， ， 解为非正数， ， ． ∵， ∴，解得：， 综上：． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键． 18．若关于x的分式方程的解为非正数，则a的取值范围是（  ） A．a≤- B．a< C．a≥且a≠6 D．a≤-且a≠-6 【答案】D 【分析】先求出分式方程的解，再根据题意得出一元一次不等式组，解一元一次不等式组，即可得出答案． 【详解】解：去分母得：2（2x﹣a）＝x+3， 解得：x， ∵x≤0，x≠﹣3， ∴0且3， 解得：a且a≠﹣6， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程及解一元一次不等式，根据题意得出一元一次不等式组是解决问题的关键． 19．已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（      ） A．k≤－12 B．k≥ －12且k ≠  －3 C．k>－12 D．k<－12 【答案】A 【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可． 【详解】方程的两边同时乘以 得： ， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键． 20．已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键． 21．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解， 得：， ∵方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 22．关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 23．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】首先解关于的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于0列不等式求得的范围． 本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不等于0这一条件是关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 即， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 根据题意得：且，， 解得：且． 24．关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据题意解分式方程，根据分式有意义的条件以及解为非负数，列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】解：去分母，得，解得． 为非负数且， 且， 解得且， 的取值范围为且． 题型四、分式方程的增根问题 25．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先令分母求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求出k. 本题考查了分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程是解题关键． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得， 原方程化为：， ， ， 把代入得， ， 解得． 故选：D． 26．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程有增根的含义是解题关键．先解分式方程得，再根据增根得出，即可求出m的值． 【详解】解：原方程为 ， 两边同乘，去分母得：， 解得：， 分式方程有增根， ， ， ， 故选：A． 27．关于x的分式方程有增根，则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，根据最简公分母为零计算即可． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 故选：D． 28．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．3或6 B．6 C．12 D．6或12 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的增根，分式方程有增根时，增根必定使最简公分母为零，本题最简公分母为，故增根为或，将方程去分母后解出，令其等于增根的值，即可求出对应的即可． 【详解】解：原方程分母为、、，分解得最简公分母为， 故增根为或， 方程两边同乘，得， 解得：， 当增根为时，代入得， 解得， 当增根为时，代入得， 解得， 或时，解或均使原方程分母为零，确为增根， 综上，的值为或， 故选：D． 29．当 时，解关于x的分式方程会出现增根． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值． 【详解】解：分式方程可化为：， 由分母可知，分式方程的增根是， 当时，，解得， 故答案为：2 30．若关于的分式方程有增根，则这个增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根．分式方程的增根：使分式方程最简公分母为0的未知数的值，根据增根的含义可得答案． 【详解】解：方程的增根是使分母的x的值， 则， 故答案为：． 31．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根问题，解题关键是理解增根是整式方程的解，但不是分式方程的解． （1）将代入分式方程计算即可； （2）当时，分式方程有增根，且增根为，将分式方程去分母转化成整式方程，将代入整式方程解出m值即可． 【详解】（1）解：将代入分式方程， 可得 ， 解得； （2）解：当时，分式方程有增根，且增根为， 去分母得， 将代入整式方程得， 即， 所以当时，此方程会产生增根． 32．若关于x的分式方程 有增根，求m 的值． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，确定方程的增根；按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，根据分母为零确定出增根，并把增根代入整式方程中即可求得m的值． 【详解】解： ∴，或， ∴或， 方程两边同时乘以得 ， 把代入可得，解得， 把代入可得 (舍去)． 所以． 题型五、分式方程的无解问题 33．若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 34．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值；熟练掌握分式方程有增根则无解是解题的关键． 【详解】解： ∵分式方程无解， 即分式方程有增根； ∴，即； 将代入整式方程得：， 解得， 故选：B． 35．若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得，即， 当，即时，无解； 当，即时，， 关于的分式方程无解， ，解得； 综上所述，当关于的分式方程无解，的值为或2， 故选：C． 36．如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 37．若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解求参数，去分母得，由原方程无解得，即可求解；理解分式方程无解（增根）满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零．”是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， ， 原方程无解， ， ∴ 解得：， 故答案：． 38．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的含义是解决本题的关键．分式方程先去分母，化简得，根据分式方程无解得到，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 化简得：， 方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 39．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为3或9 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值. （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的x的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，计算，求解即可 【详解】（1）解：把代入原方程得： 解得： ∴a的值是18 （2）方程两边同乘得： 解得： ∵原分式方程有增根 ∴ 解得：或 ∴或(舍去) 即： ∴a的值是3． （3）由(2)知： 当时原方程无解，则或(舍去) 即： 当时原方程无解，则 ∴综上所述，当a的值为3或9时，原分式方程无解． 40．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）且；（3）或． 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数： （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 41．如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，正确的掌握这两个知识点是解题的关键．解分式方程可得，求出a为1、3、6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的取值范围，则满足条件的整数a有两个． 【详解】解： 当时， 解得：， ∵方程有正整数解，且即， ∴、3、6， 解不等式组， 解得， 关于y的不等式组至少有两个偶数解， ∴， ∴， ∴满足条件得整数a有两个， 故选：C． 42．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 43．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 解不等式组求出的取值范围，再根据方程有非负整数解，求出的值，可得结论． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集为， ， ． ， ， ． 方程有非负数解， ，，， 所有符合条件的整数的和为． 故选C． 44．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故选：C． 45．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是 ． 【答案】14 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数，分别求出不等式组的解集，分式方程的解，根据解集和解的情况求出的取值范围，确定整数的值，求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程有整数解， ∴为整数，且， ∴， ∴， 解，得：， ∵使关于的不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：14． 46．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，掌握解不等式的方法，取值方法，分式方程解法等知识是解题的关键． 根据解不等式组的方法，m取值的方法先算出的取值范围，再解分式方程，得到方程的解，结合题意找出符合题意的m的值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵不等式组至多有三个整数解， ∴， ∴， ， 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴取1，2，3，6， 此时m取0，1，2，5， ∵， ∴m不能去2， ∴所有满足条件的整数的值为1，5， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：6 47．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整． 解：步骤1：由不等式①，解得 ． 由不等式②，解得 ． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是 ． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ． 请继续写出下面的解答过程． 步骤3： ． 【答案】x＜4；；；； 且 【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，根据解是正数，且不是增根，得到a的最终范围即可． 【详解】解：解：步骤1：由不等式①，解得x＜4． 由不等式②，解得． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝， ∵关于y的分式方程＝4的解是正数，且 ， ∴ ，且 ， 解得： 且 ， ∴a的取值范围为 且． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键． 48．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 【答案】1/1个 【分析】根据分式方程的解、增根的定义确定m的取值范围，再根据一元一次不等式组的整数解的个数进一步确定m的取值范围，进而确定整数m的值即可．本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解整数解的定义是正确解答的关键． 【详解】解：解分式方程，去分母，得：， 解得， 方程的解为正数， ∴ 解得：， 当时是方程的增根， ， 解得， 且； 解不等式组，由， 解得， 由， 解得， 此不等式组有且仅有3个整数解， ， ， 综上，； 所有符合条件的整数的值为5，共1个 故答案为：1． 题型七、分式方程的解新定义问题 49．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式，考查了新运算；理解新运算是关键．由新运算得关于x的分式方程，解方程，根据解为非负数得不等式，解不等式即可．但要注意，分式方程无解时m的取值要去掉． 【详解】解：∵， ∴， 解方程得：； 由于方程有解，则，即； 由题意得：， 解得：； 综合起来，m的取值范围为且； 故选：B． 50．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出方程，注意分式的分母不为0的条件是解答的关键．先根据题中新定义得方程为，然后解方程为，根据方程的解得且，进而求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 去分母，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴且 解得且， 故答案为：且． 51．定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴，， 解得：，， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键． 52．定义新运算“*”，规定，若的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据定义的新运算得到，解得，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】根据题意知：， ∵， ∴， 解得， 又的解为正数，且 ∴， 解得，且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查分式方程的解和解分式方程，解题的关键是将新定义运算转化为所熟悉的分式方程． 53．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴，， 解得：，， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键． 54．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 55．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①打√；②打“×” (2)4 (3)或 【分析】（1）①根据题意，得分式方程的解为， 满足题意，打√；②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． （2）根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，得到关于x的分式方程的解为，根据方程同解，建立等式解答即可． （3）根据数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，得的解为，继而得到，整理，得 ，得，根据关于的方程有整数解，整理，得，得到，得到，根据方程有整数解，分类解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得分式方程的解为， 又， 故满足关于的分式方程的解是成立， 满足题意，故打√； 故答案为：√； ②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． 故答案为：“×”． （2）解：根据数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴关于x的分式方程的解为， ∵的解为， ∴， 解得， ∵， 故． （3）解：∵数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴的解为， ∴， 整理，得， ∴， ∵关于的方程有整数解， 整理，得， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∵，且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，整数解的理解，整数解的计算，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 56．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 1．（2025年·江苏苏州·一模）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解确定参数的取值范围，解一元一次不等式；首先将分式方程转化为整式方程，求解后结合分式方程有解的条件（分母不为零且系数不为零）确定参数m的取值范围． 【详解】解：原方程可改写为， 方程两边同乘（注意），得：， 整理得：， 解得：； 因为分母，即， 依题意，，即， 解得：， 综上，且； 故选：D． 2．（2025年·北京朝阳·一模）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 3．（2025年·甘肃兰州·一模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，解题的关键在于根据分式方程解的情况建立不等式组． 根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，建立不等式组求解，注意考虑分母不为0即可． 【详解】解： ， 分式方程的解是非正数， ，且， ， 整理得：，且， 解得，且，， 综上所述，则取值范围是且， 故选：B。 4．（2025年·广东珠海·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件． 先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围． 【详解】解：原分式方程可化为， 方程两边同乘得，， 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得， ∵原分式方程的解为正数， ∴， 即， 解得且， 故选：C． 5．（2025年·四川成都·一模）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解．先解不等式组得出，再根据不等式组的解集为，得出，解得．再解分式方程得，根据分式方程的解为正整数，确定出符合题意的a值，进而得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 解分式方程， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为0，4，6，8， ∴满足条件的整数a的值之和为：． 故答案为：18． 6．（2025年·浙江杭州·一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先根据不等式组的解的情况得出的取值范围，再根据分式方程的解为负整数解进一步得出的值，即可得出答案，熟练掌握它们的解的情况是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 由， ， ∴． ∵关于的分式方程有负整数解， ∴为负整数，且， ∵为整数， ∴或或或，且， ∴或或或， 又∵， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 7．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）当时， ， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为：； （2）， ， 去分母得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且， 即：且 【点睛】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． 8．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数a的积． 【答案】40 【分析】先用a表示方程的解，根据解是非负数，且x≠1，结合不等式组的解集确定a的范围，求得整数解计算即可． 【详解】∵， 去分母，得 x+2-a=3x-3, 移项、合并同类项，得 2x=5-a， 系数化为1，得 x=， ∵数a使关于x的分式方程的解为非负数，且x-1≠0， ∴， ∴， ∵， ∴①的解集为，②的解集为， ∵的解集为， ∴a＞0， ∴符合条件的所有整数a为1,2,4,5， ∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解集，熟练掌握解分式方程，不等式组的解集是解题的关键． 9．（2025年·河北唐山·一模）【建构模型】 对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或． 又因为， 所以关于的方程有两个解，分别为，． 【应用模型】 利用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)关于的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得，； （2）将已知方程变形为，则可得或，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：， ， ， 或， 或， 又， ，， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，根据题中所给的方法，将方程进行适当的变形，利用整体思想是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 2 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 3 题型四、分式方程的增根问题 5 题型五、分式方程的无解问题 6 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 8 题型七、分式方程的解新定义问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据分式方程解的情况求参数（正数） 1．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 3．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 4．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 5．已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 6．若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ． 7．已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 8．（1）解方程：． （2）关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围 题型二、根据分式方程解的情况求参数（负数） 9．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 10．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 11．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 12．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 13．关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是 ． 14．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 15．若关于x的分式方程的解为负数，求字母a的取值范围． 16．关于的分式方程的解是负数，求的取值范围． 题型三、根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 17．关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．若关于x的分式方程的解为非正数，则a的取值范围是（  ） A．a≤- B．a< C．a≥且a≠6 D．a≤-且a≠-6 19．已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是（      ） A．k≤－12 B．k≥ －12且k ≠  －3 C．k>－12 D．k<－12 20．已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 22．关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为 ． 23．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 24．关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 题型四、分式方程的增根问题 25．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 26．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 27．关于x的分式方程有增根，则增根为（   ） A． B． C． D． 28．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．3或6 B．6 C．12 D．6或12 29．当 时，解关于x的分式方程会出现增根． 30．若关于的分式方程有增根，则这个增根是 ． 31．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 32．若关于x的分式方程 有增根，求m 的值． 题型五、分式方程的无解问题 33．若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 34．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 35．若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 36．如果关于的方程无解，则的值为 ． 37．若关于x的分式方程无解，则 ． 38．关于的分式方程无解，则的值为 ． 39．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 40．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 题型六、分式方程与方程、不等式结合的问题 41．如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 42．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 43．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A．－7 B．－8 C． D． 44．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 45．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是 ． 46．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 47．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，且关于y的分式方程＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整． 解：步骤1：由不等式①，解得 ． 由不等式②，解得 ． 又∵该不等式组的解集为x＜4， ∴a的取值范围是 ． 步骤2：解这个分式方程＝4得，y＝ ． 请继续写出下面的解答过程． 步骤3： ． 48．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 题型七、分式方程的解新定义问题 49．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 50．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 51．定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 52．定义新运算“*”，规定，若的解为正数，则m的取值范围是 ． 53．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 54．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 55．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 56．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 1．（2025年·江苏苏州·一模）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2025年·北京朝阳·一模）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2025年·甘肃兰州·一模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（2025年·广东珠海·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．（2025年·四川成都·一模）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 6．（2025年·浙江杭州·一模）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 7．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 8．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数a的积． 9．（2025年·河北唐山·一模）【建构模型】 对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或． 又因为， 所以关于的方程有两个解，分别为，． 【应用模型】 利用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)关于的方程的两个解分别为，，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$