专题01 空间向量与立体几何7大题型（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量与立体几何 7大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间中的平行、垂直关系 考点04 异面直线所成角考点 考点05 空间中的直线与平面的夹角 考点06 空间中的平面与平面的夹角 考点07 空间中的距离问题 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可. 【详解】. 故选：B. 2．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知空间向量，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：A 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)设，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y和x即可． 【详解】， ∥， ∴. 故选：A. 4．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 二、多选题 5．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由向量的模、数乘及数量积运算分别求解可得. 【详解】选项A，由题意，得，故A错误； 选项B，， 所以， 所以，故B正确； 选项C，，故C正确； 选项D，由， 因为，所以，D错误. 故选：BC. 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 三、填空题 7．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知空间向量，，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的加法运算及模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，则. 故答案为：. 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 2．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如图，已知正四棱锥的底面的中心为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，由于底面是正方形，所以， 因此. 故选：C. 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)如图，在平行六面体中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算求解即可. 【详解】连接，如图所示： . 故选：B 4．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，在平行六面体中，为的中点，若则（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得： ， 因为，所以. 故选：B. 5．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将表示为，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将表示为的线性组合，由此可得结果. 【详解】由题意知 ． 故选：C． 6．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式. 【详解】因为，所以， 则有： 故选：C. 7．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面性质求解即可. 【详解】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面， 设， 则，解得． 故选：C. 二、填空题 8．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知，，，若，，三向量共面，则等于 ． 【答案】 【分析】由，，共面，设，列方程组即可求出λ的值． 【详解】∵，，共面， ∴设（为实数），即， ∴，解得． 故答案为：． 地 城 考点03 空间中的平行、垂直关系 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏固原·期末)若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据可得出可得出合适的选项. 【详解】若，则，则. 对于A，，不满足条件； 对于B，，满足条件； 对于C，，不满足条件； 对于D，，不满足条件. 故选：B. 二、多选题 2．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期末)向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C正确；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D错误. 【详解】由可知，即A正确； 当时，则，满足，因此，即B正确； 当时，易知，所以，可知C错误； 当时，可得，满足， 可知不垂直，即D错误. 故选：AB. 4．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 【答案】ACD 【分析】由线面平行有判定定理判断A，由判断BC，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法证明垂直判断D． 【详解】选项A，连接，因为，，所以是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面，A正确； 选项B、C，由知它们不是异面直线，又与相交垂直，因此直线与直线所成的角为，B错C正确； 选项D，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 则，， 所以是平面的一个法向量，即平面，D正确． 故选：ACD． 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论正确的是（  ）    A．平面平面； B．在棱上不存在点，使得平面 C．当时，异面直线与所成角的余弦值为； D．点到直线的距离； 【答案】ACD 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A；由A的结论，可推得，即可知点到直线的距离即为的长度，计算求得长，判断D；采用平移法，作出异面直线与所成角，解三角形可求得与所成角的余弦值，判断C；结合C选项，根据线面平行的判定定理即可判断B. 【详解】A选项，因为平面，平面，平面， 所以，， 故即为与底面所成的角，即， 故，而，所以， 在直角梯形中，， 则，故， 又因为平面，所以平面， 因为平面 ，故平面平面，故A正确； D选项：由A选项的证明过程可知：平面， 因为平面，所以， 故点到直线的距离即为的长度， 因为平面，平面，故， 而， 即点到直线的距离，故D正确； 对于C，当时，，即为的中点，    设为的中点，连接， 则， 而，故， 故四边形为平行四边形，则， 故异面直线与所成角即为的夹角， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于B，由C选项知，当时，， 因为平面，平面， 所以平面， 所以时，平面，故B错误. 故选：ACD. 三、填空题 6．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)已知，空间向量．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据，从而可求出，即可求解. 【详解】因为，所以，即，得． 故答案为：. 7．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 【答案】/ 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 四、解答题 8．(23-24高二上·青海西宁海湖中学·期末)正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证； （2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以. 【详解】（1）在正四棱锥中为底面中心，连接，， 则与交于点，且，平面，平面， 所以，又，平面，所以平面. （2）因为，，所以， 又为上靠近的三等分点，所以， 则. 地 城 考点04 异面直线所成角 一、单选题 1．(22-23高二上·青海海南藏族高级中学·期末)已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法求解即可. 【详解】如图    建立空间直角坐标系，则，，，，， 则，，， 则， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 2．(23-24高二上·青海西宁海湖中学·期末)在空间四边形中，若，且，分别是，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】设空间四边形的边长为2，作的中点，连结，，在中利用边角关系进行分析求解即可． 【详解】解：因为在空间四边形中，， 所以空间四边形是一个正四面体， 在图1中，连结，，因为为等腰三角形，设空间四边形的边长为2， (图1) 在中，，，可得， 在图2中，取的中点，连结，， （图2） 因为，分别是，的中点，所以，， 是异面直线与所成的角， 在中，，故为等腰直角三角形， 所以， 故异面直线与所成角的大小为． 故选：． 二、多选题 3．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．异面直线与所成的角的余弦值为 D．直三棱柱的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，计算的坐标和的坐标即可判断A，计算平面的法向量，计算即可判断B，由分别计算即可判断C，对于D先计算出外接球的半径，根据球的表面积公式即可判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于A：， 所以，故A正确； 对于B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即，又平面，所以平面，故B正确； 对于C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； 对于D：因为，直三棱柱的外接球的半径为， 则有， 所以直三棱柱的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 4．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，可判断A；根据空间距离的向量求法可判断B，D；求出平面的法向量，根据空间角的向量求法可判断C. 【详解】由题意可知两两垂直，故以C为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 则，即， 则与所成的角为，A正确； 对于B，，则， 故点到直线的距离为，B正确； 对于C，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设与平面所成角为，其范围为大于等于小于等于， 故，故，C错误； 对于D，，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为，D正确， 故选：ABD 三、填空题 5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解. 【详解】解：设正四面体棱长为1， 设，，，则， ∵， ∴，，. ∵，分别为，的中点，，是等边三角形， ∴，，， ∴ ． ∴与的夹角的余弦值为． 故答案为：. 地 城 考点05 空间中的直线与平面的夹角 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①② 【答案】D 【分析】逐一分析选项，①根据线面垂直的判断定理证明；②根据,异面直线与BD所成的角是；③是二面角的平面角，直接求;④与底面ABCD所成角是. 【详解】①连接， ，， 平面， ， 同理：，， 平面，故①正确； ②,异面直线与BD所成的角是或其补角， 是等边三角形， ，故②正确； ③，连接，是二面角的平面角，,故③不正确； ④平面， 是与底面ABCD所成角， ,故③不正确. 故选：D 【点睛】本题考查几何体中的线线，线面位置关系的判断，意在考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于基础题型. 二、解答题 2．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面， （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1），所以得， 又,所以， 又，，平面，所以平面， （2）知，， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,,,1,,,0,,,,,,1, 则,0,,,1,,,,， 设平面的一个法向量,,， 则有，令，则有，， 平面的一个法向量,0,， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 3．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析                                                                                  （2）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C； （Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值． 解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B， 因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°， 所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB， 又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0）， 则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，）， 设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即， 可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：． 考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 地 城 考点06 空间中的平面与平面的夹角 一、解答题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，． (1)求证：； (2)点M在线段上，若M为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，应用空间向量数量积为0得出线线垂直； （2）求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值，. 【详解】（1） 因为平面，所以过点作的平行线为轴， 因为，所以以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，所以，，所以 因为 所以，所以， 所以； （2）因为， 所以， 设为平面的一个法向量，则 ，即， 令，则，， 设为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则 . 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期末)四棱锥中，平面，，，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，结合勾股定理的逆定理推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由平面，平面， 得，由，得，而， 则，即，而，平面， 所以平面.    （2）在平面内过点作，由平面，得平面， 由（1）知，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面与平面的夹角为，于是， 所以二平面与平面的夹角的余弦值为. 3．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）先证、，即可由线线垂直证线面垂直； （2）以O点为原点分别以OA､OG､OP所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角； （3）设，，求出，可得，整理得，由，方程无解，即可得不存在这样的点M 【详解】（1）证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以. 又因为平面，平面，所以. ，AD，平面，所以面. （2）如图，以O点为原点分别以OA､OG､OP所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则， 又平面的法向量， 所以. 所以平面与平面所成角为. （3）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面所成角为，则直线GM与平面法向量所成的夹角为， 设，，，， 所以， 所以， 整理得，，方程无解，所以，不存在这样的点M. 4．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如图，在直棱柱中，，延长AC至D，使，连接BD，，．    (1)求证：； (2)求平面与平面ABC所成锐二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）建立坐标系，利用向量法即可证明； （2）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面与平面所成锐二面角的正切值． 【详解】（1）证明：在直棱柱中，， 以为坐标原点建立如图的空间直角坐标系， ，延长至，使， ,0,,,0,,,1,,,0,,,,,,0,， 则,1,,,1,， 则,1,,1,， 则，即； （2）平面的法向量为,0,， 设,,为面的一个法向量， 则,0,,,1,， 则，得，即 令，则，则,1,， 则,， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 即， 即平面与平面所成锐二面角的正切值为1．    地 城 考点07 空间中的距离问题 一、多选题 1．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（   ）    A．四点共面 B．在平面上的投影向量为 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系可求得，即可得A正确，由投影向量定义可判断B正确，利用点到平面距离的向量求法可得C错误，再由点到直线距离的向量求法计算可知D正确. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：    对于A，，， 则， 显然，则，所以四点共面，A正确． 对于B，由正方体性质知平面，所以在平面上的投影向量为，B正确． 对于C，又因为，， 设平面的法向量为， 由取，又， 所以点到平面的距离为，C错误． 对于D，因为，， 则点到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法计算即可得出结果. 2．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（   ）　 A．线段的长度为 B．异面直线和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 【答案】BC 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D选项． 【详解】A选项，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意得，，，，，， 则，所以线段的长度为，选项A错误； B选项，又，所以异面直线和夹角余弦值为： ，选项B正确； C选项，设直线上存在点满足，且， 则，所以， 则，又，所以， 解得，则， 所以点到直线的距离为：，选项C正确； D选项，因为，选项D错误． 故选：BC． 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】以为底面可得三棱锥的体积为4，可判断A正确；由体对角线长度计算可得，可得B正确；建立空间直角坐标系由空间向量可得直线所成角的余弦值为，即C错误；利用向量垂直可得当与，都垂直时，取得最小值，求出的坐标可知D正确. 【详解】对于A，由等体积法可得三棱锥的体积为，可知A正确； 对于B，利用长方体性质可得，即B正确； 对于C，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如下图所示： 易知，则； 则 所以直线所成角的余弦值为，即C错误； 对于D，易知，则，， 设，即， 设，则 当与，都垂直时，取得最小值； 即，解得； 可，此时的最小值为，即D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：在求解异面直线上两点距离最小问题时，可利用公垂线性质求得当两点连线为异面直线的公垂线时距离最短，即可求得结果. 4．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．的最小值为 C．若直线与所成角的余弦值为，则 D．若是的中点，则到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A；结合正方体结构特征判断当点与重合时，取最小值，即可判断B；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向量求法可判断C；将线面距离转化为点面距离，根据空间距离的向量求法求得点到平面的距离，即可判断D. 【详解】在正方体中，因为平面，平面， 所以平面平面，故A正确； 连接，由平面，平面，得， 故在中，当点与重合时，取最小值，故B正确； 如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，， 假设存在点，使直线与所成角的余弦值为， 则， 解得（舍去），或，此时点是中点，，故C错误； 由且平面，平面，知平面， 则到平面的距离，即为到平面的距离； 是的中点，故，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，故， 所以点到平面的距离为， 即到平面的距离为，D正确． 故选：ABD 二、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】解：，0，，点到平面的距离为． 故答案为：. 三、解答题 6．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点.    (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，利用平行的传递性构建平行四边形，证得，则直线平面可证. （2）建立合适的空间直角坐标系，分别求得平面法向量，直线的方向向量，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】（1）证明：取中点，   点均为中点，， 又正方形中，， 四边形为平行四边形，， 又平面平面， 直线平面； （2）因为平面为正方形，且底面， 所以两两互相垂直， 所以分别以，，为轴建立空间直角坐标系，    则有 可得， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，得， 所以点到平面的距离. 则点到平面的距离为. 7．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．    (1)证明：平面； (2)求到面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可； （2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以， 又因为，所以， 所以平面. （2）由（1）知平面的法向量为， 又因为， 所以到面的距离为． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 7大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间中的平行、垂直关系 考点04 异面直线所成角考点 考点05 空间中的直线与平面的夹角 考点06 空间中的平面与平面的夹角 考点07 空间中的距离问题 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知空间向量，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)设，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 二、多选题 5．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 三、填空题 7．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知空间向量，，则 ． 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 2．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如图，已知正四棱锥的底面的中心为，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)如图，在平行六面体中，设，则（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，在平行六面体中，为的中点，若则（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．(23-24高二上·青海西宁大通县·期末)如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 二、填空题 8．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知，，，若，，三向量共面，则等于 ． 地 城 考点03 空间中的平行、垂直关系 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏固原·期末)若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 2．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第二完全中学·期末)向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)在空间直角坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论正确的是（  ）    A．平面平面； B．在棱上不存在点，使得平面 C．当时，异面直线与所成角的余弦值为； D．点到直线的距离； 三、填空题 6．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)已知，空间向量．若，则 ． 7．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 四、解答题 8．(23-24高二上·青海西宁海湖中学·期末)正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 地 城 考点04 异面直线所成角 一、单选题 1．(22-23高二上·青海海南藏族高级中学·期末)已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．(23-24高二上·青海西宁海湖中学·期末)在空间四边形中，若，且，分别是，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 二、多选题 3．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．异面直线与所成的角的余弦值为 D．直三棱柱的外接球的表面积为 4．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 三、填空题 5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    地 城 考点05 空间中的直线与平面的夹角 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①② 二、解答题 2．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值． 地 城 考点06 空间中的平面与平面的夹角 一、解答题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，． (1)求证：； (2)点M在线段上，若M为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 2．(23-24高二上·宁夏银川永宁县上游高级中学·期末)四棱锥中，平面，，，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 3．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由. 4．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如图，在直棱柱中，，延长AC至D，使，连接BD，，．    (1)求证：； (2)求平面与平面ABC所成锐二面角的正切值． 地 城 考点07 空间中的距离问题 一、多选题 1．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（   ）    A．四点共面 B．在平面上的投影向量为 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 2．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（   ）　 A．线段的长度为 B．异面直线和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 4．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．的最小值为 C．若直线与所成角的余弦值为，则 D．若是的中点，则到平面的距离为 二、填空题 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为 . 三、解答题 6．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点.    (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 7．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．    (1)证明：平面； (2)求到面的距离． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $