专题 应用三角函数解实际问题的三种常见类型（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题12应用三角函数解实际问题的三种常见类型 题型01定位问题 【典例分析】 【例1-1】（九年级上·山东烟台·全国测验）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1） 【例1-2】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）一海上巡逻艇在A处巡逻，突然接到上级命令，在北偏西方向且距离A处20海里的B港口，有一艘走私艇沿着正东方方向以每小时50海里的速度驶向公海，务必进行拦截，巡逻艇马上沿北偏东的方向快速追击，恰好在临近公海的P处将走私快艇拦截住，如图所示，试求巡逻艇的速度(结果取整数，参考数据∶，，) 【例1-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船． (1)图中______°． (2)求图中点A到捕鱼船航线的距离． (3)求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间． 【变式演练】 【变式1-1】（21-22九年级上·湖南娄底·期末）某客轮在点C处失事后，在其附近有A、B两处专业救助点，B在A的正东方向，且相距100海里，海上搜救中心在获知客轮C失事后，测得出事地点C在A的南偏东60°方向，在B的南偏东30°方向，若救助轮航行速度是25海里/小时，试问A处救助轮赶到出事地点C需要多长时间？（结果保留根号） 【变式1-2】（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为14海里．求A、C两地之间的距离．（参考数据：结果精确到0.1） 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资，甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离； (2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 题型02测高问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广西贵港·期中）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树的处，测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高，那么这棵水杉树高是（   ）    A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为，测得米，则树的高（单位：米）为 ． 【例2-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线的正上方处悬停，在同一平面内，，点在一条直线上，为的中点，米，测得塔顶的俯角为37°，树顶的俯角为60°，树高为11米，求塔高的值．（参考数据：，） 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在综合实践活动中，嘉嘉在学校门口的点A处测得树的顶端的仰角为，同时测得米，则树的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，树高的长为 ． 【变式2-3】．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，校园内有一个横截面近似为的小土坡，坡度（或坡比），古树长在该土坡上，树干与水平线垂直，同学们选在阳光明媚的一天测量其高度．他们测得坡底点A与古树底端D的距离是，在坡底点C处沿着所在直线向右走了到达点F处，此时发现古树顶端E的影子与土坡最高点B的影子恰好在F处重合，在F处测得树顶E的仰角为．（参考数据：，，，）    (1)求土坡的水平距离； (2)求树高．（结果精确到） 题型03测距问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（    ）    A． B． C． D． 【例3-2】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与垂直的方向点C处测得，，那么等于 ． 【例3-3】（23-24九年级上·河南漯河·期末）郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中桥面最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下： 【方案设计】如图，分别在A，B两点放置测角仪，测得和的度数，并量出的距离，即可解决问题： 【数据收集】米，测角仪和的高度为1.5米； 【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，） 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　　）    A． B．5 C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·浙江·期末）如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥HG，DF＝8cm，GF＝2cm，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，且点D在NM的延长线上，则MG＝ cm，使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2cm，则压杆MN到底座AB的距离为 cm． 【变式3-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 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【例1-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船． (1)图中______°． (2)求图中点A到捕鱼船航线的距离． (3)求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间． 【答案】(1) (2)点A到捕鱼船航线的距离为海里 (3)巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时． 【分析】（1）由平行线的性质可得，再利用角的和差运算可得答案； （2）过点作的延长线于点，在中，求解，而，再利用锐角的余弦可得答案； （3）先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴； （2）过点作的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴点A到捕鱼船航线的距离为海里； （3）设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为小时， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ∴巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时． 【点睛】本题考查的是方位角的含义，平行线的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（21-22九年级上·湖南娄底·期末）某客轮在点C处失事后，在其附近有A、B两处专业救助点，B在A的正东方向，且相距100海里，海上搜救中心在获知客轮C失事后，测得出事地点C在A的南偏东60°方向，在B的南偏东30°方向，若救助轮航行速度是25海里/小时，试问A处救助轮赶到出事地点C需要多长时间？（结果保留根号） 【答案】小时 【分析】过点C作交的延长线于点D，在A处正南方向标M，在B处正南方向标N．根据角的和差关系和三角形内角和定理求出∠ACB和∠CBD，根据等角对等边求出BC的长度，在中，根据直角三角形的边角关系求出BD的长度，进而求出AD的长度，在中，根据直角三角形的边角关系求出AC的长度，最后结合救助轮航行的速度即可求出所需的时间． 【详解】解：如下图所示，过点C作交的延长线于点D，在A处正南方向标M，在B处正南方向标N． 根据题意可知∠MAC=60°，∠NBC=30°，AB=100海里． ∴，，∠CBD=90°-∠NBC=60°． ∴． ∴∠BAC=∠ACB． ∴海里． ∴海里． ∴海里． ∴海里． ∴A处救助轮赶到出事地点C需要的时间为小时． 答：A处救助轮赶到出事地点C需要小时． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，角的和差关系，等角对等边，综合应用这些知识点是解题关键． 【变式1-2】（22-23九年级上·山东威海·期末）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为14海里．求A、C两地之间的距离．（参考数据：结果精确到0.1） 【答案】、两地之间的距离约为7.3海里 【分析】过点作交延长线于点，根据题意可得的度数，然后根据三角形外角定理求出的度数，已知海里，可求出的长度，在中，解直角三角形求出的长度，继而可求出A、C之间的距离． 【详解】解：过点作交延长线于点， 由题意得，，， ∴， 在中，海里，， ∴海里， 在中，海里， ∴（海里）． 答：、两地之间的距离约为7.3海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资，甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离； (2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)，两港之间的距离约为40海里 (2)乙货轮先到达港，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题． （1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后在中，根据求解即可； （2）分别求出甲货轮航行的路程，乙货轮航行的路程，再求出各自的航行时间后比较大小即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港， ∴，，海里， ∴海里， ∴海里， ∵乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港． ∴，， ∴， 在中，， （海里），（海里）， 在中，， （海里），海里， ，两港之间的距离约为40海里； （2）解：乙货轮先到达港，理由如下： ∵甲货轮航行的路程（海里）， ∴甲货轮航行的时间（小时）， ∵乙货轮航行的路程（海里）， ∴乙货轮航行的时间（小时）， ， 乙货轮先到达港． 题型02测高问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·广西贵港·期中）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树的处，测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高，那么这棵水杉树高是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，以及解直角三角形，根据矩形的性质求得，，根据，求得，最后根据，即可解题． 【详解】解：由题易知，四边形为矩形， ，， ，， ， 即，解得（）， （）， 故选：A． 【例2-2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为，测得米，则树的高（单位：米）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ，， 在中，米， （米）， 故答案为：． 【例2-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线的正上方处悬停，在同一平面内，，点在一条直线上，为的中点，米，测得塔顶的俯角为37°，树顶的俯角为60°，树高为11米，求塔高的值．（参考数据：，） 【答案】40.4米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，得然后在中，得的值，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点， 为的中点， ， 由题意得：， 在中，． ， ， 在中，， ， （米） 塔高的值为40.4米． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在综合实践活动中，嘉嘉在学校门口的点A处测得树的顶端的仰角为，同时测得米，则树的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵为直角三角形，， ∴， 即， ∴（米）； 故选：A． 【变式2-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，树高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理求出的长，根据，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由题意，得：， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，校园内有一个横截面近似为的小土坡，坡度（或坡比），古树长在该土坡上，树干与水平线垂直，同学们选在阳光明媚的一天测量其高度．他们测得坡底点A与古树底端D的距离是，在坡底点C处沿着所在直线向右走了到达点F处，此时发现古树顶端E的影子与土坡最高点B的影子恰好在F处重合，在F处测得树顶E的仰角为．（参考数据：，，，）    (1)求土坡的水平距离； (2)求树高．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的应用，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，由，计算求解可得； （2）如图，延长交于，则，由题意知，，由，可得，由勾股定理得，，可求，，则，，由，可求，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵，即， 解得，， ∴土坡的水平距离为； （2）解：如图，延长交于，则，    由题意知，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴树高为． 题型03测距问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案 【详解】解：过A作，   ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【例3-2】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与垂直的方向点C处测得，，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 根据可知是直角三角形，再根据锐角三角函数的定义用表示出的值即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3-3】（23-24九年级上·河南漯河·期末）郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中桥面最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下： 【方案设计】如图，分别在A，B两点放置测角仪，测得和的度数，并量出的距离，即可解决问题： 【数据收集】米，测角仪和的高度为1.5米； 【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】150米 【分析】本题考查解直角三角形． 过点C作于点G，并延长交于点H，由题意有米，米，设米，则（米），在中， ，在中，（米），从而，求解即可得到的长，进而即可解答． 【详解】过点C作于点G，并延长交于点H 由题意得：米，米， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴（米）， ∴，即， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， 郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离约为150米． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图：小军要测量河内小岛到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则小岛到河岸的距离为（　　）    A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点为：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；等角对等边；一个角的正弦值等于这个角所在的直角三角形中对边与斜边之比．根据三角形外角的性质和等角对等边易得．那么利用的正弦函数可求得长，也就是小岛到河岸的距离． 【详解】解：，， ， 米， 由题意得 米． 故选：A． 【变式3-2】（23-24九年级上·浙江·期末）如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥HG，DF＝8cm，GF＝2cm，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，且点D在NM的延长线上，则MG＝ cm，使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2cm，则压杆MN到底座AB的距离为 cm． 【答案】 4 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，正确做出辅助线是解题的关键． 如图2，延长，则过点D，由三角形中位线定理可得的长度，如图3，过点P作于K，可得在中，，知，故，可得，，由，得，即可得压杆MN到底座AB的距离为． 【详解】解：如图2，延长，则过点D， 四边形是矩形， ，即， 是中点， 是的中位线， ， 如图3，过点P作于K， ， ， ， ， ， 在中，， 知， 即， ， 解得， ， ， ， 得， 解得， ∴压杆MN到底座AB的距离为， 故答案为：4，． 【变式3-3】（24-25九年级上·全国·单元测试）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)索道的长约为． (2)水平距离的长约为 【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． （1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出到的距离即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，，，， ． 答：索道的长约为． （2）延长交于点， ，， ． ∴四边形为矩形． ． ，， ． ． 答：水平距离的长约为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$