第23章 解直角三角形（复习课件）数学沪科版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了解直角三角形的核心内容，通过锐角三角函数知识结构图和解直角三角形知识图谱，串联起三角函数定义、性质、特殊值及解直角三角形的依据，构建“概念-关系-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层模式，如通过嫦娥六号模拟装置、电线塔测量等实例培养数学眼光，题型从基础辨析到综合应用，规范推理过程提升数学思维，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情。

单元复习课件 第23章 解直角三角形 沪科版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 理解锐角三角函数（sin、cos、tan）定义，能写表达式； 熟记 30°、45°、60° 三角函数值，掌握余角三角函数关系； 明确解直角三角形定义，掌握勾股定理、三角函数等应用依据。 3.用所学解决测量、工程坡度等实际问题； 培养几何直观、运算及推理素养，为后续学习奠基。 2. 已知直角三角形2 个元素（至少 1 边），能求其余元素； 识别仰角 / 俯角、坡度模型，将实际问题转化为 直角三角形 问题； 规范书写解题步骤，确保计算准、逻辑清。 单元学习目标 锐角三角函数 余弦表示 相关概念 三角函数 锐角三角函数 知识结构图 性质 函数值 正弦表示 正切表示 sinA== cosA= tanA== 关系 ∠A为锐角 范围: 0<sinA<1 0<cosA<1 tanA>0 增减性 ①sinA,tanA 随∠A的增大而增大; ②cosA 随∠A的增大而减小 同角 sinA=cosB，cosA=sinB tanA·tanB=1 互余两角 sin²A+cos²A=1 tanA= 单元知识图谱 解直角三角形 解直角三角形知识结构图 sinA=cos(90°-A)= 三边关系 两锐角关系 边角间关系 a2+b2=c2 ∠A+∠B=∠C sinB=cosA= tanA= ∠A=30°,a= 单元知识图谱 一、 锐角的三角函数 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即cosA=； 2、余弦： 3、正切： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，则tanA== 1、正弦： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即；sinA==. 考点串讲 一、锐角的三角函数 4、锐角三角函数： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α  1 锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0°＜∠A＜90°） 5、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 考点串讲 一、 锐角的三角函数 6、锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：A+A=1； ② 商数关系：tanA= . 2）互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系：tanA•tanB=1 考点串讲 二、解直角三角形 1. 解直角三角形的概念： 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的依据： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（两角互余）； （3）边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=． 考点串讲 二、解直角三角形 3.解直角三角形的常见类型 ： 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如a，c)   两直角边(如a，b) 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） 一直角边和一锐角 （如a，∠A） 另一直角边和一锐角 （如b，∠A） B=90°-∠A b= B=90°-∠A a= B=90°-∠A c= B=90°-∠A b= B=90°-∠A a= 考点串讲 二、解直角三角形 4、解直角三角形应用题中的常见概念 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 考点串讲 二、解直角三角形 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h:l. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=h:l，坡角越大，坡度越大. 4、解直角三角形应用题中的常见概念 考点串讲 二、解直角三角形 方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°。 5、解直角三角形应用题中的常见概念 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°。 考点串讲 题型一、正弦的概念辨析 1．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．若矩形纸片的宽AB=3，则折痕BM的长为（ ） A. B．2 C.3D B 解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕EF， ∴ AB=2BE, ∠A′EB=90°, EF // BC . ∵再一次折叠纸片，使点A落在EF的A'处并使折痕经过点B，得到折痕BM， ∴A'B=AB=2BE. 在Rt△A'EB中，∵∠A'EB=90°， ∴sin∠EA'B= = ， ∴∠EA'B=30°， ∵EF // BC， ∴∠CBA'=∠EA'B=30°， ∵∠ABC=90°, ∴∠ABA'=60°， ∴∠ABM=∠MBA'=30° ∴BM= = 2,故选：B． 题型剖析 题型二、求角的正弦值 例2.如图，已知四边形ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF. (1)求 EF的长； (2)求sin∠CEF的值. 解：（1）设BE=x，则EC=4-x， ∴AE=EC=4-x, 在Rt△ABE中， AB²+BE²=AE²， ∴(2)2+x² =(4-x)², ∴x=1 ∴BE=1， AE=CE=3， ∵AE=EC， ∴∠1=∠2， ∵∠ABC=90°， ∴∠CAB=90°-∠2， ∴∠CAB=90°-∠1, 由折叠可知△FAC=△BAC， ∴∠FAC=∠CAB=90°-∠1， AF = AB =2 , ∴∠FAC+ ∠1=90°, ∴∠FAE=90°，在Rt△FAE中， EF=== 题型剖析 题型二、求角的正弦值 例2.如图，已知四边形ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF. (1)求 EF的长； (2)求sin∠CEF的值. （2）过F作FM⊥BC于M, ∴∠FME=∠FMC=90°, 设 EM=a,则 EC=3-a, 在Rt△FME中， FM²=FE²-EM² 在 Rt△FMC中， FM²=FC²-MC²， :.FE² -EM² =FC2 -MC², ∴()²-a²=42-(3-a)², ∴a=. ∴EM=. ∴ FM==, ∴sin∠CEF == = 题型剖析 题型三、已知正弦值求边长 例3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为AB的中点，点E在AD上，AE=AD，等腰三角形EDF中，ED=FD，∠EDF=120°. （1）△EDF的面积为 ; （2）若N为EF的中点，则MN²的值为 . 4 解：(1)如图1，作FG⊥AD，交AD的延长线于G， ∵正方形ABCD， ∵AE=AD=2， FD=ED=AD-AE= 4, ∵∠EDF =120°, ∴∠GDF =60°, ∵GF = DFsin60°=2, ∴S△EDF=DE·GF=4， （2）如图2，连接EM，交CB的延长线于P，作FQ⊥BC，交BC的延长线于Q，连接PF，则四边形CDGQ是矩形， ∴ QG=DC=6, FG=QG-GF =6-2, CQ=DG=DF·cos60°=2, ∵∠A=90°=∠MBP, AM=BM, ∠AME= ∠BMP , ∴ △AME≌△BMP(ASA) ∴ PB=AE=2, ME=MP , 题型剖析 题型三、已知正弦值求边长 例3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为AB的中点，点E在AD上，AE=AD，等腰三角形EDF中，ED=FD，∠EDF=120°. （2）若N为EF的中点，则MN²的值为 . 37-6-6 （2）∴PQ=PB+BC+CQ=10，M是EP的中点， 又∵N为EF的中点， ∴MN是EPF的中位线， ∴MN=PF， ∴由勾股定理得，PF²=PQ²+FQ²=10²+(6-2)2=148-24; ∴ MN2 =PF²=37-6, 故答案为：37-6. 题型剖析 题型四、求角的余弦值 例4、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰 好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（ ） A. B. C. D. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=8, DC=AB=6, 把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AF=AD=8， EF=DE, ∴BF== =2 , ∴CF = BC-BF =8 -2, 在Rt△EFC中，CE =DC-DE=6-EF, 由勾股定理，得EF²=CE²+CF²， ∴EF²=(6-EF)²+(8 -2)2, ∴EF = CE=6- =， ∴cos∠CEF===, 故选：A． A 题型剖析 题型四、求角的余弦值 例5.如图，已知△ABD中，AC⟂BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC=， BE为AD边上的中线． (1)求AC的长； (2)求cosD的值. 解：（1）∵AC⊥BD， ∴∠ACB=90° 又∵cos∠ABC= ，BC=8， ∴= ∴AB=10， ∴AC==6; （2）由（1）可知：AC=6， ∵AC⊥BD， ∴∠ACD=90°， ∵CD=4， ∴AD= =2 , ∴cosD= = = . 题型剖析 题型五、已知余弦求边长 例6、如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=BC=CD，AE=EC，四边形ECDF是平 行四边形． (1)求证：四边形EBCF是矩形； (2)若 AD=12，cosA=，求BF的长． 解：（1）证明：∵四边形ECDF是平行四边形，∴EF∥CD, EF=CD, ∵BC=CD， ∵BC=EF， ∵BC∥EF， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∵AE=EC，AB=BC， ∴EB⊥BC， ∴∠EBC= 90°, .四边形EBCF是矩形； （2）解：∵AD =12，AB=BC=CD， ∴AB=4， 在Rt△ABE中，ABE=90°， cosA= ∴ = , ∴AE=5, ∵四边形EBCF是矩形， ∴BF=EC=AE=5. 题型剖析 题型六、求角的正切值 例7、如图，在口ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°. (1)求证：AC=BD； (2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE.若 AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值. （2）解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， ∴ AC = = =10 , ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO=AC=5，OB=OC. ∵∠CEO=∠COE， ∴CE=CO=5. 过点O作OF⊥BC于点F，则CF=BC=4， ∴EF=CE-CF=5-4=1, （1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=90°，所以四边形ABCD是矩形. 所以AC=BD； 在Rt△COF 中， OF= = =3 ∴tan∠CEO==3. 题型剖析 题型五、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 例8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为_ . 解：连接BE，过E作EH⊥BC，交BC于点H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4，BC=4， ∴tan ∠BAC==, ∴∠BAC =60°, ∴BA=BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴ABE=60°， ∴∠EBH=30°， ∴EH=BE=2, ∴ S阴=S扇形BAE +S△BCE -S△BAE -S扇形BEF =+×4×2－×2×4- =， 故答案为： 题型剖析 题型六、利用同角三角函数关系求值 例9、如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，AE与BD交于点F，连接CF并延长，交AB于点G.若AC=5，AB=6，则FG的长度为 . 解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDC=∠AEC=90°， ∵AC=BC, ∠ACE=∠BCD, ∴△ACE≌△BCD,∴CD=CE， ∴AC-CD= BC-CE,即AD=BE， ∴∠ADF=∠BEF=90°，∠AFD=∠BFE， ∴△ADF≌△BEF，∴AF=BF， ∵AC=BC，∴CF垂直平分AB， ∴AG=BG=AB=3， 在Rt△ACG中，根据勾股定理得：CG===4，则AE===, 在Rt△ACE中根据勾股定理得： CE === ∵cos∠ECF=∴= 解得：CF=,∴FG=CG－CF=4－= 题型剖析 题型七、解直角三角形的相关计算 例10、如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF∥DC. (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； (2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长 （1）证明：∵E是AB的中点，DF=FB， ∴EF // AD， ∵AF // DC， ∴四边形AFCD为平行四边形； （2）解：∵∠EFB=90°， ∴∠CFB=180°-90°=90°, 在Rt△EFB中,tan∠FEB==3，EF=1， ∴FB=3， ∵E是AB的中点，DF=FB ∴AD=2EF=2, ∵四边形AFCD为平行四边形， ∴CF = AD=2, ∴在Rt△CFB中，由勾股定理得CB== 题型剖析 题型七、由平行截线求相关线段的长或比值 例11、2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米. (1)求CD的长； (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的 时间.（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75） 解：（1）如图，过点B作BE//CD交AD于点E， 由题意可知，∠DBE=36.87°， ∴∠BDC =36.87° , 在△BCD中，∠C=90°，BD=10米， ∵cos∠BDC= ∴CD=BD∙cos36.87°≈10×0.80≈8米 即CD的长约为8米； 题型剖析 题型七、由平行截线求相关线段的长或比值 例11、2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米. (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的 时间.（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75） （2）∵AD=17米，CD=8米， ∴AC==15米, 在△BCD中，∠C=90°，BD=10米， ∵sin∠BDC =， ∴BC=BD·sin36.87°≈10x0.60≈6米， ∴AB=AC-BC=15-6=9米， ∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5秒， 即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒 题型剖析 例12、某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:； BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角 为60°。 (1)求点B离水平地面的高度AB； (2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）. 题型八、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) （1）解：∵斜坡BE的坡度i=1:， ∴==, ∵tan∠BEA==. ∴∠BEA=30° ∵BE=6m，∴AB=BE=3(m)； （2）解：作BF⊥CD于点F，则四边形 ABFC是矩形，AB=CF=3m，BF=AC， 设 DF= x m， 在Rt△DBF中，tan∠DBF=, ∴BF==xm 题型剖析 例12、某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:； BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角 为60°。 (1)求点B离水平地面的高度AB， (2)求电线塔CD的高度（结果保留根号） 题型八、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) （2）在Rt△ABE中，AE==3, 在Rt△DCE 中，DC=DF+CF=(x+3)m， tan∠DEC=， ∴EC=(x+3)， ∴BF = AE+EC, ∴3+=x， ∴x=6+6， ∴CD = 6 +6+3 = x= 6+9 答：电线塔CD的高度(6+9)m 题型剖析 题型九、方位角问题(解直角三角形的应用) 例13、如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） (1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位)； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明. 解：（1）如图，过B作BE⊥AC于点E， ∴∠AEB=∠CEB=90°, 由题意可知：∠GAB=45°，∠EBC=60°， ∴∠BAE=45°， ∴AE=ABcos∠BAE=40×cos45°=20, ∴CE=BEtan∠EBC=20tan60°=20×=20， ∴AC=AE+CE=20+20≈20×1.41+20×2.45≈ 77.2 (海里), ∴A，C两港之间的距离77.2海里； 题型剖析 题型九、方位角问题(解直角三角形的应用) 例13、如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明. （2）由（1）得：∠BAE=45°，∠EBC=60°，AC=77.2， ∴BE = ABsin∠BAE=40×sin45°=20 , ∴BC====40≈56.4 由题意得：∠ADF=60°，∠CDF=30°， ∴∠ADC=90°， ∴CD=AC=77.2=38.6， AD=ACcos30°=77.2×≈66.8（海里）， ∴甲行驶路程为：AB+BC=40+56.4=96.4（海里）， 乙行驶路程为： AD+CD=66.8+38.6=105.4（海里)， ∵96.4<105.4，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达C港 题型剖析 1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE⊥BD,AC=4，∠AOB=60°，则 AE的长为（ ) A.B.2 C.D. A 2．三角函数sin31°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ） A.sin31°<cos16°<cos43° B.cos43°<sin31°<cos16° C.sin31°<cos43°<cos16° D.cos16°<sin31°<cos43° C 解：∵四边形ABCD是矩形，AC=4， ∴OA=AC=2 ∵∠AOB=60°,AE⊥BD ∴sin∠AOB=. 解：∵sin31°=cos59°， 又16°<43°<59°，余弦值随着角度的增大而减小， ∴sin31°<c0s43°<cos16°，故C正确，故选：C． ∴sin60°= 解得AE= 故选：A． 针对训练 3.如图，一无人机在建筑物AB上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大37°，已知建筑物AB位于水平地面AC上，小明从A处出发沿着AC走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物AB都与水平面垂直，则建筑物AB 的高度为（ ）（参考数据：sin37°≈,cos37°≈，tan37°≈） A.米 B.米 C．25米 D．28米 C 解：如图，过点B作BD⊥PC于点D， 根据题意可知：DC⊥AC, BA⊥AC, ∴四边形ABDC是矩形，∴DC=AB, DB=AC=24,∵∠CAP=53°， ∴∠BAP=90°-53°=37°， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比 顶端点B的俯角大37°，∴∠BPA =37°, ∴∠BPA=∠BAP，∴PB=BA， 在Rt△ACP中，∠APC=90°-53°=37°， ∴tan37°=,即=, ∴PC=32， ∴PD=PC-DC=32-AB, 在Rt△PDB中，根据勾股定理，得PD²+BD²=PB² 即(32 - AB)²+24² = AB², 解得AB=25， 所以建筑物AB的高度为25米. 故选：C． 针对训练 4．如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为α，测得点D的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（ ） A.(atanβ)米 B.(a·tanα)米 C.米 D．a(tanβ-tanα)米 D 解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形BDCE是矩形， 由题意可知，BD=a米，∠ACE=α，∠ADB=β, ∴CE=BD=a米，CD=BE， 在Rt△AEC 中，AE=CE·tan∠ACE=a∙tanα（米), 在Rt△ABD中，AB=BD ∙tan∠ADB=a∙tanβ（米)， ∴BE=AB－AE=a∙tanβ－a(tanβ－tanα)(米) ∴CD =a(tanβ-tanα)(米), 故选：D． 针对训练 5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=,则AD的长为（ ） A.1 B. C.D.2 D 解：作DE⊥AB于E，如图， ∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6=BC ∴∠DAE= 45°, AB==6 , ∴△ADE是等腰直角三角形， 设AE=x， 则 DE=x,AD==x， ∵在Rt△BED中，tan∠DBE==, ∴BE=5x， ∴AB=AE+BE=x+5x=6，解得x=, ∴AD=×=2. 故选：D． 针对训练 6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，tanA=CD=6，则BD的长为（ ） A.7 B.8 C.9 D.12 C 解：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+ ∠BCD=90°, ∵CD⊥AB， ∴∠CDB = ∠CDA=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠BCD=∠A, ∴tan∠BCD=tanA=, 在Rt△CDB中，tan∠BCD==, ∵CD=6， ∴BD=9. 故选C． 针对训练 7．如图，P是反比例函数y=(x>0)图象上的一点，PH⊥x轴于点H．若 OP=5,sin∠POH=则k= . 解：在Rt△POH中， ∵OP=5,sin∠POH==, ∴PH=3， ∴OH==4, ∴点P的坐标为(4,3)． 把 P(4,3)代入y=,解得k=12． 12 针对训练 8．如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠CBP=∠ACP，那么点P被称为△ABC的“布洛卡点”，如图2，在△DEF中，DE=DF，∠EDF=90°，点P是△DEF的一个“布洛卡点”，那么cot∠DFP= . 2 解：∵DE=DF,∠EDF=90°， ∴EF=DE=DF, ∠DEF=∠DFE=45°, ∵点P是△DEF的一个“布洛卡点”， ∴∠EDP=∠PEF=∠DFP, ∴∠DEP= ∠EFP, ∴△DEP∽△EFP, ∴===, :.DP=PE,PF=PE, ∵∠EDP+∠PDF=90°, ∴∠DFP+∠PDF=90°， ∴∠DPF=90°， ∴ cot∠DFP== =2 故答案为：2． 针对训练 9. 2cos60∘+3tan30∘= . 1+ 解：原式= 10.有一山坡，高50米，山坡长100米，则此山坡的坡度i为 . 解：设水平距离为d 米，由勾股定理得： 坡度i为垂直高度与水平距离的比值: == 针对训练 11．如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD=EF=1.7m，则旗杆AB的高度是 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.732） 15.9 解：如图所示，延长CE交BA于G， 则∠BGE=90°．设BG=xm， ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°， 从点E处测得旗杆顶B的仰角为60°， ∴GE==xm,GC==xm， ∴CE =CG-GE=(x－x)m， ∴点E与点C相距6m， ∴x－x=6， 解得x=9+3， ∴BG=(9+3)m ∴CD=EF=1.7m, ∴AG=1.7m. ∴AB= AG+ BG =1.7+9+3 ≈15.9(m). 故答案为：15.9. 针对训练 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=45°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，c=10,求a,b． 解：∵∠C=90°,∠B=45°， ∴∠A =90°-45°=45°, ∴a=b. ∵sinA= ∴b=a=10·sin45°=5. 即∠A=∠B=45°,a=b=5. 针对训练 （1）证明：∠ABD=∠CDB， ∴AB// CD，∴∠EAB=∠FCD, ∵BE⊥AC，DF⊥AC, ∴∠AEB = ∠CFD=90°, 又∵BE=DF，∴△AEB≌△CFD(AAS),∴AB=CD， 又∵AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. （2）解：当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： 13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值. ∵BE⊥AC，∴∠ AEB =90°, ∵∠ABE=30°， ∴∠BAO=60°， 又∵AB=BO，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD, OA =OC, ∴OB =OD =OA =OC,∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， 即当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， 在Rt△ABC 中，tan∠BAC =. 针对训练 14.问题情景：如图1，在△ABC 中，∠A≠90°,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D，连接DE. (1)求证：△AED∽△ABC. (2)若∠A=60°,BC=2，求DE 的长. (3)实际应用：如图2，在△ABC中，AB=BC=10,AC=4,BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D,AF⊥BC于点F，求三角形DEF的周长， （1）证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC=90°，∠AEB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠ABE=90° ∴∠ACD =∠ABE ∴sin∠ACD=sin∠ABE，即= 又∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC ; （2)∵BE⊥AC，∠A=60°， ∴∠ABE=30°， ∴AE=AB 同理AD=AE ∴=,又∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴==, ∴DE=BC=1; 针对训练 （3）∵BE⊥AC，∴cosA=，AE=AB·cosA， 同理，cosA=,AD=AC·cosA， ∴=，∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC，∴∴DE=BC·cosA， ∵AB=BC=10，AC=4，BE⊥AC， ∴AE=EC=2，EF=DE=AC=2, 由勾股定理得BE==4 由BC×AF=AC×BE，得AF=8， 由勾股定理得BF==6，CF=10-6=4， ∴cos∠ACB==，cos∠BAC==， ∵CD⊥AB，∴cos∠ABC=， ∴BD=BC·cos∠ABC，同理，cos∠ABC=, ∴BF=AB·cos∠ABC，∴=， ∵∠ABC=∠ABC,∴△BDF∽△BCA， ∴==cos∠ABC， ∴DF=AC∙cos∠ABC=, ∴ △DEF 的周长=DE+EF+DF =22+ = 14.问题情景：如图1，在△ABC 中，∠A≠90°,BE⊥AC于点E, CD⊥AB于点D，连接DE. (3)实际应用：如图2，在△ABC中，AB=BC=10,AC=4,BE⊥ AC于点E，CD⊥AB于点D,AF⊥BC于点F，求三角形DEF的周长. 针对训练 核心定义： 2.必备关系： 3.题型思路： 直角三角形（∠C 为直角，三边 a、b、c，c 为斜边）中，由已知边和角（至少含一条边）求未知边、角的过程，即解直角三角形。 三边：勾股定理a2 + b2 = c2（已知两边求第三边）； 锐角：∠A + ∠B = 90°（已知一锐角求另一角）； 边角：sin A=、cos A=、tan A=（用三角函数求边或角）. ◦已知斜边 + 锐角：先求另一锐角，再用三角函数求直角边； ◦已知直角边 + 锐角：先求另一锐角，再用三角函数求其余边； ◦已知两直角边：勾股定理求斜边，三角函数求锐角； ◦已知斜边 + 直角边：勾股定理求另一直角边，三角函数求锐角. 课堂总结 感谢聆听! $